正规变换与埃尔米特二次型.ppt

第十三讲第十三讲 正规变换与埃尔米特二次型正规变换与埃尔米特二次型 定义定义1 1 设设 是酉空间是酉空间 V V 的一个线性变的一个线性变换换, , 如果如果对任意向量对任意向量 V,V, 都有都有 ( ( ( ( ), ), ) = () = ( , , ( ( ), ), 则称则称 是是HermiteHermite变换变换. . 问题问题 设设 是酉空间是酉空间 V V 中的线性变换中的线性变换, , 是否存在是否存在 L(V), L(V), 使得使得 , , V, V, 有有 ( (, , ) = () = ( , , ). ). 定理定理1 1 设设 是是 n n 维酉空间维酉空间 V V 中的线性变换中的线性变换, , 则存在唯一的则存在唯一的 L(V), L(V), 使得使得 , , V, V, 有有 ( (, , ) = () = ( , , ) ) 证明证明 存在性存在性: : 设设 1 1 , , 2 2 , , , n n 是 是 V V 中一组标准正交基中一组标准正交基, , 在 在 1 1 , , 2 2 , , , n n 下的矩阵为 下的矩阵为 A, A, 由上册由上册P.198P.198定理定理6.4, 6.4, 存在唯一存在唯一 的一个的一个 V V 中的线性变换中的线性变换 , , 在在 1 1 , , 2 2 , , , n n 下的矩阵为下的矩阵为 A AH H , , 设设 1 1 , , 2 2 , , , n n X, X, 1 1 , , 2 2 , , , n n Y, A = (Y, A = (a a ij ij ) ) n n n n, , 则 则 = (= ( 1 1 , , 2 2 , , , n n )AX, )AX, = ( = ( , , 2 2 , , , n n )A)AH HY, Y, 且且 1 唯一性唯一性: : 设设 和和 是是 n n 维酉空间维酉空间 V V 中的两个线性变换中的两个线性变换, , 且且 , , V, V, 有有 ( ( , , ) = () = ( , , ), ), 则则 ( ( , (, ( - - ) ) ) = 0, ) = 0, 取取 = (= ( - - ) ) , , 则则 ( ( , , ) = 0, ) = 0, 故故 = 0, = 0, 所以所以 V, V, 有有 ( ( - - ) ) = 0, = 0, 故故 = = . . 定义定义2 2 设设 是是 n n 维酉空间维酉空间 V V 中的线性变换中的线性变换, , 由定理由定理1 1存存 在唯一的在唯一的 V V 中的线性变换中的线性变换( (记为记为) ) *, *, 使得使得 , , V V, , 有有 ( (, , ) = () = ( , , * * ), ), 这个线性变换称为这个线性变换称为 的共轭变换的共轭变换. . 设设 是酉空间是酉空间 V V 中的中的HermiteHermite变换变换, , 则则 * * = = . . 2 推论推论1 1 设设 是是 n n 维酉空间维酉空间 V V 中的中的HermiteHermite变换变换, , 1 1 , , 2 2 , , , n n 是 是 V V 中一组标准正交基中一组标准正交基, , 在 在 1 1 , , 2 2 , , , n n 下的矩阵为 下的矩阵为 A, A, 则则 A AH H = A, A = A, A 称为称为HermiteHermite矩阵矩阵. . 推论推论2 2 设设 是是 n n 维酉空间维酉空间 V V 中的酉变换中的酉变换, , 1 1 , , 2 2 , , , n n 是 是 V V 中一组标准正交基中一组标准正交基, , 则由则由P.71P.71定理定理10.9, 10.9, 在在 1 1 , , 2 2 , , , n n 下的矩阵 下的矩阵 A A 为为酉矩阵酉矩阵, , 即即 A AH H = A = A-1 -1, , 故 故 * * = = -1 -1 . . 定义定义3 3 设设 是是 n n 维酉空间维酉空间 V V 中的线性变换中的线性变换, , 若若 * * = = * * , , 则称则称 为正规变换为正规变换. . 