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第六章 高斯投影 及其计算 中国矿业大学环境与测绘学院中国矿业大学环境与测绘学院 应用大地测量学应用大地测量学 第六章 高斯投影及其计算概述 1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地 方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影 的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立 平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。 第六章 高斯投影及其计算 第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（ 重点） 第五节 高斯投影坐标换带计算（重点） 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 第六章 高斯投影及其计算 第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点） 第五节 高斯投影坐标换带计算（重点） 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学 6.1.1 地图投影及其变形 6.1.2 正形投影特性 6.1.3 正形投影的一般条件 6.1.4 正形投影的一般公式 6.1 地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学 6.1.1 地图投影及其变形 6.1.2 正形投影特性 6.1.3 正形投影的一般条件 6.1.4 正形投影的一般公式 6.1 地图投影概念和正形投影性质 6.1.1 地图投影及其变形 应用大地测量学 （一）几何投影及其变形（一）几何投影及其变形 几何投影又叫透视投影，有中心投影、平行投影 等。特点：有几何意义，有投影函数。 数学投影是数学的投影，建立椭球面大地坐标（ B、L）与投影平面上对应的坐标（x、y）之间的函数关系 。无几何意义，是一种数学变换。 x=F1（B、L） y=F2（B、L） （6-1） 上式表示椭球面上一点与投影面上对应点之间坐标的 解析关系，称为坐标投影公式，函数F1、F2称为投影函数 。 给定不同的具体条件，得出不同种类的投影公式。 应用大地测量学 几何投影-垂直投影 6.1.1 地图投影及其变形 应用大地测量学 几何投影-中心投影 6.1.1 地图投影及其变形 应用大地测量学 （二）投影变形 投影变形不可避免（褶皱或破裂）。有角度变形、长 度变形和面积变形三种。根据实际需要选择某种变形为零 或使其减小到某一适当程度。如高斯投影，保持角度不变 形，但长度和面积有变形。 6.1.1 地图投影及其变形 应用大地测量学 （三）投影长度比与长度变形（三）投影长度比与长度变形 投影长度比投影面上无限小线段 ds与椭球面上 该线段实际长度 dS之比，以m表示，m=ds/dS。一般m与点 位以及与方向有关。 长度变形 长度比与1之差。v= m-1 v 0 时，投影后长度将增大，v 0时，投影后长 度缩短。 6.1.1 地图投影及其变形 应用大地测量学 （四）主方向、变形椭圆与变形指标（四）主方向、变形椭圆与变形指标 主方向 若将地球椭球面上过一点的两个互为正交的方向投 影到平面上，一般不能再保持正交，但其中总有一组椭球面上正交的 方向投影后保持正交，这两个方向称为主方向。 主方向投影后具有最大和最小长度比，即，长度比极值所在地方 向就是主方向。 变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。 若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。 若ab=1，则为等面积投影。 椭球面上的微分圆： 投影平面上对应为微分椭圆： 6.1.1 地图投影及其变形 应用大地测量学 （五）地图投影的分类（五）地图投影的分类 等角投影投影后角度不变，保持小范围内图形相似。 等面积投影用于某些专题地图，投影后面积不变。 平面投影投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系 。 圆锥面投影圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按数学 投影。 圆柱面投影圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午面上相切， 按数字投影。 正轴投影圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。 横轴投影圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相切。 斜轴投影圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。 