第十章-梁的应力-习题答案.doc

习题习题 101 一工字型钢梁，在跨中作用集中力 F，已知 l=6m，F=20kN，工字钢的型号 为 20a，求梁中的最大正应力。 解：梁内的最大弯矩发生在跨中 kN.m30 max M 查表知 20a 工字钢 3 cm237 z W 则 MPa 6 . 126Pa10 6 . 126 10237 1030 6 6 3 max max z W M 102 一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为 l，截面高度为 h，宽度为 b，材料的弹性模量为 E，试求梁下边缘的总伸长。 解：梁的弯矩方程为 2 2 1 2 1 qxqlxxM 则曲率方程为 2 2 1 2 111 qxqlx EIEI xM x zz 梁下边缘的线应变 2 2 1 2 1 2 2 qxqlx EI h x h x z 下边缘伸长为 2 3 0 2 0 22 1 2 1 2Ebh ql dxqxqlx EI h dxxl l z l 103 已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力 沿横截面高度的分布规律。 解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生拉应力，另 一侧产生压应力。 q l A B b h F l/2l/2 A B 第 十 章 梁的应力和强度计算 2 104 一对称 T 形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知 l=1.5m,q=8KN/m，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。 解： 1、设截面的形心到下边缘距离为 y1 则有 cm33 . 7 41084 10410484 1 y 则形心到上边缘距离 cm67 . 4 33 . 7 12 2 y 于是截面对中性轴的惯性距为 42 3 2 3 cm 0 . 86467 . 2 410 12 410 33 . 3 84 12 84 z I 2、作梁的弯矩图 设最大正弯矩所在截面为 D，最大负弯矩所在截面为 E，则在 D 截面 MPa08.15Pa1008.15 100 .864 1033 . 7 10778 . 1 6 8 23 1maxt, y I M z D MPa61 . 9 Pa1061 . 9 10 0 . 864 1067 . 4 10778 . 1 6 8 23 2maxc, y I M z D 在 E 截面上 MPa40 . 5 Pa1040 . 5 10 0 . 864 1067 . 4 100 . 1 6 8 23 2maxt, y I M z E MPa48 . 8 Pa1048 . 8 10 0 . 864 1033 . 7 100 . 1 6 8 23 1maxc, y I M z E 所以梁内，MPa08.15 maxt, MPa61 . 9 maxc, l/3 B C q A l 10cm 8cm 4cm 4cm 1.778kN.m 1.0kN.m 0.667m 第 十 章 梁的应力和强度计算 3 105 一矩形截面简支梁，跨中作用集中力 F，已知 l=4m，b=120mm，h=180mm，弯曲时材料的许用应力=10Mpa，求梁能承受的最大荷 载 Fmax。 解：梁内的最大弯矩发生在跨中 4 max Fl M 矩形截面梁 6 2 bh Wz 则由 得 z W Mmax max 64 2 bhFl 即 N6480 43 18 . 0 12 . 0 2 1010 3 2 2 6 2 l bh F 106 由两个 28a 号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为 Q235 钢，其许 用弯曲正应力=170Mpa，求梁的许可荷载F。 解：作弯矩图 梁内的最大弯矩发生在跨中 FM4 max 矩形截面梁 3 max max cm656.6802 z zz z W y I y I W 则由 得 z W Mmax max z WF4 即 N28927 4 10656.68010170 4 66 z W F F l/2l/2 A B b h F 2m BA F F 2m2m2m 3F3F 4F 第 十 章 梁的应力和强度计算 4 107 圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知 l=3m，F=3kN，q=3kN/m，弯曲 时木材的许用应力=10MPa，试选择圆木的直径 d。 解：作弯矩图 则由 得 z W Mmax max max M Wz 即 ，得 6 33 1010 103 32 d 145mmm145 . 0 d 108 起重机连同配重等重 P=50kN，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所 示。起重机的起重量 F=10kN，梁材料的许用弯曲应力=170Mpa，试选择工字钢的型号。 设全部荷载平均分配在两根梁上。 解：设起重机左轮距 A 端为 x，则有 ， 2 650xMC80386 2 xxMD 从而确定出 ，kN.m 2 . 104 max C MkN.m 2 . 140 max D M 即梁内出现的最大弯矩为kN.m 2 . 