浙江专用2020版高考数学第九章解析几何考点规范练48抛物线.docx

考点规范练48抛物线基础巩固组1.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.-1716B.-1516C.1716D.1516答案B解析抛物线方程可化为x2=-y4,其准线方程为y=116.设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知116-y0=1y0=-1516.2.如果点M(5,3)到抛物线y=ax2(a0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是()A.y=12x2B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2D.y=112x2或y=-136x2答案D解析分两类a0,a0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2x1x2的值一定等于()A.-4B.4C.p2D.-p2答案A解析若焦点弦ABx轴,则x1=x2=p2,则x1x2=p24,y1y2=-p2,则y1y2x1x2=-4;若焦点弦AB不垂直于x轴,可设AB:y=kx-p2,联立y2=2px得k2x2-(k2p+2p)x+p2k24=0,则x1x2=p24.又y12=2px1,y22=2px2,y12y22=4p2x1x2=p4,又y1y20),若直线y=2x被抛物线C所截弦长为45,则抛物线C的方程为()A.x2=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=y答案C解析由x2=2py,y=2x,得x=0,y=0或x=4p,y=8p,即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p),则4p2+8p2=45,得p=1(舍去负值).故抛物线C的方程为x2=2y.5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上,且|AK|=2|AF|,则AFK的面积为()A.4B.8C.16D.32答案B解析抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,K(-2,0).设A(x0,y0),过点A向准线作垂线AB垂足为B,则B(-2,y0).|AK|=2|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得y02=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得A(2,4).故AFK的面积为12|KF|y0|=1244=8.6.抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,其准线与双曲线y2-x2=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.答案23解析y2=2px的准线为x=-p2.由于ABF为等边三角形.因此不妨设A-p2,p3,B-p2,-p3.又点A,B在双曲线y2-x2=1上,从而p23-p24=1,所以p=23.7.已知F1,F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a0)的左、右焦点,P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为.答案x=-2解析将双曲线方程化为标准方程得x2a2-y23a2=1,抛物线的准线为x=-2a,联立x2a2-y23a2=1,y2=8axx=3a,即点P的横坐标为3a.而由|PF1|+|PF2|=12,|PF1|-|PF2|=2a|PF2|=6-a,|PF2|=3a+2a=6-a,得a=1,抛物线的准线方程为x=-2.8.若抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-12,则实数m的值是.答案32解析由于A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,故可设直线AB方程为y=-x+n,代入抛物线方程y=2x2得2x2+x-n=0,由x1x2=-12得n=1,设A,B中点为P(x0,y0),则x0=x1+x22=-14,y0=-x0+1=54,点(x0,y0)在直线y=x+m上,代入得m=32.能力提升组9.(2018浙江台州二模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A是抛物线上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且OAF的面积为1,O为坐标原点,则p的值为()A.1B.2C.3D.4答案B解析不妨设点A(x0,y0)在第一象限,由题意可知x0+p2=2x0,SOAF=12p2y0=1,即x0=p2,y0=4p,Ap2,4p.又点A在抛物线y2=2px上,16p2=2pp2,即p4=16.又p0,p=2.故选B.10.过点(0,-2)的直线交抛物线y2=16x于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且y12-y22=1,则OAB(O为坐标原点)的面积为()A.12B.14C.18D.116答案D解析由题意得,y12=16x1,y22=16x2,y12-y22=16(x1-x2)y1-y2x1-x2=16y1+y2,AB:y=16y1+y2x-2,令y=0,x=y1+y28,S=12y1+y28|y1-y2|=116|y12-y22|=116,故选D.11.(2018浙江嘉兴一模)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线的斜率为1,则|AF|等于()A.1B.2C.3D.4答案A解析设点B的坐标为(x1,y1),因为y=12x2,所以y=x.所以y|x=x1=x1=1,则B1,12.因为F0,12,所以直线l的方程为y=12.故|AF|=|BF|=1.12.(2018浙江嘉兴调研)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若OAOB=-12,则抛物线C的方程为()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=8xD.y2=4x答案C解析由题意,设抛物线方程为y2=2px(p0),直线方程为x=my+p2,联立y2=2px,x=my+p2,消去x得y2-2pmy-p2=0,显然方程有两个不相等的实根.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-p2,得OAOB=x1x2+y1y2=my1+p2my2+p2+y1y2=m2y1y2+pm2(y1+y2)+p24+y1y2=-34p2=-12,解得p=4(舍负).故抛物线C的方程为y2=8x.13.已知抛物线y2=4x的焦点F,若A,B是该抛物线上的点,AFB=90,线段AB中点M在抛物线的准线上的射影为N,则|MN|AB|的最大值为()A.2B.1C.22D.12答案C解析设|AF|=a,|BF|=b,点A,B在准线上的射影点分别为Q,P,连接AQ,BQ,如图.由抛物线定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,根据中位线定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,aba+b22,(a+b)2-2ab(a+b)2-2a+b22=12(a+b)2.得到|AB|22(a+b).所以|MN|AB|12(a+b)22(a+b)=22,即|MN|AB|的最大值为22.故选C.14.已知点F为抛物线x2=4y的焦点,O为坐标原点,点M是抛物线准线上一动点,A在抛物线上,且|AF|=2,则|OA|=;|MA|+|MO|的最小值是.答案513解析易知F(0,1).设A(x,y),由|AF|=2,得y+1=2,则y=1,代入x2=4y得x=2,所以A(2,1),则|OA|=5.设B(0,-2),因点M在抛物线准线上,则|MO|=|MB|,从而|MA|+|MO|的最小值就是|MA|+|MB|的最小值.因为A,B为定点,所以|MA|+|MB|的最小值即为|AB|=13,故|MA|+|MO|的最小值是13.15.已知P为抛物线C:y2=4x上的一点,F为抛物线C的焦点,其准线与x轴交于点N,直线NP与抛物线交于另一点Q,且|PF|=3|QF|,则点P坐标为.答案(3,23)解析y2=4x,焦点坐标F(1,0),准线方程x=-1.过P,Q分别作准线的射影分别为A,B,则由抛物线的定义可知:|PA|=|PF|,|QF|=|BQ|.|PF|=3|QF|,|AP|=3|QB|,即|AN|=3|BN|,P,Q的纵坐标满足yP=3yQ,设Py24,y,y0,则Qy236,y3.N,Q,P三点共线,yy24+1=y3y236+1,解得y2=12,y=23,此时x=y24=124=3,即点P坐标为(3,23).16.已知直线l经过抛物线x2=4y的焦点,且与抛物线交于A,B两点,点O为坐标原点.(1)求抛物线准线方程;(2)若AOB的面积为4,求直线l的方程.解(1)由抛物线x2=4y的方程可得焦点F(0,1),准线方程为y=-1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).设直线l的方程为y=kx+1.联立抛物线方程,化为x2-4kx-4=0.x1+x2=4k,x1x2=-4.|AB|=1+k216k2+16=4(1+k2).点O到直线l的距离d=11+k2.SOAB=12|AB|d=124(1+k2)11+k2=4,解得k2=3,k=3.直线l的方程为y=3x+1.17.(2018浙江衢州模拟)已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+OB,求的值.解(1)直线AB的方程是y=22x-p2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0.由题意知,方程必有两个不相等的实根.所以x1+x2=5p4,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=