2018版高考数学复习压轴题命题区间六圆锥曲线问题文.docx

压轴题命题区间(六)圆锥曲线问题第一课时简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程巧用定义，揭示本质定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上典例如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()ABC D解析由已知，得F1(，0)，F2(，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得解得a22，故a所以双曲线C2的离心率e答案D方法点拨本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量对点演练抛物线y24mx(m0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(m,0)，则的最小值为_解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|xPm，又|PA|2(xPm)2y(xPm)24mxP，则2(当且仅当xPm时取等号)，所以，所以的最小值为答案：设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解典例已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的标准方程为()A1 B1C1 D1解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，y1y22，得0，所以kAB又kAB，所以又9c2a2b2，解得b29，a218，所以椭圆E的方程为1答案D方法点拨本题设出A，B两点的坐标，却不需求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题对点演练过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0，x1x22，y1y22，a22b2又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，即椭圆C的离心率e答案：巧用“根与系数的关系”，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系后者往往计算量小，解题过程简捷典例(2016全国甲卷)已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围解设M(x1，y1)，则由题意知y10(1)当t4时，E的方程为1，A(2,0)由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为因此直线AM的方程为yx2将xy2代入1，得7y212y0解得y0或y，所以y1因此AMN的面积SAMN2(2)由题意知t3，k0，A(，0)将直线AM的方程yk(x)代入1，得(3tk2)x22tk2xt2k23t0由x1()，得x1，故|AM|x1|由题设，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)当k时上式不成立，因此tt3等价于0，即0因此得或解得k0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)解析：选D设A，B，M，C(5,0)为圆心，当y1y2时，kAB，kCM，由kABkCM1yy24，所以M，又r2|CM|24210y1y2，所以(2r220)2yy，所以y，y是方程t224t(2r220)20的两个不同的正根，由0得2r4综上，r的取值范围是(2,4)6中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为()A1 B1C1 D1解析：选C由已知得c5，设椭圆的方程为1，联立消去y得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，设直线y3x2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得x1x2，由题意知x1x21，即1，解得a275，所以该椭圆方程为17已知双曲线C：y21，点M的坐标为(0,1)设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点记，则的取值范围是_解析：设P(x0，y0)，则Q(x0，y0)，(x0，y01)(x0，y01)xy1x2因为|x0|，所以的取值范围是(，1答案：(，18(2017长春质检)已知AB为圆x2y21的一条直径，点P为直线xy20上任意一点，则的最小值为_解析：由题意，设A(cos ，sin )，P(x，x2)，则B(cos ，sin )，(cos x，sin x2)，(cos x，sin x2)，(cos x)(cos x)(sin x2)(sin x2)x2(x2)2cos2sin22x24x32(x1)21，当且仅当x1，即P(1，1)时，取最小值1答案：19设抛物线(t为参数，p0)的焦点为F，准线为l过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B设C，AF与BC相交于点E若|CF|2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为_解析：由(p0)消去t可得抛物线方程为y22px(p0)，F，|AB|AF|CF|p，可得A(p，p)易知AEBFEC，故SACESACF3ppp23，p26p0，p答案：10(2016河北三市二联)已知离心率为的椭圆1(ab0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|(1)求此椭圆的方程；(2)已知直线ykx2与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(1,0)，求k的值解：(1)设焦距为2c，e，a2b2c2，由题意可知，b1，a，椭圆的方程为y21(2)将ykx2代入椭圆方程，得(13k2)x212kx90，又直线与椭圆有两个交点，所以(12k)236(13k2)0，解得k21设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，若以CD为直径的圆过E点，则0，即(x11)(x21)y1y20，而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，则(x11)(x21)y1y2(k21)x1x2(2k1)(x1x2)550，解得k，满足k2111(2016山东高考节选)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率是，抛物线E：x22y的焦点F是C的一个顶点(1)求椭圆C的方程(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M求证：点M在定直线上解：(1)由题意知，可得a24b2因为抛物线E的焦点为F，所以b，a1所以椭圆C的方程为x24y21(2)证明：设P(m0)由x22y，可得yx，所以直线l的斜率为m因此直线l的方程为ym(xm)，即ymx设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，联立方程得(4m21)x24m3xm410由0，得0m22(*)由根与系数的关系得x1x2，因此x0将其代入ymx，得y0因为，所以直线OD的方程为yx联立方程得点M的纵坐标yM，所以点M在定直线y上12(2016合肥质检)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykx1与曲线C交于A，B两点，求OAB面积的取值范围解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意可知2a4，又a2b2c2，解得a2，c，b1，故椭圆C的方程为x21(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2，设OAB的面积为S，由x1x20，知S(|x1|x2|)|x1x2|2，令k23t，知t3，S2对函数yt(t3)，知y10，yt在t3，)上单调递增，t，0，0S，即OAB面积的取值范围是第二课时定点、定值、证明问题定点问题典例已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过x轴上一定点解(1)因为抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，所以1，即p2所以抛物线C的方程为y24x(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，设A，B因