140 则由 得 z W Mmax max 34 6 3 max m1025 . 8 10170 10 2 . 140 M Wz 又对于本题 max max 2 z zz z W y I y I W A B P F 1m 4m 10m CD 1m q d F ll/3 A B C 3kN.m1.167m 2.042kN.m 第 十 章 梁的应力和强度计算 5 所以 334 4 cm 5 . 412m10125 . 4 2 1025 . 8 2 z z W W 查表选 25b 号工字钢。 109 两个矩形截面的简支木梁，其跨度、荷载及截面面积都相同，一个是整体，另 一个是由两根方木叠置而成，试分别计算二梁中的最大正应力。 解： 1、第一种情况 梁内的最大弯矩发生在跨中 8 2 max ql M 矩形截面梁 3 2 6 32 abh Wz 则 3 3 3 2 max max 16 3 28 3 a ql a ql W M z 2、第二种情况 梁内的最大弯矩发生在跨中 16 2 max ql M 矩形截面梁 66 32 abh Wz 则 3 3 3 2 max max 8 3 16 6 a ql a ql W M z 1010 直径 d=0.6mm 的钢丝绕在直径 D=600mm 的圆筒上，已知钢丝的弹性模量 E=2105MPa，试求钢丝中的最大正应力。 解： 由 得 z EI M 1 N.m1024115 . 4 103 . 03 . 0 64 106 . 0 102 3 3 124 11 z EI M 200MPaPa10200 32 106 . 0 1024115 . 4 32 6 93 3 3max d M W M z 或 q l BA aa 2a a a 第 十 章 梁的应力和强度计算 6 200MPaPa10200 103 . 03 . 0 103 . 0102 6 3 311 max max Ey 1011 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知 F=5kN，a=1.5m， =10Mpa。试确定弯曲截面系数最大时矩形截面的高宽比 h:b，以及梁所需木料的最小直径 d。 解： 66 222 bdbbh Wz 由 得 ，又 所以 时 0 6 3 22 bd db dWz db 3 3 0 2 2 b db Wd z db 3 3 取极大值，所以弯曲截面系数最大时，即 z Wdb 3 3 dh 3 6 1:2:bh 梁内的最大弯矩 kN.m5 . 7 max FaM 矩形截面梁 3 2 27 3 6 d bh Wz 则由 得 z W Mmax max max M Wz 即 max 3 27 3M d 227mmm227 . 0 1010 105 . 73939 3 6 3 3 max M d 1012 一铸铁梁如图所示。已知材料的拉伸强度极限 b=150Mpa，压缩强度极限 bc=630Mpa，试求梁的安全因数。 解： b h d A B a FF a 3a C D 1m0.5m1m A B D 16kN C 32kN 160 200 40 1010 第 十 章 梁的应力和强度计算 7 1、设截面形心距离下边缘为 y1 则有 mm33.53 21601040160 2120160102040160 1 y 则形心到上边缘距离 mm67.14633.53200 2 y 于是截面对中性轴的惯性距为 42 3 2 3 mm 4 . 29013333267.6616010 12 16010 33.3340160 12 40160 z I 2、作梁的弯矩图 C 截面 MPa057.22Pa10057.22 10 4 . 29013333 1033.531012 6 12 33 1maxt, y I M z C MPa663.60Pa10663.60 10 4 . 29013333 1067.1461012 6 12 33 2maxc, y I M z C B 截面上 MPa442.40Pa10442.40 10 4 . 29013333 1067.146108 6 12 33 2maxt, y I M z B MPa705.14Pa10705.14 10 4 . 29013333 1033.53108 6 12 33 1maxc, y I M z B 所以有 ， ，取安全系数为709 . 3 442.40 150 t n tc 385.10 663.60 630 nn 3.709。 1013 一简支工字型钢梁，工字钢的型号为 28a，梁上荷载如图所示，已知 l=6m，F1=60kN，F2=40kN，q=8kN/m，钢材的许用应力=170Mpa，=100Mpa， 试校核梁的强度。 解：作内力图 q AB l/6 F1F2 l/62l/3 8kN.m 12kN.m 第 十 章 梁的应力和强度计算 8 则有 MPa 8 . 170Pa10 8 . 170 1015.508 10 8 . 86 6 6 3 max max z W M 而 %5%47 . 0 170 170 8 . 170 max MPa56.38Pa1056.38 0085. 01062.24 10 7 . 80 6 2 3 max,maxS, max bI SF z z 1014 一简支工字型钢梁，梁上荷载如图所示，已知 l=6m，q=6kN/m，F=20kN，钢材的许用应力=170Mpa，=100Mpa，试选择工字钢 的型号。 