电路一阶微分方程的求解.ppt

一阶微分方程的求解 3.3 电路暂态分析的目的是为了得到 电路的时域响应。 建立动态电路的状态方程，得到一阶微 分方程组（或一阶微分方程），再求该 方程组的解。 因此暂态分析的实质就是如何获得并 且求解电路的常微分方程。 一阶微分方程的求解 3.3 3.3 一阶微分方程的求解 一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下， 求微分方程的初值问题 基本思想： 在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间 离散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分 方程，得到各时间离散点 、 处的函数 近似值 、 一阶微分方程的求解 3.3 当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商 取代一阶导数 一.前向欧拉法 令步长 ，则 其近似值为： 近似解的误差首先是由差商近似代替微商引起的，这种近似代替所 产生的误差称为截断误差。还有一种误差称为舍入误差，这种误差 是由于计算时数值舍入引起的。 一阶微分方程的求解 3.3 前向欧拉法的几何意义： 在任一步长内，用一段直 线代替函数 的曲线， 此直线段的斜率等于该函 数在该步长起点的斜率。 欧拉法的几何意义：过点A0（t0，y0），A1（t1，y1），A n （t n，y n ），斜率分别为f（t0，y0），f（t1，y1），f（tn， y n）所连接的一条折线，所以欧拉法亦称为欧拉折线法。 一阶微分方程的求解 3.3 例1. 应用前向欧拉法解初值问题 取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较 解：据前向欧拉法 又 有： 【思路】 用欧拉法求解常微分方程的初值问题时，首先熟练掌握欧拉公式的 一般形式，根据具体题目写出找出欧拉公式的迭代式，并根据初始条件和所 给步长进行迭代求解。 一阶微分方程的求解 3.3 微分方程 是一阶线性微分方程， 可求出其通解： 则方程的解为： 从而有： 带入初值 可得 一阶非齐次线性微分方程 一阶微分方程的求解 3.3 计算结果列表（ 为前向欧拉法计算近似值， 为精确值） n 01.0000 11.10.2718281830.3459198760.074019693 21.20.6847555780.8666425360.181886958 31.31.2769783441.6072150790.330236735 41.42.0935476882.6203595520.526811864 51.53.1874451223.9676662950.780221173 61.64.6208178465.7209615271.100143681 71.76.4663963787.9638734791.497477101 正 一阶微分方程的求解 3.3 分析： 当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不 是很高。步长取定后，步数越多，误差越 大。 一阶微分方程的求解 3.3 二、后向欧拉法 用一阶差商近似代替 在一个步长终点的一阶导 数，则原微分方程化为： 对于给定初始条件的微分方程 其近似值： 一阶微分方程的求解 3.3 在任一步长内，用一段直线 代替函数 的曲线，此直 线段的斜率等于该函数在该 步长终点的斜率。 后向欧拉法的几何意义： 精确值 近似值 一阶微分方程的求解 3.3 注：后向欧拉法的两种处理方式 前向Euler法为显式，后向Euler法 为隐式须解出yk+1. 可用迭代法 yk+1 (n+1) = yk + hf (tk+1，yk+1(n) n = 0，1，2， 解得yk+1 ， 其中yk+1(0) = yk + hf (tk，yk).（结合前 向欧拉法，预报） 一阶微分方程的求解 3.3 例2. 应用后向欧拉法解初值问题 取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较 解：据后向欧拉法 又 一阶微分方程的求解 3.3 计算结果列表（ 为后向欧拉法计算近似值， 为精确值） n 01.0000 11.10.4442827750.345919876-0.098362899 21.21.1068555350.866642536-0.240212999 31.32.0409606121.607215079-0.433745533 41.43.3084097732.620359552-0.688050221 51.54.9809113233.967666295-1.013245028 61.67.1415858565.720961527-1.420624329 71.79.8866975397.963873479-1.922824060 负 一阶微分方程的求解 3.3 三. 梯形法及其预估-矫正法 用一阶差商近似地代替函数在一个步长起点和终点的 一阶导数的平均值 梯形公式 （欧拉中点公式） 近似值： 改进欧拉法 一阶微分方程的求解 3.3 显然，梯形公式是隐式法，一般求 需要解方程 ，常采用迭代法，初值由显式的欧拉公式给出： 然后将 替代梯形公式等式右边出现的 当步长h足够小，且由前向欧拉法计算的已是较好 的近似，则迭代一、二次即可 预报 校正 迭代次数 一阶微分方程的求解 3.3 l几何意义 lEuler法折线法 l改进Euler法平均斜率折线法 一阶微分方程的求解 3.3 例3. 应用梯形预估-矫正法解初值问题 取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较 解：据前向欧拉法 梯形预估-矫正 一阶微分方程的求解 3.3 计算结果列表（ 为梯形预估-矫正法计算 近似值， 为精确值） k 01.0000 11.10.3423777890.3459198760.003542087 21.20.8583145370.8666425360.008327999 31.31.5927496431.6072150790.014465436 41.42.5982982392.6203595520.022061313 51.53.9364441143.9676662950.031222181 61.65.6789071035.7209615270.042054424 71.77.9092092167.9638734790.054664263 一阶微分方程的求解 3.3 function T Y=Trapezia_reckon(odefun,ab,ya,M) % odefun: 微分方程 a、b：计算区间 % ya：初值 y(a) M：等分数目 % T: 离散的时间变量 Y梯形公式的预估校正法解 h=(ab(2)-ab(1)/M; 步长 T=zeros(1,M+1);Y=zeros(1,M+1); T=ab(1):h:ab(2); Y(1)=ya; for j=1:M k1=feval(odefun,T(j),Y(j); k2=feval(odefun,T(j+1),Y(j)+h*k1); Y(j+1)=Y(j)+(h/2)*(k1+k2); end Function y=euler_3_3_2(t,x) y=2/t*x+t2*exp(t ） T Y=Trapezia_reckon ( euler_3_3_2,1 2,0,10) 一阶微分方程的求解 3.3 求解器求解问题问题特点说说明 ode45非刚刚性 一步算法；4，5阶阶 Runge-Kutta算法 大部分场场合的首选选算法 ode23非刚刚性 一步算法；2，3阶阶 Runge-Kutta算法 使用于精度较较低的情形 ode113非刚刚性 多步法；变阶变阶 次的 Adams -Bashforth- Moulton 算法 计计算时间时间 比ode45短 ode23t刚刚性采用梯形算法适合中度刚刚性问题问题 的求解 ode15s刚刚性 多步法；采用了数值值差 分算法 若ode45失效时时，可尝试尝试 使用; ode23s刚刚性 一步法；2阶阶Rosebrock 算法 当精度较较低时时，计计算时间时间 比ode15s短 ode23tb刚刚性隐隐式Runge-Kutta算法 当精度较较低时时，计计算时间时间 比ode15s短 不同求解器的特点 一阶微分方程的求解 3.3 在用常微分方程描述一个电路的暂态过程时，往往又包含着 多个变化速度相差十分悬殊的子过程，这样一类过程就认为 具有“刚性(stiff)”，描述这类过程的微分方程称为“刚性问题”。 例如，电路某一变量以e-t缓慢衰减，而另一变量以e-1000t快速 衰减，两变量时间常数相差很大，建立的常微分方程就具有“ 刚性”。 刚性问题数值解的稳定性通常被最快的模