6.1.1 地图投影及其变形 应用大地测量学 6.1.1 地图投影及其变形 6.1.2 正形投影特性 6.1.3 正形投影的一般条件 6.1.4 正形投影的一般公式 6.1 地图投影概念和正形投影性质 6.1.2 正形投影特性 应用大地测量学 1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变， a=b。长度比仅与点位置有关，不同点投影有不同的长度比。 2、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条 件是在微小范围内成立。正形投影又叫等角投影。 采用正形投影，在有限范围内，使地形图上的图形与椭 球面上的相应图形保持相似。 应用大地测量学 6.1.1 地图投影及其变形 6.1.2 正形投影特性 6.1.3 正形投影的一般条件 6.1.4 正形投影的一般公式 6.1 地图投影概念和正形投影性质 6.1.3 正形投影的一般条件 应用大地测量学 正形投影必要和充分的条件是满足柯西黎曼方程： 推导过程：由长度比的定义顾及正形投影的特性导出。 应用大地测量学 正形投影的一般条件的推导过程 6.1.3 正形投影的一般条件 应用大地测量学 其推证步骤为： 1、从长度比表达式出发 ，求出m2与dx2，dy2和dB2，dl2关系式： 2、引入等量纬度q，将x、y表为q、l的函数（l为与中央子午线的经差）； 3、对 x=f1（q，l），y=f2（q，l）取全微分，引入符号E、F、G； 4、根据长度比m与方向A无关，F=0，E=G； 5、由E=G、F=0，得一般条件： 6.1.3 正形投影的一般条件 应用大地测量学 6.1.1 地图投影及其变形 6.1.2 正形投影特性 6.1.3 正形投影的一般条件 6.1.4 正形投影的一般公式 6.1 地图投影概念和正形投影性质 6.1.4 正形投影的一般公式 应用大地测量学 根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西(Cauchy)黎 曼(Riemann)条件，式中，f代表任意解析函数。 通过证明，上述复变函数能满足正形投影的必要和充分条 件。也就是说能满足上述复变函数的函数f，都能满足正形投 影条件。根据该式可以导出高斯投影坐标计算公式。 第六章 高斯投影及其计算 第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点） 第五节 高斯投影坐标换带计算（重点） 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学 6.2.1 高斯投影的基本概念 6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形 6.2.3 高斯投影的分带 6.2.4 高斯投影的计算内容 6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系 应用大地测量学 6.2.1 高斯投影的基本概念 6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形 6.2.3 高斯投影的分带 6.2.4 高斯投影的计算内容 6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系 6.2.1 高斯投影的基本概念 应用大地测量学 高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影。在高斯投影 平面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，分别为 高斯平面直角坐标系的X轴和Y轴。 应用大地测量学 高斯投影的条件：高斯投影的条件： （1）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求； （2）中央子午线投影后是一条直线； （3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等 于1。 （4）高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外， 不在中央子午线上的各点，其长度比都大于1，且离开 中央子午线愈远，长度变形愈大。 6.2.1 高斯投影的基本概念 应用大地测量学 6.2.1 高斯投影的基本概念 6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形 6.2.3 高斯投影的分带 6.2.4 高斯投影的计算内容 6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系 6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形 应用大地测量学 1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m 式中： 2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m 式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。 