求函数极限的若干方法.doc

烟 台 大 学 毕 业 论 文（设 计）函数极限的求法申请学位： 理学学士 院 系： 数学与信息科学学院 专 业： 信息与计算科学 姓 名： 学 号： 201063502139 指导老师： 2014年 5月 29 日 烟台大学 烟台大学毕业论文（设计）任务书院（系）：数学与信息科学学院姓名廖春华学号201063502139毕业届别2014专业信息与计算科学毕业论文（设计）题目函数极限的求法指导教师郭常忠学历博士研究生职称副教授所学专业应用数学具体要求(主要内容、基本要求、主要参考资料等)：课题研究的目的和意义：在自然科学中、工程技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段。既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢？这个方法就是极限。无论是再中学数学还是在大学数学中，极限的概念和思想都非常重要，从量变中认识质变，都要用到极限。我们还能够通过极限研究函数的连续性、可导性、收敛性等概念。因此极限概念是研究函数的重要概念，具有一定的理论意义和现实意义。首先，本篇论文总结了所有求函数的极限方法，帮助学生理解和掌握极限概念，牢固地掌握求极限的方法，并把极限的思想运用到更广泛的区域。其次，在进行函数极限求解的过程中，巧妙地运用了数学中相关的理论知识，达到巩固、复习的目的，培养学生一题多解的思维能力。第三，运用极限的思想能够解一些我们不能精确计算的结果。第四，通过本课题的研究，培养了自身的探究精神，提高了自身的科学素养和实践操作能力。主要内容：关于函数极限的若干求法主要参考资料：欧阳光中：朱学炎.金福临.陈传璋.数学分析.复旦大学数学系.高等教育出版社.2007刘书田：高等数学.北京大学出版社.2005进度安排：第一阶段，4月8 日4月19日 收集资料，查阅文献第二阶段，4月20日4月30日 参考资料，完成初稿第三阶段，5月1 日5月15日 修改、校正正文第四阶段，5月16日5月29日 检查、整理全文 定稿 指导教师（签字）： 年 月 日院（系）意见： 教学院长（主任）（签字）： 年 月 日备注：函数极限的定义性质及作用在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能，这个概念是成功的。限的概念是高等数学中最基本最重要的概念，它是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如：我国古代数学家刘徽（公元三世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何上的应用.数列极限标准定义：对数列，若存在常数，对于任意，总存在正整数，使得当时，成立，那么称是数列的极限。函数极限标准定义：设函数大于某一正数时有定义，若存在常数，对于任意，总存在正整数，使得当时，成立，那么称是函数在无穷大处的极限。设函数在处的某一去心邻域内有定义，若存在常数，对于任意，总存在正数，使得当时，成立，那么称是函数在处的极限。函数极限具有的性质：性质 1（唯一性） 如果存在，则必定唯一性质 2（局部有界性） 若存在，则在的某空心邻域内有界性质 3（保序性） 设性质4（迫敛性）设，且在某内有，则.数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。二、函数极限的计算及多种求法极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设是一个数列,是实数,如果对任意给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数列的极限.记为.例1: 按定义证明.解: 令,则让即可,存在,当时,不等式: 成立,所以2.利用极限四则运算法则应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0,因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随n或x增大最快的项除分子、分母,使恒等变形后的分子、分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。例2: 求,其中.解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限,原式 3.利用夹逼性定理求极限当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。例3:求的极限。解: 对任意正整数n,显然有 , 而,由夹逼性定理得 4.利用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例4：求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑，最后凑指数部分。解：5.利迫敛性来求极限设,且在某内有,则例5：求的极限解：. 且由迫敛性知 做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。6.用洛必达法则求极限 洛必达法则为：假设当自变量趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：和的极限都是或都是无穷大；和都可导，且的导数不为；存在（或是无穷大），则极限也一定存在，且等于，即= 。利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。例6:求解: 是待定型 注：运用洛比达法则应注意以下几点1、要注意条件，也即是说，在没有化为时不可求导。2、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。7.利用定积分求极限设函数 在区间上连续，将区间分成个子区间在每个子区任取一点，作和式（见右下图），当时，(属于最大的区间长度)该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间的定积分。要求深刻理解与熟练掌握的重点内容有：1、定积分的概念及性质。2、定积分的换元法和分部积分法，3、变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿（newton）莱布尼兹（leibniz）公式。要求一般理解与掌握的内容有：4、广义积分的概念与计算。例7:求解: 设,则在内连续,所以, 所以原式难点：定积分的概念，上限函数，定积分的换元法。8.利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限首先, 利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量,这一方法在求极限时常常用到;再者利用等价无穷量。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简化。例8：求的值解：因为是无穷小量，而是有界变量，所以 还是无穷小量，即 9.利用变量替换求极限为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。例9： 已知试证证明：令则时，于是 易知当时第二、三项趋于零，现证第四项极限亦为零。事实上，因（当时），故有界，即，使得。故10.利用递推公式计算或证明序列求极限借助递推公式计算或证明序列的极限，也是一种常见的方法，在这里我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在的前提下，根据极限的唯一性，来解出我们所需要的结果，但往往验证极限的存在形式比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的一些性质。例10（1）设，对，定义。证明 且时，（2）若c为任意的正数。置于（1）的递推公式中，给出，假设，则当时，解：（1）对任意的n, ，而且，因为 推得，因此，序列是单调递增且有界，它的极限存在，设为x，从递推公式中得到 解得，即。（2）因为且对任意的，可以在上作归纳证明，对任意的，。由知，所以序列是单调递增的，因而极限存在，借助递推公式可求的其极限为。11.利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量，记作定理：设函数在内有定义，且有1.若则2.若则证明： 可类似证明，在此就不在详细证明了！ 由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例11：求的极限解：由 而；故有注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于，故有又由于故有，。另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有，；，而推出的则得到的结果是错误的。小结:在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。12.利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数在点连续，则 及若且f(u)在点a连续，则例7：求的极限解：由于及函数在处连续，故13.利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。 例13：求 解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取因而求得14.利用两个准则求极限 (1)函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数,当时，有且则有 利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。例:14 求的极限解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项 则 又因为（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。 例：15 证明下列数列的极限存在，并求极限。 证明：从这个数列构造来看 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为 所以得. 因为前面证明是单调增加的。 两端除以得 因为则, 从而 即 是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。 令则 则.因为解方程得 所以15.利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则运用这