设设 是是 n n 维酉空间维酉空间 V V 中的正规变换中的正规变换, , 1 1 , , 2 2 , , , n n 是 是 V V 中中 一组标准正交基一组标准正交基, , 在在 1 1 , , 2 2 , , , n n 下的矩阵为 下的矩阵为 A, A, 则则 A AA AH H = A = AH HA, A A, A 称为正规矩阵称为正规矩阵. . 酉变换和酉变换和HermiteHermite变换都是正规变换变换都是正规变换, , 酉矩阵和酉矩阵和HermiteHermite 矩阵都是正规矩阵矩阵都是正规矩阵. . 3 定理定理2 2 设设 是是 n n 维酉空间维酉空间 V V 中的正规变换中的正规变换, , 若若 = = , , 则则 证明证明 因为因为 = = , , 所以所以 ( ( - -) ) = 0, = 0, 要证要证 ( ( *-*-) ) = 0, = 0, 推论推论1 1 设设 是是 n n 维酉空间维酉空间 V V 中的中的HermiteHermite变换变换, , 则则 的特的特 征值全是实数征值全是实数. . 推论推论2 2 设设 是是 n n 维酉空间维酉空间 V V 中的酉变换中的酉变换, , 则则 的特征值的特征值 的绝对值均为的绝对值均为1 1. . 4 定理定理3 3 若若 n n 阶方阵阶方阵 A A 是正规矩阵是正规矩阵, , 则存在酉矩阵则存在酉矩阵 U,U, 使得使得 U U 1 1 AUAU = = U UH HAU AU 是对角阵是对角阵. . 证明证明 对对 n n 归纳归纳. . 当当 n = 1 n = 1 时时, , 显然显然. . 设当设当 A A 是是 n-1 n-1 阶正规阶正规 矩阵时命题成立矩阵时命题成立, , 现设现设 1 1 是是 A A 的一个特征值的一个特征值, , X X 1 1 是是 A A 的的 属于属于 1 1 的一个单位特征向量的一个单位特征向量, , 由上册由上册P.163P.163定理定理5.125.12可知可知 X X1 1 可扩充为可扩充为 C Cn n 的一组基 的一组基, , 这组基通过施密特正交化过程这组基通过施密特正交化过程 可可化为化为 C C n n 的一组标准正交基的一组标准正交基 X X 1 1 , X, X 2 2 , , X X n n , , 因为因为 X X 1 1 , , X X 2 2, , , X, X n n 为为 C C n n 的一组基的一组基, , 所以存在所以存在 n n 维向量维向量 Y Y 2 2 ,Y,Y n n , , 使使 得得 A AX X 2 2 = = (X(X 1 1 , X, X 2 2 , X X n n ) )Y Y 2 2 , , AXAX n n = = ( (X X 1 1 , , X X 2 2 , X X n n ) )Y Y n n , , 记记 (X(X 1 1 , X, X 2 2 , X X n n ) ) 为为 U U 1 1 , , ( ( 1 1e e1 1 , , Y Y 2 2 , , , Y Y n n ) ) 为为 B, B, 则则 AUAU 1 1 = = 而而 AXAX 1 1 = = 1 1X X1 1 = = ( (X X 1 1 , , X X 2 2 , X X n n) ) 1 1e e1 1 , , ( (A AX X 1 1 , A, AX X 2 2 , AX, AX n n ) = ) = (X(X 1 1 , X, X 2 2 , , X, X n n ) )( ( 1 1e e1 1 , Y, Y 2 2 , Y, Y n n ) ) = = U U 1 1 ( ( 1 1 e e1 1 , , Y Y 2 2 , Y Y n n ) = U) = U 1 1 B.B.5 U U1 1 是是酉矩阵酉矩阵, , 且且 U U 1 1 -1-1AU AU 1 1 = B. = B. 