解析版：浙江省杭州市2015年高考数学二模试卷（文科）.doc

2015年浙江省杭州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1已知函数f（x）=，则f（1）+f（1）的值是（） A 0 B 2 C 3 D 42“a=1”是“直线l1：ax+2y8=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（） A 充分而不必要条件 B 必要而充分不条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件3棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（） A B 4 C D 34设等比数列an的各项均为正数，若+=+，+=+，则a1a5=（） A 24 B 8 C 8 D 165设向量，满足|=1，与的夹角为150，则|的取值范围是（） A ，1） B ，+） C ，+） D （1，+）6已知ABCA1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是（） A 在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45 B 在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45 C 在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行 D 在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直7设双曲线=1，（a0，b0）的左焦点F（c，0），则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线与点B若=，则双曲线的离心率为（） A 2 B 3 C D 8若不等式（2）na3n1（2）n0对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（） A （1，） B （，） C （1，） D （，）二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9设全集U=R，集合A=x|x23x0，B=x|xm，则RA=，若AB，则m的取值范围为，若AB=，则m的取值范围为10已知x，且sin（x）=，则cosx=，sinx=，cos2x=11设集合（x，y）|（x1）2+（x2）210所表示的区域为A，过原点O的直线l将A分成两部分，当这两部分面积之差最大时，直线l的方程为，此时直线l落在区域A内的线段长为12已知函数其中c0那么f（x）的零点是；若f（x）的值域是，则c的取值范围是13已知集合A=（x，y）|x|1，|y|1，若存在（x，y）A，使不等式x2y+m0成立，则实数m最小值是14若实数x，y满足x+y=6，则f（x，y）=（x2+4）（y2+4）的最小值为15在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD所成的角为，则cos的取值范围是三、解答题（共5小题，满分74分）16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinAsinC=sin（AB）；（）求B；（）若b=2，求ABC的面积17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，且满足ABCD，AD=DC=AB，PA平面ABCD（）求证：平面PBD平面PAD；（）若PA=AB，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值18已知数列an是各项为正数的等比数列，数列bn的前n项和Sn=n2+5n，且满足a4=b14，a6=b126，令cn=logan（nN*）（）求数列bn及cn的通项公式；（）设Pn=cb1+cb2+cbn，Qn=cc1+cc2+ccn，试比较Pn与Qn的大小，并说明理由19已知抛物线C：y2=2px（p0）上的点（2，a）到焦点F的距离为3（）求抛物线的方程；（）设动直线l与抛物线C相切于点A，且与其准线相交于点B，问在坐标平面内是否存在定点D，使得以AB为直径的圆恒过定点D？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由20已知函数f（x）=x2axa（）若存在实数x，使f（x）0，求实数a的取值范围；（）设g（x）=|f（x）|，若任意实数a，存在x00，1使不等式g（x0）k成立，求实数k的取值范围2015年浙江省杭州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1已知函数f（x）=，则f（1）+f（1）的值是（） A 0 B 2 C 3 D 4考点： 函数的值专题： 函数的性质及应用分析： 根据f（x）=，将x=1，和x=1代入可得答案解答： 解：函数f（x）=，f（1）=1，f（1）=3，f（1）+f（1）=4，故选：D点评： 本题考查的知识点是分段函数求值，难度不大，直接代入运算即可，属于基础题2“a=1”是“直线l1：ax+2y8=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（） A 充分而不必要条件 B 必要而充分不条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 直线与圆；简易逻辑分析： 根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断解答： 