对称导数的研究-学生毕业论文正.doc

南昌航空大学学士学位论文对称导数的研究1 引言 人们之所以引入各种形式的导数概念，是因为导数是研究函数的重要工具，而对称导数也是诸多导数概念的一种，但是导数和对称导数在研究许多问题时有着异曲同工之处.当然有很多数学研究者对它们都进行了深入的研究，同时本文也对对称导数做了一些初步的研究和讨论. 在1967年就有文献提出了一阶对称导数的概念，并且有一系列的定理和命题都是由对称导数而引发的，从而使微分学在今后的研究中有更广的作用，同时对称导数的概念也得到了许多应用.有关对称导数的概念在国内文献中也有介绍和研究，但仍有一些有关传统导数的定理还没在对称导数中得到推广. 函数性质研究的核心内容就是导数，但是对于一些微积分的理论等也有不少研究.而本文则利用对称导数的基本定义、性质以及与导数性质的同异做了些许阐述，同时也对微分中值定理做了一些研究，如函数的连续性以及函数的可导与连续的关系，同时还可以将对称导数的应用推广到更深层次的研究上. 在数学教材上一般在讲述微分中值定理时，按照的先后顺序是先引入Rolle引理、其次是Lagrange中值定理、Cauchy中值定理等等.像这样由浅入深，逐步深入的处理方式是使得学者能更自然易懂的接受，当然也已经成为了大家公认的标准讲法.一般要证明Lagrange和Cauchy中值定理，都是通过适当的引入Rolle定理，然后再借助辅助函数的构造便可证明出来.众所周知，Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理是微分学中最常用的中值定理.而本文根据对称导数的一些性质概念及微分中值定理，将关于对称导数微分中值定理进行了推广以及具有等式型的微分中值定理以及带对称导数的洛比达法则和达布定理，为此为今后的研究应用提供了帮助.本文总共分为五个部分。本文第一部分为引言。第二部分给出了对称导数的概念，并给出了一些关于对称导数的性质。如函数的连续性以及函数的可导与连续的关系。第三部分是得出了关于对称导数具有等式型的中值定理。第四部分是对对称导数的Rolle中值定理、Lagrange中值定理以及Cauchy中值定理进行了推广。第五部分是通过带Dini导数的洛必达法则和达布定理联想到带对称导数的洛必达法则和达布定理并给出了证明。 2 基本概念 定义 2.1 设函数在的某个领域内有定义，若极限 存在，则称此极限为 在点的对称导数, 记作. 结论1 若函数在点可导,则一定存在，并且值相等. 证明： . 反之, 如果函数存在,但函数在点不一定可导.例设=, 函数在点对称可导, 但是却不可导. 证明： . 而 . . 所以不存在. 结论2函数对称可导, 函数不一定连续.例 在处不连续，但却是对称可导. 证明： = . 即在点处对称可导. 结论3 函数连续, 但对称导数未必存在.例 在处连续，但不存在. 证明：显然在x=0处连续，但 . 而. 所以不存在.3、 关于对称导数的中值定理引理 3.11 若函数和在点对称可导，则函数在点也对称可导，且 .引理 3.21 设 在上连续，在内对称可导，对， 有限，则及，使得 .这定理的形式类似于罗尔定理.定理 3.3设在上连续，对，有限，则及，使得 .证明：令 , 由在上连续，在内对称可导，则可知在上连续，在内对称可导，且 . 由于 , .易知，且对，. 由于有限,故有限.由引理3.2知, 及，使得 . 故 .则可证得 . 这定理的形式类似于拉格朗日定理.定理3.4 设、在上连续，, 、有限.存在且对，, 则及, 使得 .证明：假设，即. 则可知满足由引理3.2的条件，即及，使得 . 由于且，故可知不可能为0，故 . 令 ,且 . 因为、在上连续，、在内存在，故在内对称可导，则 . 由定理3.3知，及，使得 .且由于 , . 易知 , 即 . 故 . 由于对，,且， 故 即 .即定理得证. 这定理的形式类似于柯西定理.注：定理3.3和定理3.4，江晓琼在文献1中已经证明了，但本文运用了不同的方法使其得证.4 关于对称导数微分中值定理的推广 定理4.1（Rolle中值定理的推广1） 如果在内对称可导，且，其中为有限、或或，则存在及,使得 . 