电大工程数学期末考试复习资料及答案.doc

1设都是n阶方阵，则下列命题正确的是(A )A 2向量组的 秩是（B ）B. 3 3元线性方程组有解的充分必要条件是（A）A. 4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）D. 9/255设 是来自正态总体的样本，则（C ）是无偏估计 C. 6若是对称矩阵，则等式（B ）成立 B. 7（ D ）D. 8若（A）成立，则元线性方程组有唯一解A. 9. 若条件（C）成立，则随机事件，互为对立事件 C. 且10对来自正态总体（未知）的一个样本，记，则下列各式中（C）不是统计量 C. 11. 设为矩阵，为矩阵，当为（B）矩阵时，乘积有意义B. 12. 向量组 的极大线性无关组是（ A ）A13. 若线性方程组的增广矩阵为，则当（D）时线性方程组有无穷多解 D1/2 14. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C ）.C.1/1215. 在对单正态总体的假设检验问题中，检验法解决的问题是（B ）B. 未知方差，检验均值16. 若都是n阶矩阵，则等式（B）成立 B. 17. 向量组的秩是（C ）C. 318. 设线性方程组有惟一解，则相应的齐次方程组（A ）A. 只有0解 19. 设为随机事件，下列等式成立的是（D）D. 1设为三阶可逆矩阵，且，则下式(B )成立 B 2下列命题正确的是（C ）C向量组,O的秩至多是 3设，那么A的特征值是(D ) D-4，64矩阵A适合条件（ D ）时，它的秩为r DA中线性无关的列有且最多达r列 5下列命题中不正确的是（ D ）DA的特征向量的线性组合仍为A的特征向量6. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ B ） B1/1 7若事件与互斥，则下列等式中正确的是A8. 若事件A，B满足，则A与B一定（A ） A不互斥 9设,是两个相互独立的事件，已知则（B ）B2/3 10设是来自正态总体的样本，则（B ）是统计量 B 1. 若，则（A）A.3 2. 已知2维向量组，则至多是（B）B 23. 设为阶矩阵，则下列等式成立的是（C） C. 4. 若满足（B），则与是相互独立 B. 5. 若随机变量的期望和方差分别为和，则等式（D ）成立 D. 1设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ) A 2方程组相容的充分必要条件是()，其中， B3设矩阵的特征值为0，2，则3A的特征值为 ( ) B0，6 4. 设A，B是两事件，其中A，B互不相容，则下列等式中（ ）是不正确的 C. 5若随机变量X与Y相互独立，则方差=（ ）D 6设A是矩阵，是矩阵，且有意义，则是(B )矩阵 7若X1、X2是线性方程组AX=B的解，而是方程组AX = O的解，则（ ）是AX=B的解A 8设矩阵，则A的对应于特征值的一个特征向量=()C1，1,09. 下列事件运算关系正确的是（ ）A10若随机变量，则随机变量（ N2.,3） ）D 11设是来自正态总体的样本，则（）是的无偏估计 C 12对给定的正态总体的一个样本，未知，求的置信区间，选用的样本函数服从（ ）Bt分布 设，则（D）D. 6若，则（A） A. 1/2 乘积矩阵中元素C. 10 设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B）B. 设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D）D. 下列结论正确的是（A）A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵矩阵的伴随矩阵为（）C. 方阵可逆的充分必要条件是（B）B.设均为阶可逆矩阵，则（D）D. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 A. 用消元法得的解为（C）C. 线性方程组（B）B. 有唯一解 向量组的秩为（A）A. 3 设向量组为，则（B）是极大无关组B. 与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）D. 秩秩若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）可能无解 以下结论正确的是（D）D. 齐次线性方程组一定有解若向量组线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出 A. 至少有一个向量 9设A，为阶矩阵，既是又是的特征值，既是又是的属于的特征向量，则结论（）成立是A+B的属于的特征向量10设，为阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似为两个事件，则（B）成立 B. 如果（C）成立，则事件与互为对立事件 C. 且 10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D） D. 4. 对于事件，命题（C）是正确的 C. 如果对立，则对立某随机试验的成功率为,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D） D. 6.设随机变量，且，则参数与分别是（A） A. 6, 0.8 7.设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（A）A. 8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B） B. 9.设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则（D）D. 10.设为随机变量，当（C）时，有 C. 设是来自正态总体（均未知）的样本，则（A）是统计量 A. 