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简得t232所以A(8，t)，B(8，t)，此时直线AB的方程为x8当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组消去x得ky24y4b0由根与系数的关系得yAyB，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，即xAxB2yAyB0即2yAyB0，解得yAyB0(舍去)或yAyB32所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，即yk(x8)综合可知，直线AB过定点(8,0)方法点拨圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关对点演练已知椭圆1(ab0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足1，2(1)求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点解：(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，所以a23所以椭圆的方程为y21(2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为xt(ym)，由1 ，知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由题意y10，11同理由2知21123，113，y1y2m(y1y2)0，联立得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，(mt)21，由题意mt0，mt1，满足，故直线l的方程为xty1，过定点(1,0)，即Q为定点定值问题典例(2017张掖诊断)如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值解(1)由题意知，b1，由a2b2c2，得a，所以椭圆E的方程为y21(2)证明：设直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由题意知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x20，则x1x2，x1x2，所以直线AP与AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2故直线AP与AQ的斜率为定值2方法点拨定值问题常见的2种求法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)引进变量法：其解题流程为对点演练已知椭圆1(ab0)的左焦点F1(1,0)，长轴长与短轴长的比是2(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若mn，求证：为定值解：(1)由已知得解得a2，b故所求椭圆的方程为1(2)证明：由已知F1(1,0)，当直线m不垂直于坐标轴时，可设直线m的方程为yk(x1)(k0)由得(34k2)x28k2x4k2120由于0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，|AB| 同理|CD|所以当直线m垂直于坐标轴时，此时|AB|3，|CD|4；或|AB|4，|CD|3，所以综上，为定值证明问题典例(2017山西省四校联考)如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|3(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：ANMBNM解(1)设圆C的半径为r(r0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r)|MN|3，r2222，解得r2圆C的方程为(x2)22(2)证明：把x0代入方程(x2)22，解得y1或y4，即点M(0,1)，N(0,4)当ABy轴时，由椭圆的对称性可知ANMBNM当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为ykx1联立方程消去y得，(12k2)x24kx60设直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2，x1x2kANkBN若kANkBN0，则ANMBNM2kx1x23(x1x2)0，ANMBNM方法点拨圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法对点演练(2017开封模拟)如图，已知圆G：(x2)2y2是椭圆C：1(ab0)的内接ABC的内切圆，其中A(4,0)为椭圆的左顶点(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆的上顶点M作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切解：(1)由题意可知BC垂直于x轴，a4设B(2r，y0)(r为圆G的半径)，过圆心G作GDAB于D，BC交x轴于H，由，得，即y0，r，y0，B在椭圆上，1，解得b1，椭圆C的方程为y21(2)证明：由(1)可知M(0,1)，设过点M(0,1)与圆(x2)2y2相切的直线方程为：ykx1，则，即32k236k50，解得k1，k2，将代入y21得(16k21)x232kx0，则异于零的解为x设F(x1，k1x11)，E(x2，k2x21)，则x1，x2，则直线FE的斜率为：kEF，于是直线FE的方程为：y1，即yx，则圆心(2,0)到直线FE的距离dr，故结论成立1已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAOB求证：原点O到直线AB的距离为定值 ，并求出该定值解：(1)由题意知，e，2，又a2b2c2，所以a2，c，b1，所以椭圆C的方程为y21(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x，此时，原点O到直线AB的距离为当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240则(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0，x1x2，x1x2，则y1y2(kx1m)(kx2m)，由OAOB，得kOAkOB1，即1，所以x1x2y1y20，即m2(1k2)，满足0所以原点O到直线AB的距离为综上，原点O到直线AB的距离为定值2(2017湖南省东部六校联考)设椭圆C1：1(ab0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且PF1F2的周长是42(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足，连接AC交DE于点P，求证：PDPE解：(1)由e，知，所以ca，因为PF1F2的周长是42，所以2a2c42，所以a2，c，所以b2a2c21，所以椭圆C1的方程为y21(2)证明：由(1)得A(2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0,0)，因为，所以可设C(2，y1)，所以(x02，y0)，(2，y1)，由可得(x02)y12y0，即y1所以直线AC的方程为：整理得y(x2)又点P在直线DE上，将xx0代入直线AC的方程可得y，即点P的坐标为，所以P为DE的中点，所以PDPE3椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为(1)求椭圆C的标准方程(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解：(1)因为左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为，所以，解得c1又e，解得a2，所以b2a2c23所以所求椭圆C的方程为1(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，化简，得34k2m20所以x1x2，x1x2y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，则kADkBD1，所以1，所以y1y2x1x22(x1x2)40，所以40化为7m216mk4k20，解得m12k，m2，满足34k2m20当m2k时，l：yk(x2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m时，l：yk，直线过定点综上可知，直线l过定点4(2016南昌一模)已知椭圆C：1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线xy210与