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练习题无忧数学集合与函数概念 （必修一）第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系A组1已知A1,2，Bx|xA，则集合A与B的关系为_解析：由集合Bx|xA知，B1,2答案：AB2若x|x2a，aR，则实数a的取值范围是_解析：由题意知，x2a有解，故a0.答案：a03已知集合Ay|yx22x1，xR，集合Bx|2x5，集合Bx|xa，若命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：命题“xA”是命题“xB” 的充分不必要条件，AB，a5.答案：a0且b0；(2)a0且b0；(3)a0；(4)a0且b0，讨论得y3或y1.答案：3，12已知集合A1,3,2m1，集合B3，m2若BA，则实数m_.解析：BA，显然m21且m23，故m22m1，即(m1)20，m1.答案：13设P，Q为两个非空实数集合，定义集合PQab|aP，bQ，若P0,2,5，Q1,2,6，则PQ中元素的个数是_个解析：依次分别取a0,2,5；b1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，PQ1,2,6,3,4,8,7,11答案：84已知集合Mx|x21，集合Nx|ax1，若NM，那么a的值是_解析：Mx|x1或x1，NM，所以N时，a0；当a0时，x1或1，a1或1.答案：0,1，15满足1A1,2,3的集合A的个数是_个解析：A中一定有元素1，所以A有1,2，1,3，1,2,3答案：36已知集合Ax|xa，aZ，Bx|x，bZ，Cx|x，cZ，则A、B、C之间的关系是_解析：用列举法寻找规律答案：ABC7集合Ax|x|4，xR，Bx|x5”的_解析：结合数轴若ABa4，故“AB”是“a5”的必要但不充分条件答案：必要不充分条件8设集合Mm|m2n，nN，且m500，则M中所有元素的和为_解析：2n0，故x0，xy0，于是由AB得lg(xy)0，xy1.Ax,1,0，B0，|x|，于是必有|x|1，x1，故x1，从而y1.11已知集合Ax|x23x100，(1)若BA，Bx|m1x2m1，求实数m的取值范围；(2)若AB，Bx|m6x2m1，求实数m的取值范围；(3)若AB，Bx|m6x2m1，求实数m的取值范围解：由Ax|x23x100，得Ax|2x5，(1)BA，若B，则m12m1，即m2.(2)若B是A的子集，即BA，由数轴可知1a2.(3)若A=B，则必有a=2第二节 集合的基本运算A组1设UR，Ax|x0，Bx|x1，则AUB_.解析：UBx|x1，AUBx|0x1答案：x|01，集合Bx|mxm3(1)当m1时，求AB，AB；(2)若BA，求m的取值范围解：(1)当m1时，Bx|1x2，ABx|11，即m的取值范围为(1，)B组1若集合MxR|3x1，NxZ|1x2，则MN_.解析：因为集合N1,0,1,2，所以MN1,0答案：1,02已知全集U1,0,1,2，集合A1,2，B0,2，则(UA)B_.解析：UA0,1，故(UA)B0答案：03若全集UR，集合Mx|2x2，Nx|x23x0，则M(UN)_.解析：根据已知得M(UN)x|2x2x|x3x|2x0答案：x|2x04集合A3，log2a，Ba，b，若AB2，则AB_.解析：由AB2得log2a2，a4，从而b2，AB2,3,4答案：2,3,45已知全集UAB中有m个元素，(UA)(UB)中有n个元素若AB非空，则AB的元素个数为_解析：UAB中有m个元素，(UA)(UB)U(AB)中有n个元素，AB中有mn个元素答案：mn6设Un|n是小于9的正整数，AnU|n是奇数，BnU|n是3的倍数，则U(AB)_.解析：U1,2,3,4,5,6,7,8，A1,3,5,7，B3,6，AB1,3,5,6,7，得U(AB)2,4,8答案：2,4,87定义ABz|zxy，xA，yB设集合A0,2，B1,2，C1，则集合(AB)C的所有元素之和为_解析：由题意可求(AB)中所含的元素有0,4,5，则(AB)C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：188若集合(x，y)|xy20且x2y40(x，y)|y3xb，则b_.解析：由点(0,2)在y3xb上，b2.9设全集I2,3，a22a3，A2，|a1|，IA5，Mx|xlog2|a|，则集合M的所有子集是_解析：A(IA)I，2,3，a22a32,5，|a1|，|a1|3，且a22a35，解得a4或a2，Mlog22，log2|4|1,2答案：，1，2，1,210设集合Ax|x23x20，Bx|x22(a1)x(a25)0(1)若AB2，求实数a的值；(2)若ABA，求实数a的取值范围解：由x23x20得x1或x2，故集合A1,2(1)AB2，2B，代入B中的方程，得a24a30a1或a3；当a1时，Bx|x2402,2，满足条件；当a3时，Bx|x24x402，满足条件；综上，a的值为1或3.(2)对于集合B，4(a1)24(a25)8(a3)ABA，BA，当0，即a0，即a3时，BA1,2才能满足条件，则由根与系数的关系得矛盾.