设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（D）不是的无偏估计D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 1设均为3阶方阵，则-182设为n阶方阵，若存在数l和非零n维向量，使得 ，则称l为的特征值 3设随机变量，则a =0.3 4设为随机变量，已知，此时27 5设是未知参数的一个无偏估计量，则有 6设均为3阶方阵，则87设为n阶方阵，若存在数l和非零n维向量，使得，则称为相应于特征值l的特征向量 8若，则0.3 9如果随机变量的期望，那么2010不含未知参数的样本函数称为统计量11. 设均为3阶矩阵，且，则-812.设，213. 设是三个事件，那么发生，但至少有一个不发生的事件表示为.14. 设随机变量，则1515. 设是来自正态总体的一个样本，则16. 设是3阶矩阵，其中，则1217. 当=1 时，方程组有无穷多解18. 若，则0.219. 若连续型随机变量的密度函数的是，则2/320. 若参数的估计量满足，则称为的无偏估计 1行列式的元素的代数余子式的值为= -562已知矩阵满足，则与分别是 阶矩阵3设均为二阶可逆矩阵，则AS4线性方程组 一般解的自由未知量的个数为 25设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量 6 设A，B为两个事件，若P（AB）= P（A）P（B），则称A与B 相互独立 0 1 2a 0.2 0.57设随机变量的概率分布为则a =0.3 8设随机变量，则0.99设为随机变量，已知，那么810矿砂的5个样本中，经测得其铜含量为，（百分数），设铜含量服从N（，），未知，在下，检验，则取统计量 1. 设均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为，则2. 向量组线性相关，则.3. 已知，则4. 已知随机变量，那么5. 设是来自正态总体的一个样本，则1设，则的根是 2设向量可由向量组线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是 线性无关3若事件A，B满足，则 P（A - B）= 4设随机变量的概率密度函数为，则常数k =5若样本来自总体，且，则7设三阶矩阵的行列式，则=28若向量组：，能构成R3一个基，则数k 9设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量10设互不相容，且，则0 11若随机变量X ，则 1/312设是未知参数的一个估计，且满足，则称为的无偏估计 7 是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 54 矩阵 二阶矩阵 设，则 设均为3阶矩阵，且，则 72 设均为3阶矩阵，且，则 3 若为正交矩阵，则 0 矩阵的秩为 2 设是两个可逆矩阵，则当1时，齐次线性方程组有非零解向量组线性 相关 向量组的秩 设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量是线性 相关 的向量组的极大线性无关组是向量组的秩与矩阵的秩 相同 设线性方程组中有5个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为 9若是的特征值，则是方程的根10若矩阵满足，则称为正交矩阵从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2/52.已知，则当事件互不相容时， 0.8 ， 0.3 3.为两个事件，且，则4. 已知，则5. 若事件相互独立，且，则6. 已知，则当事件相互独立时， 0.65 ， 0.3 7.设随机变量，则的分布函数8.若，则 6 9.若，则10.称为二维随机变量的 协方差 1统计量就是不含未知参数的样本函数 2参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 常用的参数点估计有 矩估计法 和最大似然估 两种方法3比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性 4设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验，需选取统计量5假设检验中的显著性水平为事件（u为临界值）发生的概率 三、（每小题16分，共64分）A1设矩阵，且有，求解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2.设矩阵，求解：利用初等行变换得 即由矩阵乘法得 3.已知，其中，求解：利用初等行变换得即 由矩阵乘法运算得4.设矩阵，是3阶单位矩阵，且有，求1. 解：由矩阵减法运算得利用初等行变换得即由矩阵乘法运算得5设矩阵，求（1）；（2） （1）= （2）因为 =所以 = 6设矩阵，解矩阵方程 解：因为 ，得 所以 7设矩阵，求（1），（2）解1） （2）利用初等行变换得即 8 9设矩阵，求：（1）；（2）解：（1）因为 所以 （2）因为 所以 10已知矩阵方程，其中，求解：因为，且 即 所以 11设向量组，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组 解：因为（ ）= 所以，r() = 3 它的一个极大线性无关组是 （或） 1设，求解： 13写出4阶行列式中元素的代数余子式，并求其值： 14求矩阵的秩解 15用消元法解线性方程组方程组解为A2求线性方程组的全部解解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量） 令=0，得到方程的一个特解. 方程组相应的齐方程的一般解为 （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系. 于是，方程组的全部解为 （其中为任意常数） 2.当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。