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程；(2)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2k3k4求k1k2的值；求|OB|2|OC|2的值解：(1)设椭圆C的右焦点为F2(c,0)，则c2a2b2(c0)由题意可得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(xc)2y2a2，圆心到直线xy210的距离da(*)椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，bc，a2c，把a2c代入(*)式得c1，b，a2，故所求椭圆的方程为1(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(x1，y1)，于是k1k2由及题意知，k3k4k1k2，故y1y2x1x2xxyy(4x)(4x)，即xx164(xx)xx，xx4又2，故yy3|OB|2|OC|2xyxy7第三课时最值、范围、存在性问题最值问题典例(2016广州市高考模拟)定圆M：(x)2y216，动圆N过点F(，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E(1)求轨迹E的方程；(2)设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|CB|，当ABC的面积最小时，求直线AB的方程解(1)因为点F(，0)在圆M：(x)2y216内，所以圆N内切于圆M因为|NM|NF|4|FM|，所以点N的轨迹E是以M(，0)，F(，0)为焦点的椭圆，且2a4，c，所以b1所以轨迹E的方程为y21(2)当AB为长轴(或短轴)时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点(或左右顶点)，此时SABC|OC|AB|2当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为ykx，联立方程可取x，y，所以|OA|2xy由|AC|CB|知，ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OCAB，所以直线OC的方程为yx，由得x，y，所以|OC|2SABC2SOAC|OA|OC|由于，所以SABC，当且仅当14k2k24，即k1时等号成立，此时ABC面积的最小值是因为2，所以ABC面积的最小值为，此时直线AB的方程为yx或yx方法点拨圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法(1)两种类型涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题(2)两种解法几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解提醒求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等对点演练已知椭圆C的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，且F2到直线xy90的距离等于椭圆的短轴长(1)求椭圆C的方程(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t0)，且经过F1，F2，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过点Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值解：(1)设椭圆的方程为1(ab0)依题意可知，2b4，所以b2又c1，故a2b2c25，故椭圆C的方程为1(2)由题意，圆P的方程为：x2(yt)2t21，设Q(x0，y0)，因为PMQM，所以|QM|若4t2, 即t，当y02时，|QM|取得最大值，|QM|max，解得t(舍去)若4t2，即0t，当y04t时，|QM|取最大值，且|QM|max，解得t2又0t，所以t综上可知，当t时，|QM|的最大值为范围问题典例(2016浙江高考)如图，设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围解(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AP，由得(1a2k2)x22a2kx0，故x10，x2因此|AP|x1x2|(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k20，k1k2由(1)知，|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0由k1k2，k1，k20得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a由e，得0e所求离心率的取值范围为方法点拨解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围对点演练已知圆x2y21过椭圆1(ab0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：ykxm与圆x2y21相切，与椭圆1相交于A，B两点记，且(1)求椭圆的方程；(2)求k的取值范围；(3)求OAB的面积S的取值范围解：(1)由题意知2c2，所以c1因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b1，故a，所以所求椭圆方程为y21(2)因为直线l：ykxm与圆x2y21相切，所以原点O到直线l的距离为1，即m2k21由消去y，得(12k2)x24kmx2m220设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，由，得k21，即k的取值范围是(3)|AB| ，由k21，得|AB|设OAB的AB边上的高为d，则S|AB|d|AB|，所以S即OAB的面积S的取值范围是存在性问题典例(2015四川高考)如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且1(1)求椭圆E的方程(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0,1)，且1，于是解得a2，b所以椭圆E的方程为1(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12所以当1时，23此时，3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD此时，213故存在常数1，使得为定值3方法点拨存在性问题求解的3个注意点存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径对点演练已知椭圆C的焦点坐标是F1(1,0)，F2(1,0)，过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B，D两点，且|BD|3(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由解：(1)设椭圆的方程是1(ab0)，由题可知c1，因为|BD|3，所以3，又a2b21，所以a2，b，所以椭圆C的方程为1(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为yk(x2)1由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点M，N，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0，所以k，由根与系数的关系知x1x2，x1x2，因为(x12)(x22)(y11)(y21)，所以(x12)(x22)(1k2)，即x1x22(x1x2)4(1k2)，所以(1k2)，解得k因为k，所以k，故存在直线l1满足条件，其方程为yx1(2016贵阳监测考试)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使AEB90，求直线l的斜率k的取值范围解：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有解得a，c，b21，故椭圆C的方程为x21(2)由已知可得，直线l的方程为ykx2，以AB为直径的圆与x轴有公共点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，将直线l：ykx2代入x21，得(3k2)x24kx10，则12k2120，x1x2，x1x2x0，y0kx02，|AB|，解得k413，即k或k故所求斜率的取值范围为(，)2(2016西安质检)如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一