解：作内力图 q AB l/2 F l/2 80.7kN 67.3kN 12.7kN 72.7kN 59.3kN 19.3kN 2.588m 76.7kN.m 63.3kN.m 86.8kN.m 28kN 10kN 57kN.m 10kN 28kN 第 十 章 梁的应力和强度计算 9 由 得 z W Mmax max 334 6 3 max cm 3 . 335m10353 . 3 10170 1057 M Wz 查表选 25a（考虑 5%误差可以选则 22b） 。 对于所选型号，梁内出现的最大切应力为 MPa21.16Pa1021.16 008 . 0 1058.21 1028 6 2 3 max,maxS, max bI SF z z （如为 22b，） MPa 8 . 15 max 所以工字钢型号为 25a（或 22b） 。 1015 由工字钢制成的简支梁受力如图所示。已知材料的许用弯曲应力 =170Mpa，许用切应力=100Mpa。试选择工字钢型号。 解：作内力图 由 得 z W Mmax max 334 6 3 max cm 6 . 488m10886 . 4 10170 1005625.83 M Wz 查表选 28a 。 对于所选型号，梁内出现的最大切应力为 MPa06.54Pa1006.54 0085 . 0 1062.24 10125.113 6 2 3 max,maxS, max bI SF z z 所以工字钢型号为 28a。 1016 外伸梁 AC 承受荷载如图所示，Me=40KN.m，q=20KN/m。材料的许用应力 =170Mpa，=100Mpa。试选择工字钢的型号。 20kN/m AB 0.5m 80kN60kN 1m2.5m CD 113.125k N 1.85m 56.5625kN.m 76.875kN.m 83.05625kN.m 33.125kN 76.875kN 16.875kN 第 十 章 梁的应力和强度计算 10 解：作内力图 由 得 z W Mmax max 334 6 3 max cm 3 . 235m10353 . 2 10170 1040 M Wz 查表选 20a 。 对于所选型号，梁内出现的最大切应力为 MPa22.33Pa1022.33 007 . 0 10 2 . 17 1040 6 2 3 max,maxS, max bI SF z z 所以工字钢型号为 20a。 1017 图示简支梁是由三块截面为 40mm90mm 的木板胶合而成，已知 l=3m，胶 缝的许用切应力=0.5Mpa，试按胶缝的切应力强度确定梁所能承受的最大荷载 F。 解： 梁内的最大剪力值为 0.5F 则胶缝处的最大切应力为 F F bI SF z z 73.61 109010 12 12090 104040905 . 0 312 3 9 * maxS, max 由 得 F 8100N。 max 1018 图示结构中，AB 梁与 CD 梁所用材料相同，二梁的高度与宽度分别为 h、b 0.5l0.5l BA 90mm 40mm 40mm 40mm F q 2m1m1m A B C Me 40kN 40kN.m 第 十 章 梁的应力和强度计算 11 和 h1和 b，已知 l=3.6m，a=1.3m，h=150mm，h1=100mm，b=100mm，材料的许用应 力=10Mpa，=2.2Mpa，试求该结构所能承受的最大荷载 Fmax。 解： 1、对于上梁 作内力图 由 得 ，即 z W Mmax max z WM max z W Fl 4 所以有 kN852 . 1 N10852 . 1 6 . 3 6 1 . 01 . 0 10104 4 3 2 6 l W F z 又由 得 ，即 A F 2 3 maxS, max 3 2 maxS, A F 3 2 2 AF 所以有 kN33.29N1033.29 3 1 . 01 . 0102 . 24 3 4 3 6 A F 2、对于下梁 作内力图 由 得 ，即 1 max max z W M 1maxz WM 1 2 z W Fa 所以有 kN77 . 5 N1077 . 5 3 . 1 6 15 . 0 1 . 0 10102 2 3 2 6 1 a W F z 0.5l0.5la a BA DC h b b h1 F F 2 1 F 2 1 Fl 4 1 F 2 1 F 2 1 Fa 2 1 第 十 章 梁的应力和强度计算 12 又由 得 ，即 1 maxS, max 2 3 A F 3 2 1 maxS, A F 3 2 2 1 AF 所以有 kN 0 . 44N10 0 . 44 3 15 . 0 1 . 0102 . 24 3 4 3 6 1 A F 综上，取 kN852 . 1 F 1019 图示木梁受一可移动的荷载 F=40KN 作用。已知=10Mpa，=3Mpa。 木梁的横截面为矩形，其高宽比，试选择梁的截面尺寸。 2 3 b h 解： 当F位于跨中时，梁内出现最大弯矩 kN10N1010 4 11040 4 3 3 max Fl M 由 得 即 z W Mmax max max M Wz 从而有 33 6 3 max 32 m100 . 1 1010 1010 24 9 6 Mbbh 138.7mmm1387 . 0 b 又当F位于靠近左右支座时，梁内出现最大剪力 kN20 2 maxS, F F 由 得 ，即 A F 2 3 maxS, max 2 3 maxS, F A 从而有 23 6 3 maxS,2 m1010 1032 10203 2 3