7分此时齐次方程组化为分别令及，得齐次方程组的一个基础解系 令，得非齐次方程组的一个特解 由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数） 16分3.求线性方程组的全部解解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量） 令=0，得到方程的一个特解. 方程组相应的齐次方程的一般解为 （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系. 于是，方程组的全部解为 （其中为任意常数） 4.求线性方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形此时相应齐次方程组的一般解为 是自由未知量令，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）5设齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换，得求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解 因为 得一般解： （其是自由元） 令，得；令，得所以，是方程组的一个基础解系 方程组的通解为：，其中是任意常数 6设齐次线性方程组，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，解：因为 A = 时，所以方程组有非零解 方程组的一般解为： ，其中为自由元 令 =1得X1=，则方程组的基础解系为X1 通解为k1X1，其中k1为任意常数 求出通解 7. 当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。8分此时相应齐次方程组的一般解为 （是自由未知量）分别令及，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为8.k为何值时，线性方程组9求齐次线性方程组 的通解 解： A= 一般解为 ，其中x2，x4 是自由元 令x2 = 1，x4 = 0，得X1 =； x2 = 0，x4 = 3，得X2 =所以原方程组的一个基础解系为 X1，X2 原方程组的通解为： ，其中k1，k2 是任意常数 10设有线性方程组为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解：当且时，方程组有唯一解当时，方程组有无穷多解11判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式其中 解：向量能否由向量组线性表出，当且仅当方程组有解这里方程组无解不能由向量线性表出12计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关 解：该向量组线性相关 13求齐次线性方程组的一个基础解系解：方程组的一般解为令，得基础解系14求下列线性方程组的全部解解：方程组一般解为令，这里，为任意常数，得方程组通解A3设，试求: (1)；(2)（已知）解：1 (2 2.设，试求：(1)；(2)（已知）解：(1) (23.设，求和.（其中,）解：设 =4.设，试求；（已知）解：5某射手射击一次命中靶心的概率是0.8，该射手连续射击5次，求：（1）命中靶心的概率； （2）至少4次命中靶心的概率解：射手连续射击5次，命中靶心的次数（1）设：“命中靶心”，则 （2）设：“至少4次命中靶心”，则6设是两个随机事件，已知，求：（1） ； （2） 解（1）= （2 7设随机变量X的密度函数为，求：(1) k； (2) E(X )，D(X)解：（1）因为 1= 3 k， 所以 k = (2) E(X) = E() = D(X) = E() - = 8设随机变量X N（8，4）求 和(，)解：因为 X N（8，4），则 N（0，1） 所以 =0.383 = = .9. 设，试求；（已知）解： 10.假设A,B为两件事件，己知P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|)=0.4, 求P(A+B)解：P()=P()P(B|)=0.50.4=0.2P(AB)=P(B)P(B)=0.60.2=0.4P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.7。11设随机变量（1）求；（2）若，求k的值 （已知）解：（1）1= 11（）= 2（1）0.045 （2）1 1即k4 = -1.5， k2.512罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率 解：设=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，=“取到的都是白子”，=“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则（1） （2）13设随机变量X N（3，4）求：（1）P（1 X 7）；（2）使P（X a）=0.9成立的常数a (，) 解：（1）P（1 X 7）= = = 0.9973 + 0.8413 1 = 0.8386 （2）因为 P（X 1.96 ，所以拒绝 11某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）解：由已知条件可求得： | T | 2.62 接受H0即用新材料做的零件平均长度没有变化。 四、证明题（本题6分）1设是阶对称矩阵，试证：也是对称矩阵证明：是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知已知是对称矩阵，故有，即由此可知也是对称矩阵，证毕2设随机事件,相互独立，试证：也相互独立证明： 所以也相互独立证毕 3、设,为随机事件，试证：证明：由事件的关系可知而，故由概率的性质可知即 证毕4设是线性无关的，证明, 也线性无关.证明：