解：若直线l1：ax+2y8=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行，则a（a+1）2=0，即a2+a2=0，解得a=1或a=2，当a=2时，直线l1方程为2x+2y8=0，即xy+4=0，直线l2：xy+4=0，此时两直线重合，则a2，故“a=1”是“直线l1：ax+2y8=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充要条件，故选：C点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键3棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（） A B 4 C D 3考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 由三视图知几何体是正方体的一半，已知正方体的棱长为2，由此可得几何体的体积解答： 解：由三视图知：余下的几何体如图示：E、F都是侧棱的中点，上、下两部分的体积相等，几何体的体积V=23=4故选B点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状是解答此类问题的关键4设等比数列an的各项均为正数，若+=+，+=+，则a1a5=（） A 24 B 8 C 8 D 16考点： 等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： 化简整理利用等比数列的通项公式即可得出解答： 解：+=+，等比数列an的各项均为正数，a1a2=4，同理可得：a3a4=16q4=4，解得，则a1a5=4q3=8故选：C点评： 本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题5设向量，满足|=1，与的夹角为150，则|的取值范围是（） A ，1） B ，+） C ，+） D （1，+）考点： 数量积表示两个向量的夹角专题： 平面向量及应用分析： 作OAB，设=，=，由题意易得OAB=30，由正弦定理可得|=，由B的范围可得解答： 解：作OAB，设=，=，则=，与的夹角为150，即与夹角为150在OAB中，OAB=30，由正弦定理得=，0B150，0sinB1，02sinB2，|=，+）故选：B点评： 本题考查数量积与向量的夹角，涉及正弦定理的应用，属中档题6已知ABCA1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是（） A 在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45 B 在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45 C 在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行 D 在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直考点： 棱柱的结构特征专题： 空间位置关系与距离分析： 根据题意画出图形，如图所示，连接A1M，AM，根据直三棱柱得到侧棱与底面垂直，在直角三角形AA1M中，利用锐角三角函数定义求出tanAMA1的值，判断出AMA1与45大小判断即可解答： 解：根据题意画出图形，如图所示，连接A1M，AM，由题意得到AA1面A1B1C1，AA1A1M，在RtAA1M中，设AA1=1，则有A1B1=A1C1=B1C1=1，A1M=，tanAMA1=1，AMA145，则在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45，故选：B点评： 此题考查了棱柱的结构特征，直线与面垂直的性质，锐角三角函数定义，以及正弦函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键7设双曲线=1，（a0，b0）的左焦点F（c，0），则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线与点B若=，则双曲线的离心率为（） A 2 B 3 C D 考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由题意，y=x与x2+y2=c2联立，可得A（a，b），求出AF的斜率，利用=，B为线段FA的中点，可得斜率之间的关系，即可求出双曲线的离心率解答： 解：由题意，y=x与x2+y2=c2联立，可得A（a，b），AF的斜率为，=，B为线段FA的中点，OBAF，（）=1，e2e2=0，e1，e=2故选：A点评： 本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题8若不等式（2）na3n1（2）n0对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（） A （1，） B （，） C （1，） D （，）考点： 函数恒成立问题专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 分类讨论，分离参数求最值，即可求出实数a的取值范围解答： 解：n为偶数时，不等式（2）na3n1（2）n0可化为a+1，a；n为奇数时，不等式（2）na3n1（2）n0可化为a+1，a，故选：D点评： 考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，利用分类讨论的数学思想解决数学问题的能力二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9设全集U=R，集合A=x|x23x0，B=x|xm，则RA=x|x0或x3，若AB，则m的取值范围为m0，若AB=，则m的取值范围为m3考点： 