应用大地测量学 3、长度变形m-1与横坐标y的关系 y/（km ） 1020304050100150200250300 长度变 形m-1 1/8100001/2020001/900001/500001/320001/80001/35001/20001/13001/900 6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形 应用大地测量学 6.2.1 高斯投影的基本概念 6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形 6.2.3 高斯投影的分带 6.2.4 高斯投影的计算内容 6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系 6.2.3 高斯投影的分带 应用大地测量学 为限制长度投影变形，采取分带投影。分带有6度分带和3度分带两种方 法。 应用大地测量学 6带带号N和中央子午线经度 LN的关系式：LN=6N-3LN=6N-3 3带带号n和中央子午线经度 Ln的关系式：LnLn=3n=3n 6带与3带带号之间的关系为:n=2N-1n=2N-1 国家统一坐标的表示方法：X坐标为正，Y坐标加500km 后前面冠以带号。如在39带中Y坐标自然值分别为 12345.678和-12345.678m，国家统一坐标分别为 39512345.678和39487654.322m。但在坐标计算中应去掉带 号，减去500km，恢复坐标自然值。 6.2.3 高斯投影的分带 应用大地测量学 6.2.1 高斯投影的基本概念 6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形 6.2.3 高斯投影的分带 6.2.4 高斯投影的计算内容 6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系 6.2.4 高斯投影的计算内容 应用大地测量学 计算方法： 1、由椭球面上各点大地坐标（B，L）求解各点高 斯平面坐标（x，y）：先在椭球面上解算球面三角形 ，推算各边大地方位角，解算各点大地坐标，然后求 解各点的高斯平面坐标。（计算工作量大） 2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投 影平面，然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角 ，在平面上进行平差计算，求解各点的平面直角坐标 。 应用大地测量学 第二种方法的具体推算内容如下: 1、将起算点的大地坐标（B1，L1）换算为高斯平面坐标（x1，y1）高 斯投影坐标计算。 2、将起算边的大地方位角A12改换为平面坐标方位角T12； T12=A12-+12 式中，为子午线收敛角，12为方向改正。 3、将起算边的大地线长度S12归算为高斯平面上的直线长度D12： D12=S12+S 式中S为距离改正。 4、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长分别进行方向改正和距离 改正，归算为高斯平面上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平差计 算，推求各控制点的平面直角坐标。 6.2.4 高斯投影的计算内容 应用大地测量学 高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计 算、距离改正计算，统称为高斯投影计算。 5 5 6.2.4 高斯投影的计算内容 第六章 高斯投影及其计算 第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点） 第五节 高斯投影坐标换带计算（重点） 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 6.3 高斯投影坐标计算 应用大地测量学 高斯投影坐标正算由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算由（x，y）求（B，L） 6.3 高斯投影坐标计算 应用大地测量学 6.3.1 高斯投影坐标正算公式 6.3.2 高斯投影坐标反算公式 6.3.3 高斯投影坐标正算的数值公式 6.3.4 高斯投影坐标反算的迭代计算公式 6.3 高斯投影坐标计算 应用大地测量学 6.3.1 高斯投影坐标正算公式 6.3.2 高斯投影坐标反算公式 6.3.3 高斯投影坐标正算的数值公式 6.3.4 高斯投影坐标反算的迭代计算公式 6.3.1 高斯投影坐标正算公式 应用大地测量学 (6-26) 式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线 的经差。N N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， =ecosB。 L-L0若以度为单位，则=57.295779513； L-L0若以分为单位，则=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则=206264.80625。 