综上，a的取值范围是a3.11已知函数f(x) 的定义域为集合A，函数g(x)lg(x22xm)的定义域为集合B.(1)当m3时，求A(RB)；(2)若ABx|1x4，求实数m的值解：Ax|1x5(1)当m3时，Bx|1x3，则RBx|x1或x3，A(RB)x|3x5(2)Ax|1x5，ABx|1x4，有4224m0，解得m8，此时Bx|2x4，符合题意12已知集合AxR|ax23x20(1)若A，求实数a的取值范围；(2)若A是单元素集，求a的值及集合A；(3)求集合MaR|A解：(1)A是空集，即方程ax23x20无解。若a0，方程有一解x，不合题意若a0，要方程ax23x20无解，则98a.综上可知，若A，则a的取值范围应为a.(2)当a0时，方程ax23x20只有一根x，A符合题意当a0时，则98a0，即a时，方程有两个相等的实数根x，则A综上可知，当a0时，A；当a时，A(3)当a0时，A.当a0时，要使方程有实数根，则98a0，即a.综上可知，a的取值范围是a，即MaR|Aa|a第三节 函数的单调性A组1下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是_f(x)f(x)(x1)2 f(x)exf(x)ln(x1)解析：对任意的x1，x2(0，)，当x1f(x2)，f(x)在(0，)上为减函数答案：2函数f(x)(xR)的图象如右图所示，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是_解析：0a1，ylogax为减函数，logax0，时，g(x)为减函数由0logaxx1.答案：，1(或(，1)3函数y 的值域是_解析：令x4sin2，0，ysincos2sin()，1y2.答案：1,24已知函数f(x)|ex|(aR)在区间0,1上单调递增，则实数a的取值范围_解析：当a0，且ex0时，只需满足e00即可，则1a0时，f(x)ex，则满足f(x)ex0在x0,1上恒成立只需满足a(e2x)min成立即可，故a1，综上1a1.答案：1a15(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是_f(x)sinx；f(x)lgx；f(x)ex；f(x)解析：sinx1，f(x)sinx的下确界为1，即f(x)sinx是有下确界的函数；f(x)lgx的值域为(，)，f(x)lgx没有下确界；f(x)ex的值域为(0，)，f(x)ex的下确界为0，即f(x)ex是有下确界的函数；f(x)的下确界为1.f(x)是有下确界的函数答案：6已知函数f(x)x2，g(x)x1.(1)若存在xR使f(x)bg(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)f(x)mg(x)1mm2，且|F(x)|在0,1上单调递增，求实数m的取值范围.解：(1)xR，f(x)bg(x)xR，x2bxb0b4.(2)F(x)x2mx1m2，m24(1m2)5m24，当0即m时，则必需m0.当0即m时，设方程F(x)0的根为x1，x2(x1x2)，若1，则x10.m2.若0，则x20，1m0.4a4.答案：40)在(，)上是单调增函数，则实数a的取值范围_解析：f(x)x(a0)在(，)上为增函数，0a.答案：(0，4定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则下列结论正确的是_f(3)f(2)f(1)f(1)f(2)f(3) f(2)f(1)f(3)f(3)f(1)f(2)解析：由已知0，得f(x)在x0，)上单调递减，由偶函数性质得f(2)f(2)，即f(3)f(2)f(1)答案：5已知函数f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，则a的取值范围是_解析：由题意知，f(x)为减函数，所以解得0a.6函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，定义函数g(x)f(x)(x1)，则函数g(x)的最大值为_解析：g(x)当0x0，a1)在区间(0，)内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为_解析：令2x2x，当x(0，)时，(0,1)，而此时f(x)0恒成立，0a0，即x0或x，得0x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f()0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)由f()f(x1)f(x2)得f()f(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.由于函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数，由f(|x|)9，x9或x9或x912已知：f(x)log3，x(0，)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列三个条件：(1)在(0,1上是减函数，(2)在1，)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由解：f(x)在(0,1上是减函数，1，)上是增函数，x1时，f(x)最小，log31.