2018版高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案新人教A版.docx

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义1.平面向量的数量积.(重点)2.平面向量的数量积的几何意义.(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别.(易混点)基础初探教材整理1向量数量积的定义及性质阅读教材P103P104“例1”以上内容，完成下列问题.1.向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .规定零向量与任一向量的数量积为0.2.向量的数量积的性质设a与b都是非零向量，为a与b的夹角.(1)abab0.(2)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.(3)aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同.()(2)两个向量的数量积是向量.()(3)设向量a与b的夹角为，则cos 0ab0.()【解析】(1).因向量的夹角包括180，直线的倾斜角不包括180.(2).因两个向量的数量积没有方向，不是向量.(3).由数量积的定义可知.【答案】(1)(2)(3)教材整理2向量的数量积的几何意义及运算律阅读教材P104例1以下至P105例2以上内容，完成下列问题.1.向量的数量积的几何意义(1)投影的概念如图241所示：a，b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1|b|cos .|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影.图241(2)数量积的几何意义：ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.2.向量数量积的运算律(1)abba(交换律).(2)(a)b(ab)a(b)(结合律).(3)(ab)cacbc(分配律).已知|a|3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为_.【解析】向量a在b方向上的投影为|a|cos 3cos .【答案】小组合作型与向量数量积有关的概念(1)以下四种说法中正确的是_.如果ab0，则a0或b0；如果向量a与b满足ab0，则a与b所成的角为钝角；ABC中，如果0，那么ABC为直角三角形；如果向量a与b是两个单位向量，则a2b2.(2)已知|a|3，|b|5，且ab12，则a在b方向上的投影为_，b在a方向上的投影为_.(3)已知等腰ABC的底边BC长为4，则_.【精彩点拨】根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答.【自主解答】(1)由数量积的定义知ab|a|b|cos (为向量a，b的夹角).若ab0，则90或a0或b0，故错；若ab0，则为钝角或180，故错；由0知B90，故ABC为直角三角形，故正确；由a2|a|21，b2|b|21，故正确.(2)设a与b的夹角为，则有ab|a|b|cos 12，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|cos ；向量b在向量a方向上的投影为|b|cos 4.(3)如图，过A作ADBC，垂足为D.因为ABAC，所以BDBC2，于是|cosABC|42.所以|cosABC428.【答案】(1)(2)4(3)81.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，更不能省略不写.2.求平面向量数量积的方法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求ab.再练一题1.给出下列判断：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若ab，则|ac|bc|；a，b共线ab|a|b|；|a|b|0，则a与b的夹角为锐角；若a，b的夹角为，则|b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影长.其中正确的是_.【解析】由于a20，b20，所以，若a2b20，则ab0，故正确；若ab0，则ab，又a，b，c是三个非零向量，所以acbc，所以|ac|bc|，正确；a，b共线ab|a|b|，所以不正确；对于，应有|a|b|ab；对于，应该是aaa|a|2a；a2b22|a|b|2ab，故正确；当a与b的夹角为0时，也有ab0，因此错；|b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故错.综上可知正确.【答案】数量积的基本运算已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为135时，分别求a与b的数量积. 【导学号：00680054】【精彩点拨】(1)当ab时，a与b夹角可能为0或180.(2)当ab时，a与b夹角为90.(3)若a与b夹角及模已知时可利用ab|a|b|cos (为a，b夹角)求值.【自主解答】设向量a与b的夹角为，(1)ab时，有两种情况：若a和b同向，则0，ab|a|b|20；若a与b反向，则180，ab|a|b|20.(2)当ab时，90，ab0.(3)当a与b夹角为135时，ab|a|b|cos 13510.1.求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos .2.非零向量a与b共线的条件是ab|a|b|.再练一题2.已知正三角形ABC的边长为1，求：图242(1)；(2)；(3).【解】(1)与的夹角为60，|cos 6011.(2)与的夹角为120，|cos 12011.(3)与的夹角为60，|cos 6011.与向量模有关的问题已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)|(ab)(a2b)|. 【导学号：70512035】【精彩点拨】利用aaa2或|a|求解.【自主解答】由已知ab|a|b|cos 42cos 1204，a2|a|216，b2|b|24.(1)|ab|2(ab)2a22abb2162(4)412，|ab|2.(2)(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412，|(ab)(a2b)|12.1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.2.利用aaa2|a|2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.再练一题3.题干条件不变，求|ab|.【解】因为|a|4，|b|2，且a与b的夹角120.所以|ab|2，所以|ab|2.探究共研型平面向量数量积的性质探究1设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？【提示】abab0.探究2当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？【提示】当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；aaa2|a|2或|a|.探究3|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角？【提示】|ab|a|b|，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos .两边取绝对值得：|ab|a|b|cos |a|b|.当且仅当|cos |1，即cos 1，0或时，取“”，所以|ab|a|b|.cos .已知|a|3，|b|2，向量a，b的夹角为60，c3a5b，dma3b，求当m为何值时，c与d垂直？【精彩点拨】由条件计算ab，当cd时，cd0，列方程求解m.【自主解答】由已知得ab32cos 603.由cd，知cd0，即cd(3a5b)(ma3b)3ma2(5m9)ab15b227m3(5m9)6042m870，m，即m时，c与d垂直.1.已知非零向量a，b，若ab，则ab0，反之也成立.2.设a与b夹角为，利用公式cos 可求夹角，求解时注意向量夹角的取值范围0，.再练一题4.若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_.【解析】设a与b夹角为，因为|a|3|b|，所以|a|29|b|2.又|a|a2b|，所以|a|2|a|24|b|24ab|a|24|b|24|a|b|cos 13|b|212|b|2cos ，即9|b|213|b|212|b|2cos ，故有cos .【答案】1.在ABC中，BC5，AC8，C60，则()A.20B.20C.20 D.20【解析】|cos 1205820.【答案】B2.设e1，e2是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是()A.e1e21 B.e1e21C.|e1e2|1 D.|e1e2|1【解析】e1e2|e1|e2|cose1，e21.【答案】C3.在ABC中，a，b，且ba0，则ABC是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.无法确定【解析】在ABC中，因为ba0，所以ba，故ABC为直角三角形.【答案】C4.已知|a|4，e为单位向量，a在e方