因为因为 U U 1 1 -1-1 = = U U 1 1 HH, , 所以 所以 B B HHB B = U = U 1 1 -1-1 A A HH U U1 1U U1 1 -1-1AU AU 1 1 = U = U 1 1 -1-1 A A HHAU AU-1 -1 = = U U1 1 -1-1AA AAH H U U1 1 = U= U 1 1 -1-1AU AU 1 1U U1 1 -1-1 A A HH U U1 1 = BB = BBH H, B , B 也是正规矩阵也是正规矩阵, , 记记 则则 且且 C C 为为 n-1 n-1 阶正规矩阵阶正规矩阵, , 由归纳假设存在由归纳假设存在 酉酉矩阵矩阵 U U 2 2 , , 使得使得 U U 2 2 1 1 CUCU 2 2 是对角阵是对角阵 D, D, 6 令令则 则 即即 U U 是酉矩阵是酉矩阵, , 且且 U U 1 1 AUAU = = U UH HAU AU 是对角阵是对角阵. . 7 定理定理4 4 设设 是是 n n 维酉空间维酉空间 V V 中的正规变换中的正规变换, , 则则 属于不属于不 同特征值的特征向量正交同特征值的特征向量正交. . 证明证明 设设 l l 上述分析指明了正规矩阵酉对角化上述分析指明了正规矩阵酉对角化( (即求酉矩阵即求酉矩阵 U U, , 使使 得得 U U-1 -1AU AU 为对角阵为对角阵) )的方法的方法. . 8 l l 正规矩阵酉对角化的方法正规矩阵酉对角化的方法 (1)(1) 求求 A A 的特征值的特征值, , 得到得到 其中其中 (2)(2) 对每个对每个 i i , , 求线性方程组求线性方程组 ( ( i i I I A A X X 的基础解系的基础解系, , i i = = 1, 1, 2, 2, s, s, 得到得到 (3)(3) 对每组向量对每组向量进行进行施密特正交化施密特正交化, , 得到一个得到一个 得一个标准正交特征向量组得一个标准正交特征向量组: : (4)(4) 令令 则由定理则由定理3 ; p-(p-(r-p) = 2p-r r-p) = 2p-r 符号差符号差. . l l 任意任意HermiteHermite矩阵共轭相合于对角阵矩阵共轭相合于对角阵 或者说或者说 A A MM n n (C)(C), , 若若 A AH H = A, = A, 则存在一个可逆矩阵则存在一个可逆矩阵 P P MM n n (C)(C) 使得使得 HermiteHermite型的正定性型的正定性 1. 1. 正定正定HermiteHermite型的定义型的定义 15 定义定义6 6 设设 f f( ( ) = ) = X XH HAX AX 是是HermiteHermite型型, , 若对任何非零向量 若对任何非零向量 都有都有 f f( ( ) 0, ) 0, 则称这个则称这个HermiteHermite型型 f f( ( ) ) 为正定二次型为正定二次型. . 正定正定HermiteHermite型的矩阵称为正定型的矩阵称为正定HermiteHermite矩阵矩阵. . 例如例如 X XH HX X 是正定是正定HermiteHermite型型. . 2. 2. 正定正定HermiteHermite矩阵的性质矩阵的性质 1)1) 可逆线性替换不改变可逆线性替换不改变HermiteHermite型的正定性型的正定性. . 2)2) HermiteHermite阵阵 A A 正定正定 A A 的特征值都大于的特征值都大于0. 0. 3) 3) n n 元元HermiteHermite型正定型正定 正惯性指数正惯性指数 p = p = n n. . 4)4) HermiteHermite阵阵 A A 正定正定 A A 与与 I I 共轭相合共轭相合. . 5)5) HermiteHermite阵阵 A A 正定正定 A = A = C CH HC C, , 其中 其中 C C 可逆可逆. . 6)6) 正定正定HermiteHermite矩阵的行列式大于零矩阵的行列式大于零. . 反之不一定成立反之不一定成立. . l l HermiteHermite型型 f f( ( ) = ) = X X T T AX AX 正定正定 A A 的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式 P P i i 0, 0, i i = 1, 2, = 1, 2, n. n. ( (证略证略) ) 16 例例2 2 求参数求参数 t t 的范围的范围, , 使下列使下列HermiteHermite型为正定型为正定HermiteHermite型型: : 解解 这个这个HermiteHermite型的矩阵为型的矩阵为