补集及其运算；交集及其运算专题： 集合分析： 根据集合的基本运算进行求解即可解答： 解：A=x|x23x0=x|3x0，则RA=x|x0或x3，若AB，则m0，若AB=，则m3，故答案为：x|x0或x3；m0；m3点评： 本题主要考查集合的基本运算和集合关系，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础10已知x，且sin（x）=，则cosx=，sinx=，cos2x=考点： 运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系专题： 三角函数的求值分析： 由诱导公式及已知即可解得cosx，由同角三角函数关系式可求sinx，由二倍角的余弦函数公式可求cos2x的值解答： 解：x，且sin（x）=cosx=，可得cosx=，sinx=，cos2x=2cos2x1=21=故答案为：，点评： 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查11设集合（x，y）|（x1）2+（x2）210所表示的区域为A，过原点O的直线l将A分成两部分，当这两部分面积之差最大时，直线l的方程为x+2y=0，此时直线l落在区域A内的线段长为2考点： 直线与圆的位置关系专题： 直线与圆分析： 区域A表示一个圆面，根据题意，当这两部分面积之差最大时，直线l应该垂直于直线OC，用点斜式求得直线l的方程，再利用弦长公式求得弦长解答： 解：集合（x，y）|（x1）2+（x2）210所表示的区域A为以C（1，2）为圆心、半径等于的圆面，当这两部分面积之差最大时，直线l应该垂直于直线OC，而OC的斜率为2，故直线l的斜率为，故直线l的方程为y=x，即x+2y=0此时，弦心距为OC=，故弦长为2=2，故答案为：x+2y=0；2点评： 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，弦长公式的应用，判断直线l应该垂直于直线OC，是解题的关键，属于中档题12已知函数其中c0那么f（x）的零点是1和0；若f（x）的值域是，则c的取值范围是0c4考点： 函数的零点；函数的值域专题： 计算题分析： 分x为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f（x）的零点根据二次函数的图象与性质，求出当x2，0）时，函数f（x）的值域恰好是，所以当0xc时，f（x）=的最大值不超过2，由此建立不等式，可解出实数c的取值范围解答： 解：当x0时，令=0，得x=0；当x0时，令x2+x=0，得x=1（舍零）f（x）的零点是1和0函数y=x2+x在区间2，）上是减函数，在区间（，0）上是增函数当x2，0）时，函数f（x）最小值为f（）=，最大值是f（2）=2当0xc时，f（x）=是增函数且值域为0，当f（x）的值域是，2，即0c4故答案为：1和0 0c4点评： 本题给出特殊分段函数，求函数的零点并在已知值域的情况下求参数的取值范围，着重考查了函数零点的、函数的值域和二次函数的单调性和最值等知识，属于基础题13已知集合A=（x，y）|x|1，|y|1，若存在（x，y）A，使不等式x2y+m0成立，则实数m最小值是3考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图，若存在（x，y）A，使不等式x2y+m0成立，则只需要点B（1，1）满足不等式x2y+m0成立即可，则1+2+m0，即m3即可，故实数m最小值是3，故答案为：3点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键注意本题为存在性问题的求解14若实数x，y满足x+y=6，则f（x，y）=（x2+4）（y2+4）的最小值为144考点： 函数的最值及其几何意义专题： 计算题；整体思想；函数的性质及应用分析： 化简f（x，y）=（x2+4）（y2+4）=（xy4）2+144，从而利用二次函数求最值解答： 解：f（x，y）=（x2+4）（y2+4）=x2y2+4（x2+y2）+16=（xy）2+4（x+y）22xy+16=（xy）28xy+4（x+y）2+16，x+y=6，f（x，y）=（xy）28xy+436+16=（xy4）2+144144；当xy=4，即x=3+，y=3或x=3，y=3+时，等号成立；故最小值为144；故答案为：144点评： 本题考查了函数的最值的求法，应用了整体代换的思想，属于中档题15在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD所成的角为，则cos的取值范围是考点： 直线与平面所成的角专题： 空间角分析： 首先当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，进一步利用解三角形知识利用余弦定理求出角的余弦值当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，直接在MBD中，线段MD与BD所成角为30，求出夹角的余弦值最后求出角的余弦值的范围解答： 解：在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，则：当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，设：正四面体的边长为2，取AD的中点，连接MN、NG，利用勾股定理得：CM=，M、G是AB和AD的中点，所以：MG=1，同理解得：CG=，在CMG中，利用余弦定理得：，即：所成角的余弦值最小为当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，连接DM，在MBD中，线段MD与BD所成角为30，所以：cos，即所成角的余弦值最大为所以：cos的范围为：故答案为：点评： 