高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式单元质量评估含解析新人教A版.docx

第三讲 柯西不等式与排序不等式单元质量评估(三) (90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知m2+n2=2,t2+s2=8,则|mt+ns|的最大值为()A.2B.4C.8D.16【解析】选B.由柯西不等式,(mt+ns)2(m2+n2)(t2+s2)=16,得|mt+ns|4,当且仅当ms=nt时等号成立.2.(2016深圳高二检测)函数y=x-5+26-x的最大值为()A.3B.5C.3D.5【解析】选B.根据柯西不等式,有(1+4)(x-5)+(6-x)=5,所以y=+2.3.设a,b,c0,且a+b+c=1,则a+b+c的最大值是()A.1B.3C.3D.9【解析】选B.由柯西不等式得()2+()2+()2(12+12+12)(+)2,所以(+)213=3.当且仅当a=b=c=时等号成立.故+的最大值为.4.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D.1n【解析】选C.设n个正数为x1,x2,xn.由柯西不等式得:(x1+x2+xn)(+)=(1+1+1)2=n2.当且仅当x1=x2=xn时取等号.5.(2016石家庄高二检测)已知正数a,b,c满足a+b+c=1,则3a+1+3b+1+3c+1的最大值为()A.3B.32C.18D.9【解析】选B.根据柯西不等式,+=3,当且仅当a=b=c=时,等号成立.6.(2016西宁高二检测)已知a,b,x1,x2R+,ab=1,x1+x2=2,则M=(ax1+bx2)(bx1+ax2)与4的大小关系是()A.M4B.M4C.M4D.M4【解析】选C.(ax1+bx2)(bx1+ax2)=()2+()2()2+()2(x1+x2)2=(x1+x2)2=4.7.设a1,a2,a3为正数,E=a1a2a3+a2a3a1+a3a1a2,F=a1+a2+a3,则E,F的大小关系是()A.E0,于是,a2a3a3a1a1a2.由排序不等式:顺序和乱序和,得+a2a3+a3a1+a1a2=a3+a1+a2,即+a1+a2+a3.所以EF.8.(2016武汉高二检测)已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取得最小值时的x,y,z的值分别为()A.53,109,56B.2029,3029,4029C.1,12,13D.1,14,19【解析】选B.(x2+y2+z2)(4+9+16)(2x+3y+4z)2=100,当且仅当=且2x+3y+4z=10时等号成立,此时x=2029,y=3029,z=4029.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.有4人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s,每个人接完水后就离开,则他们等候的总时间最短为s.【解析】由题意知,等候的时间最短为34+43+52+7=41.答案:4110.(2016盐城高二检测)正数a,b,c满足a+b+4c=1,则a+b+2c的最大值为.【解析】(1+1+)(a+b+4c)=,所以+.答案:11.(2016昆明高二检测)已知0x1,0y0,于是,又c0,所以0,从而.同理,因为bc0,于是,因为a0,所以0,于是得.从而.(2)由(1),于是顺序和乱序和得,+=+=+=+.16.(10分)设c1,c2,cn为正数组a1,a2,an的某一排列,求证:a1c1+a2c2+ancnn.【证明】不妨设0a1a2an,则.因为,是,的一个排列,故由排序原理,反序和乱序和得a1+a2+ana1+a2+an.即+n.17.(10分)(2016徐州高二检测)已知函数f(x)=m-|x-2|,mR,且f(x+2)0的解集为-1,1.(1)求m的值.(2)若a,b,cR+,且1a+12b+13c=m,求证:a+2b+3c9.【解析】(1)因为f(x+2)=m-|x|0,等价于|x|m,由|x|m有解,得m0,且其解集为x|-mxm,又f(x+2)0的解集为-1,1,故m=1.(2)由(1)知+=1,又a,b,cR+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)=9.18.(10分)(2016广州高二检测)设a1,a2,an为1,2,3,n的一个排列.求证:12+23+n-1na1a2+a2a3+an-1an.【证明】设b1,b2,bn-1是a1,a2,an-1的