应用大地测量学 推证过程：推证过程： 1、高斯投影坐标正算函数式 2、根据正形投影的一般公式： x+iy=f（q+il）以及高斯投影的条件 推导正算公式，可以将一般公式在q处展为il 的台劳级数。 3、将以上公式在e（B，0）点展开， 此处中央子午线长度比 m=1，有 4、由 求各阶导数。 5、将各阶导数代入上式得最后正算公式。 基本公式：6-21，实用公式：6-24，精确公式：6-26。 6.3.1 高斯投影坐标正算公式 （B，L）计算（x，y）正算公式中子午弧长 X的计算（见本书151页公式5-41） 6.3 高斯投影坐标计算 应用大地测量学 6.3.1 高斯投影坐标正算公式 6.3.2 高斯投影坐标反算公式 6.3.3 高斯投影坐标正算的数值公式 6.3.4 高斯投影坐标反算的迭代计算公式 6.3.2 高斯投影坐标反算公式 应用大地测量学 (6-34) (6-34) 式中，带下标f的各变量为f点（ 又叫底点）的有关变量，如 分别为底点纬度，子午圈半径 ，卯酉圈半径等。 Bf可根据子午弧长公式，由x=X 反算得到。 应用大地测量学 反算推证过程： 1、将正形投影公式写成反函数形式 2、在f点（Bf，0）将上式展为iy的台劳级数 f点的坐标为（x+i0）对应大地坐标为（Bf，0） 3、对于f点，F（x）=q，即(F(x)f=qf ，qf为f点等量纬度。 4、求各阶导数并代回上式得：6-32 5、将q、qf变为B-Bf 由B=（q）在qf处展为台劳级数，由等量纬度q与B的微分公式求得各 系数，得B的计算公式和l的计算公式6-34。 6.3.2 高斯投影坐标反算公式 6.3 高斯投影坐标计算 应用大地测量学 6.3.1 高斯投影坐标正算公式 6.3.2 高斯投影坐标反算公式 6.3.3 高斯投影坐标正算的数值公式 6.3.4 高斯投影坐标反算的迭代计算公式 6.3.3 高斯投影坐标正算的数值公式 应用大地测量学 代克拉索夫斯基椭球参数得 公式（6-36）（6-37） 代1975年国际椭球参数得： 公式（6-38）（6-39） 6.3 高斯投影坐标计算 应用大地测量学 6.3.1 高斯投影坐标正算公式 6.3.2 高斯投影坐标反算公式 6.3.3 高斯投影坐标正算的数值公式 6.3.4 高斯投影坐标反算的迭代计算公式 6.3.4 高斯投影坐标反算的迭代 计算公式 应用大地测量学 迭代计算公式： （6-44） 其中迭代初始值： （6-45） 迭代停止限差： （6-46） 第六章 高斯投影及其计算 第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点） 第五节 高斯投影坐标换带计算（重点） 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 6.4 椭球面上的方向和长度归算 至高斯投影平面 应用大地测量学 6.4.1 平面子午线收敛角的计算 6.4.2 方向改正计算 6.4.3 距离改正计算 6.4 椭球面上的方向和长度归算 至高斯投影平面 应用大地测量学 6.4.1 平面子午线收敛角的计算 6.4.2 方向改正计算 6.4.3 距离改正计算 6.4.1 平面子午线收敛角的计算 应用大地测量学 1 1、由大地坐标计算平面子午线收敛角、由大地坐标计算平面子午线收敛角 （6-496-49） 6.4.1 平面子午线收敛角的计算 应用大地测量学 1 1、由大地坐标计算平面子午线收敛角、由大地坐标计算平面子午线收敛角 由公式（由公式（6-496-49）总结规律：）总结规律： （1 1）为为l l的奇函数，在北半球的奇函数，在北半球与与l l同号，即当点缀同号，即当点缀 中央子午线以东时中央子午线以东时为正，以西时为负；为正，以西时为负； （2 2）经差）经差l l愈大，愈大， 值也愈大；值也愈大； （3 3）当经差）当经差l l不变时（即点在同一经线上），纬度愈不变时（即点在同一经线上），纬度愈 大，大， 值也愈大，在极点处值也愈大，在极点处达到最大。达到最大。 应用大地测量学 2 2、由平面直角坐标计算平面子午线收敛角、由平面直角坐标计算平面子午线收敛角 6.4.1 平面子午线收敛角的计算 （6-526-52） 应用大地测量学 3 3、计算平面子午线收敛角、计算平面子午线收敛角的数值公式的数值公式 代入克拉索夫斯基椭球参数：代入克拉索夫斯基椭球参数： 公式（公式（6-536-53） 代入代入19751975年国际椭球参数：年国际椭球参数： 公式（公式（6-556-55） 6.4.1 平面子午线收敛角的计算 6.4 椭球面上的方向和长度归算 至高斯投影平面 应用大地测量学 6.4.1 平面子午线收敛角的计算 6.4.2 方向改正计算 6.4.3 距离改正计算 应用大地测量学 正形投影后，椭球面上大地线投影到平面上仍为曲线，化为直线 方向所加的改正。 方向改正：大地线的投影曲线与连接大地线两端点的弦线之间的 夹角。 （662） （663） 6.4.2 方向改正计算 6.4.2 方向改正计算 应用大地测量学 应用大地测量学 公式（6-62）、（6-63）。当ym250km时，计算精度为0.01 . 对于三、四等三角测量的方向改正计算公式： 上式的计算精度为0.1。 