本题考查的知识要点：异面直线的夹角的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的应用能力和空间想象能力三、解答题（共5小题，满分74分）16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinAsinC=sin（AB）；（）求B；（）若b=2，求ABC的面积考点： 余弦定理；三角形中的几何计算专题： 解三角形分析： （）由三角函数恒等变换化简已知可得cosB=，结合B的范围即可解得B的值（）根据余弦定理可解得a=2或a=4，从而有三角形面积公式即可得解解答： 解：（）sinA=sinC+sin（AB）=sin（A+B）+sin（AB）=2sinAcosB，cosB=由0B，即可解得：B=7分（）根据余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，有（2）2=a2+6212acos，即a26a+8=0，解得：a=2或a=4，当a=2时，SABC=acsinB=3；当a=4时，SABC=acsinB=68分点评： 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，解题时注意分情况讨论，属于基本知识的考查17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，且满足ABCD，AD=DC=AB，PA平面ABCD（）求证：平面PBD平面PAD；（）若PA=AB，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值考点： 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）首先利用中点得到BCE为正三角形，进一步利用勾股定理的逆定理得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证得：线面垂直最后转化成面面垂直（）首先作出直线与平面的夹角的平面角，进一步利用解直角三角形知识求得结果解答： （）证明：取AB的中点，连接CE，则由题意知：BCE为正三角形，所以：ABC=60，由等腰梯形知：BCD=120，设AD=CD=BC=2，则：AB=4，BD=2，故：AD2+BD2=AB2，即得：ADB=90，所以：ADBD，又因为：PA平面ABCD，所以：PABD，则：BD平面PAD，且BC平面PBD，所以：平面PBD平面PAD（）在平面ABCD中，过点C作CHBD交AD的延长线于点H，由（）知：BD平面PAD，所以：CH平面PAD，连接PH，则：CPH即为所求的角在RtCHD中，CD=2，CDH=60，所以：CH=，在RtPHC中，PC=，所以：在RtPHC中，sinCPH=即：直线PC与平面PAD所成角的正弦值为点评： 本题考查的知识要点：勾股定理逆定理的应用，现面向垂直的判定和性质定理的应用，面面垂直的判定定理的应用，线面的夹角的应用主要考查学生的空间想象能力和应用能力18已知数列an是各项为正数的等比数列，数列bn的前n项和Sn=n2+5n，且满足a4=b14，a6=b126，令cn=logan（nN*）（）求数列bn及cn的通项公式；（）设Pn=cb1+cb2+cbn，Qn=cc1+cc2+ccn，试比较Pn与Qn的大小，并说明理由考点： 数列的求和专题： 等差数列与等比数列分析： （I）数列bn的前n项和Sn=n2+5n，当n=1时，b1=6，当n2时，bn=SnSn1，即可得出bn设等比数列an的公比q0，利用a4=b14=32，a6=b126=256，利用等比数列的通项公式可得an，进而得到cn=logan=3n2（nN*）（II）=3（2n+4）2=6n+10.=3（3n2）2=9n8利用等差数列的前n项和公式可得：Pn，Qn利用“作差法”即可比较出大小解答： 解：（I）数列bn的前n项和Sn=n2+5n，当n=1时，b1=6，当n2时，bn=SnSn1=n2+5n（n1）2+5（n1）=2n+4，当n=1时也成立，bn=2n+4设等比数列an的公比q0，a4=b14=32，a6=b126=2126+4=256，q2=8，q0，解得q=2an=，cn=logan=3n2（nN*）（II）=3（2n+4）2=6n+10.=3（3n2）2=9n8Pn=cb1+cb2+cbn=3n2+13n，Qn=cc1+cc2+ccn，=PnQn=，当n10时，PnQn；当n=11时，Pn=Qn；当n11时，PnQn点评： 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“作差法”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19已知抛物线C：y2=2px（p0）上的点（2，a）到焦点F的距离为3（）求抛物线的方程；（）设动直线l与抛物线C相切于点A，且与其准线相交于点B，问在坐标平面内是否存在定点D，使得以AB为直径的圆恒过定点D？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程专题： 向量与圆锥曲线分析： （）根据抛物线上的点到焦点F的距离求出p的值，即可确定出抛物线的方程；（）设动直线l方程为x=ty+b，表示出B坐标，联立l与抛物线解析式，消去x得到关于y的方程，根据根的判别式等于0得出t与b的关系式，进而设出A与D的坐标，表示出向量与向量，根据圆周角定理得到两向量垂直，即数量积为0，列出关系式，确定出当m=1，n=0时，上式对任意xR恒成立，即可得出使得以AB为直径的圆恒过点D，以及此时D的坐标解答： 解：（）由条件得到=1，即p=2，则抛物线的方程为y2=4x；（）设动直线l方程为x=ty+b（