证明： （1）为有限值时，则令 , 可知在上连续，在内对称可导，即由引理3.2知，及使得 . (2) 时，由于在内对称可导，则在内连续，故由可知，对充分大的,，使. 则和 至少有两个交点，. 即，（不妨设）, 则 在上满足引理3.2的条件，故及 使得 . （3）时，类似（2）即可得证. 定理4.2 (Rolle中值定理的推广2) 如果、在上连续，在内对称可导，则存在及 ，使得 . 证明：令 . 由于、在上连续，在内对称可导，则可知在 上连续，在内对称可导.且 , . 易知，则由引理3.2可知及. 使得 .即 . 则定理得证.定理4.3 (Lagrange中值定理的推广) 如果在上连续，在内对称可导，且与存在，则存在及，使得 .证明：（1）当=时，由引理3.2知，结论成立. （2）当时，作辅助函数 . 易知在上连续，在内对称可导，且 , . 由引理3.2知，及使得 .而 , .故 . 则定理得证.定理4.4 (Cauchy中值定理的推广) 如果、在上连续，在内对称可导，且对任意的，且都存在，则存在，及，使得 . 证明：首先要证明. 假设，即，则由引理3.2知，及，使得 . 由于对任意的 ，故 , 故 . 作辅助函数 . 易知在上连续，在内对称可导，且 , . 即，则由定理4.3知，及，使得 . 故. 由于对，则有 . 故定理得证.5 带对称导数的洛必达法则和达布定理引理16 设在上为上半连续，在内对称可导.若，则至少存在一点，使得.引理26 设在上为下半连续，在内对称可导.若，则至少存在一点，使得. 定理5.1（对称导数的洛必达法则）若 （1），在内连续，； （2），在内有限，且对，； （3）若，则存在，且. 证明：令， . 则，在点的某邻域内连续.对，在以与为端点的区间上，满足定理3.4的条件，则在与之间存在点，及.使得 .因为，有 , .从而.因为，在与之间，所以当时有，于是有 =+.由于 ,故，.故 .即定理得证. 定理5.2（对称导数的达布定理）设在上连续，在内有限，与存在且，则对于与之间的任一值， 存在及且，使得 . 证明： 不妨设. 令 ,则在上连续且，则 ，使得，. 因此 ，. 由引理2知，存在，使得.由引理1知，存在，使得.(1) 当都等于时，显然.(2) 当至少有一个不等于时，不妨设，令, 则存在, 使得 .故可知存在，使得. 即.这表明 .即定理得证.6 结束语本论文在学习研究前人相关研究成果的基础上，简单的给出了一些对称导数的性质后,本文研究了有关对称导数和导数的一些性质的区别，如对称可导和函数连续性之间的联系.本文还重点推广了对称导数微分中值定理以及得出了具有等式型的对称导数微分中值定理,所得结果使对称导数在应用中能更好的发挥作用.同时还得出了带对称导数的罗比达法则和达布定理.我们还可以推广出关于对称导数的泰勒公式以及对称导数微分中值定理的高阶形式等, 总之，研究对称导数是非常有意义的.参考文献1江慎铭, 江晓琼.微分中值定理的推广J.南昌航空大学学报, 200950-54.2闫革兴, 梁兴昌.对称导数的有关基本定理J.工程数学学报, 1992.03.3梁波, 王玉斌.对称导数及其相关理论J. 渤海大学学报, 2004.4李秀林.关于对称导数的性质及定理J.北华航天工业学院学报, 200840.5韩应华, 姚贵平, 王振寰, 马文斌.微分中值定理的推广及应用J.内蒙古报, 2009208-212.6王海玲.微分中值定理的推广及应用J.长春理工大学学报，200382-85.7张国才, 王恕达.带Dini导数的罗比达法则和达布定理J.台州学院学报，200628.8I.S.GAL,on the Fundamental Theorem of CalculusJ,TransAmer.Math.SOC.86.NO.2(1967).致 谢本论文是在江慎铭老师严格要求和精心指导下完成的。导师严谨的治学态度、求实的工作作风、创新的学术思想、孜孜不倦的敬业品德是我一生需要学习的。我今后将在自己的工作岗位上积极进取、发奋图强，努力回报导师的殷切教诲。在论文的整个过程中，江老师不厌其烦一次次指出论文中的错误与不足、一次次的提出论文的改进方案和办法，让我得以解决论文中所遇到的一个个问题与难点，包括最开始对于对称导数的概念以及一些定义都从未接触过，是老师给予了我方向性的引导，使我侧重于考虑一些有意义的工作，同时