即ab2.设0x1x21，则f(x1)f(x2)即恒成立由此得0恒成立又x1x20，x1x20，x1x2b0恒成立，b1.设1x3x4，则f(x3)f(x4)恒成立0恒成立x3x40，x3x40，x3x4b恒成立b1.由b1且b1可知b1，a1.存在a、b，使f(x)同时满足三个条件第三节 函数的性质A组1设偶函数f(x)loga|xb|在(，0)上单调递增，则f(a1)与f(b2)的大小关系为_解析：由f(x)为偶函数，知b0，f(x)loga|x|，又f(x)在(，0)上单调递增，所以0a1,1a1f(b2)答案：f(a1)f(b2)2定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)f(4)f(7)等于_解析：f(x)为奇函数，且xR，所以f(0)0，由周期为2可知，f(4)0，f(7)f(1)，又由f(x2)f(x)，令x1得f(1)f(1)f(1)f(1)0，所以f(1)f(4)f(7)0.答案：03已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则f(25)、f(11)、f(80)的大小关系为_解析：因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)0，得f(80)f(0)0，f(25)f(1)f(1)，而由f(x4)f(x)得f(11)f(3)f(3)f(14)f(1)，又因为f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(1)f(0)0，所以f(1)0，即f(25)f(80)f(11)答案：f(25)f(80)f(11)4已知偶函数f(x)在区间0，)上单调增加，则满足f(2x1)f()的x取值范围是_解析：由于f(x)是偶函数，故f(x)f(|x|)，由f(|2x1|)f()，再根据f(x)的单调性得|2x1|，解得x0)，由f(1)f(4)0，得a(12)25a(42)250，a2，f(x)2(x2)25(1x4)(3)yf(x)(1x1)是奇函数，f(0)0，又知yf(x)在0,1上是一次函数，可设f(x)kx(0x1)，而f(1)2(12)253，k3，当0x1时，f(x)3x，从而当1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x.当4x6时，有1x51，f(x)f(x5)3(x5)3x15.当6x9时，10，若f(1)0，那么关于x的不等式xf(x)0，则在(0，)上f(x)是增函数，在(，0)上是减函数，又f(x)在R上是偶函数，且f(1)0，f(1)0.从而可知x(，1)时，f(x)0；x(1,0)时，f(x)0；x(0,1)时，f(x)0.不等式的解集为(，1)(0,1)答案：(，1)(0,1)5已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2009)f(2010)的值为_解析：f(x)是偶函数，f(2009)f(2009)f(x)在x0时f(x2)f(x)，f(x)周期为2.f(2009)f(2010)f(2009)f(2010)f(1)f(0)log22log21011.答案：16已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x2)，若当2x3时，f(x)x，则f(2009.5)_.解析：由f(x2)，可得f(x4)f(x)，f(2009.5)f(50241.5)f(1.5)f(2.5)f(x)是偶函数，f(2009.5)f(2.5).答案：7定义在R上的函数f(x)在(，a上是增函数，函数yf(xa)是偶函数，当x1a，且|x1a|x2a|时，则f(2ax1)与f(x2)的大小关系为_解析：yf(xa)为偶函数，yf(xa)的图象关于y轴对称，yf(x)的图象关于xa对称又f(x)在(，a上是增函数，f(x)在a，)上是减函数当x1a，且|x1a|x2a|时，有ax1x2a，即a2ax1f(x2)答案：f(2ax1)f(x2)8已知函数f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)x(x1)若f(a)2，则实数a_.解析：当x0时，f(x)x(x1)0，由f(x)为奇函数知x0时，f(x)0，a0时，x0)f(x)即f(x)xlg(2|x|)(xR)11已知函数f(x)，当x，yR时，恒有f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果xR，f(x)0，并且f(1)，试求f(x)在区间2,6上的最值解：(1)证明：函数定义域为R，其定义域关于原点对称f(xy)f(x)f(y)，令yx，f(0)f(x)f(x)令xy0，f(0)f(0)f(0)，得f(0)0.f(x)f(x)0，得f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2