6.4.2 方向改正计算 6.4 椭球面上的方向和长度归算 至高斯投影平面 应用大地测量学 6.4.1 平面子午线收敛角的计算 6.4.2 方向改正计算 6.4.3 距离改正计算 6.4.3 距离改正计算 应用大地测量学 距离改正椭球面上大地线长S改换为平面上投影曲线两端点 间的弦长D，要加距离改正S。注意:应将距离改正与长度变形相区 别。 应用大地测量学 投影长度比公式：投影长度比公式： 上式即为大地线长度S归算到高斯平面上直线距离D的计算公式 ，对于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略 去 项，对于三四等边长的归算又可再略去 项。 4 6.4.3 距离改正计算 （6-666-66） （6-676-67） （6-186-18） 第六章 高斯投影及其计算 第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点） 第五节 高斯投影坐标换带计算（重点） 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 第五节 高斯投影坐标换带计算 应用大地测量学 高斯投影坐标的换带计算：将一个投影带的平面直角坐标，转换成另外 一个投影带的平面直角坐标。 以下情况需要进行坐标换带计算：以下情况需要进行坐标换带计算： （1）当控制网位于两个相邻投影带的边缘地区并横跨两个投影带，为了能 在同一带内进行平差计算，必须把控制网起算点的坐标换算到同一个投影带 内。 （2）在分带子午线附近地区测图或进行测量工程时，往往需要用到另一带 内的控制成果，因此，也需要将这些点的坐标换算到同一带内。 （3）当大比例尺测图时，特别是在工程测量中，为了限制投影变形，常要 求采用3带、1.5带或任意带投影，而国家控制点成果通常只有6带坐 标，这时就产生了6带与3带（或1.5带、任意带）之间的相互坐标换 算问题。 第五节 高斯投影坐标换带计算 应用大地测量学 当测区跨不同的投影带时，测图时测当测区跨不同的投影带时，测图时测 区中所有控制点应采用同一投影带的区中所有控制点应采用同一投影带的 坐标，位于不同投影带的点应进行同坐标，位于不同投影带的点应进行同 一坐标系统（同一个椭球）不同投影一坐标系统（同一个椭球）不同投影 带之间的坐标换算带之间的坐标换算, ,具体情况有以下具体情况有以下 几种：几种： 6带坐标相邻6带坐标； 6带坐标3带坐标； 3带坐标相邻3带坐标； 6带或3带坐标任意带坐标； 第五节 高斯投影坐标换带计算 应用大地测量学 计算程序如下：计算程序如下： (1)将某投影带内已知点的平面坐标（x1, y1），按高 斯投影坐标反算公式求得其在椭球面上的大地坐标（B, L ）；(2)根据纬度和所需换算的投影带的中央子午线经度 L02，计算该点在新投影带内的经差l2;(3)按高斯投影坐标 正算公式计算该点在新投影带内的高斯平面坐标（x2, y2 ）。至此，就完成了高斯投影坐标的换带计算问题。 其计算流程如下： （x1, y1）反算（B, l1） (B,L=L01+l1） (B,l2=L-L02) 正算 (x2, y2） （书上具体实例见（书上具体实例见P198P198） 第五节 高斯投影坐标换带计算 应用大地测量学 利用高斯投影坐标正反算公式进行换带计算的特点：利用高斯投影坐标正反算公式进行换带计算的特点： 优点：理论严密、精度最高，通用性最强（可用于任 意投影带之间的坐标换带计算）。 缺点：计算量稍微偏大。 第六章 高斯投影及其计算 第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点） 第五节 高斯投影坐标换带计算（重点） 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学 墨卡托投影等角正圆柱投影 常用等角正割圆柱投影： （1）标准线投影后不变形； （2）两条标准纬线间的区域，投影后产生负变形 ，两条标准纬线以外的区域投影后产生正变形； （3）距离标准纬线越远，投影变形越大。 等角航线：椭球面上各点的大地方位角均相等的一条曲线 。 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学 通用横轴墨卡托投影(Universal Transverse Mercator Projection)取其前面三个英文单词的大写字母 而称UTM投影。从几何意义上讲，UTM投影属于横轴等角割横轴等角割 椭圆柱投影椭圆柱投影，高斯克吕格投影为横轴等角切椭圆柱投影， 两者非常相似。满足等角条件和中央子午线投影后成为直 线，并为纵坐标轴，只是在通用横轴墨卡托投影中，中央 子午线投影长度比不再等于1，而是等于0.9996，投影后 两条割线上没有变形，它的平面直角系与高斯投影相同， 且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因而有的文献 上也称它为0.9996的高斯投影。该投影由美国军事测绘 局1938年提出，1945年开始采用。已被许多国家、地区采 用作为大地测量和地形图的投影基础。 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学 基本公式： x，y（6-68） m （6-69） （6-7