中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第26课时锐角三角函数与解直角三角形.docx

第5章 图形的性质【精学】考点一、锐角三角函数 1、如图，在ABC中，C=90 锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记为sinA，即锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记为cosA，即锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记为tanA，即锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记为cotA，即2、锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数 0 30 45 60 90sin01cos10tan01不存在cot不存在104、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sinA=cos(90A)，cosA=sin(90A)tanA=cot(90A)，cotA=tan(90A)（2）平方关系（3）倒数关系tanAtan(90A)=1（4）弦切关系tanA=5、锐角三角函数的增减性当角度在090之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点二、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在RtABC中，C=90，A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A+B=90（3）边角之间的关系：【巧练】题型一、锐角三角函数的概念【例1】(2015浙江丽水)如图，点A为边上任意一点，作ACBC于点C，CDAB于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）A BC D【答案】C【分析】由图可知=ACD，所以cos=cosACD，是RTABC、BCD的内角，ACD是RTACD的内角，共有三种表示方法，故可做出判断【解析】根据，所以选项A、B、D正确，选项C错误故选C【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边【方法规律技巧】在解直角三角形时，许多问题中并不是直角三角形，而是要通过构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题通常通过作三角形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用三角函数定义解决题型二、特殊角的三角函数值【例2】（2016天津）sin60的值等于（）A B C D【答案】C【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案【解答】解：sin60=故选：C【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确把握定义是解题关键题型三、解直角三角形【例3】（2016怀化）在RtABC中，C=90，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（）A6cm B7cm C8cm D9cm【答案】C【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解【解答】解：sinA=，设BC=4x，AB=5x，又AC2+BC2=AB2，62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=2（舍），则BC=4x=8cm，故选：C【点评】本题考查了锐角三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键【方法规律技巧】根据题干描述可以画出图形，方便理解，最关键的是要明确边角关系，以防出错，根据三角函数找到边之间的数量关系在通过勾股定理列方程，是求边的常用方法。题型四、网格中的三角函数问题【例4】(2016湖北襄阳)如图，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为( ) 【答案】B.【解析】试题分析：过C作CDAB于D，BC2，AB3，SABC，解得：CD，又AC，所以，故答案选B.【点评】网格含有大量的隐含条件，充分发掘网格中的边角条件，利用网格构建直角三角形是解答此类问题的关键。【限时突破】1.（2015天津）的值等于（ ）（A） （B） （C） （D）2（2016兰州）在RtABC中，C=90，sinA=，BC=6，则AB=（）A4 B6 C8 D103（2016永州）下列式子错误的是（）Acos40=sin50 Btan15tan75=1Csin225+cos225=1 Dsin60=2sin304（2015甘肃庆阳）在ABC中，若角A，B满足|cosA|+（1tanB）2=0，则C的大小是（）A45B 60C 75D 1055（2016福州）如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设POB=，则点P的坐标是（）A（sin，sin） B（cos，cos） C（cos，sin） D（sin，cos）6.（2015黑龙江牡丹江）在ABC中，AB=12，AC=13，cosB=，则BC边长为（ ）A7 B8 C8或17 D7或177.（2015四川巴中）如图，将AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tanAOB=8（2015甘肃天水）如图，在四边形ABCD中，BAD=ADC=90，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上若点P到BD的距离为，则点P的个数为（） A 2 B 3 C 4 D 5（2015湖北襄阳）如图，AD是ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=求：（1）BC的长；（2）sinADC的值【答案解析】1.【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值即可得【解析】根据特殊角的三角函数值即可得=，故选B【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键2【答案】D.【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可【解答】解：在RtABC中，C=90，sinA=，BC=6，AB=10，故选D【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键3. 【答案】D【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断【解答】解：A、sin40=sin（9050）=cos50，式子正确；B、tan15tan75=tan15cot15=1，式子正确；C、sin225+cos225=1正确；D、sin60=，sin30=，则sin60=2sin30错误故选D【点评】本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键4. 【答案】D分析：根据非负数的性质得出cosA=，tanB=1，求出A和B的度数，继而可求得C的度数解答：解：由题意得，cosA=，tanB=1，则A=30，B=45，则C=1803045=105故选D点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角5. 【答案】C【分析】过P作PQOB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标【解答】解：过P作PQOB，交OB于点Q，在RtOPQ中，OP=1，POQ=，sin=，cos=，即PQ=sin，OQ=cos，则P的坐标为（cos，sin），故选C【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键6.【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值：cos45=,所以B=45，然后画出图形，分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论即可得解.【解析】根据特殊角的三角函数值：cos45=,所以B=45，然后画出图形，分锐角三角形和钝角三角形两种情况，如图：当ABC为钝角三角形时，如图1，作ADBC交BC的延长线于D，由B=45可知ABD是等腰直角三角形，AB=12，AD=BD=12，AC=13，由勾股定理得CD=5，BC=BDCD=125=7；当ABC为锐角三角形时，如图2，作ADBC交BC于D,由B=45可知ABD是等腰直角三角形，AB=12，AD=BD=12，AC=13，由勾股定理得CD=5，BC=BD+CD=12+5=17；故BC的值有两个7或17，选D【点评】本题考查了在直角三角形特殊角的函数值，勾股定理，锐角三角函数的定义，分类讨论，属中等题.7.【答案】分析：先在图中找出AOB所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tanAOB的值解答：解：过点A作ADOB垂足为D，如图，在直角ABD中，AD=1，OD=2，则tanAOB=故答案为点评：本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边8.分析： 首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与比较得出答案解答： 解：过点A作AEBD于E，过点C作CFBD于F，BAD=ADC=90，AB=AD=2，CD=，ABD=ADB=45，CDF=90ADB=45，sinABD=，AE=ABsinABD=2sin45=2=2，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，故选A点评： 本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案.分析： （1）过点A作AEBC于点E，根据cosC=，求出C=45，求出AE=CE=1，根据tanB=，求出BE的长即可；（2）根据AD是ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案解答