高考数学复习推理证明算法复数12.6离散型随机变量的均值与方差正态分布理.docx

第十二章 推理证明、算法、复数 12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 理 1离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)4正态分布(1)正态曲线：函数，(x)，x(，)，其中实数和为参数(0，R)我们称函数，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示(3)正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数a，b (ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作XN(，2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；P(3110)0.2，该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.25010.题型一离散型随机变量的均值、方差命题点1求离散型随机变量的均值、方差例1(2016山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是，每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和均值E()解(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“星队至少猜对3个成语”由题意，得EABCDBCDACDABDABC，由事件的独立性与互斥性，P(E)P(ABCD)P(BCD)P(ACD)P(ABD)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)P(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P(B)P(C)P()2.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.(2)由题意，得随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X0)，P(X1)2，P(X2)，P(X3)，P(X4)2，P(X6).可得随机变量X的分布列为X012346P所以均值E(X)012346.命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值例2设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E()，D()，求abc.解(1)由题意得2,3,4,5,6，故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列为23456P(2)由题意知的分布列为123P所以E()，D()222，化简得解得a3c，b2c，故abc321.思维升华离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解(2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值(3)由已知条件，作出对两种方案的判断可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断(2015四川)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和均值解(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为.因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1.(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的分布列为X123P因此，X的均值为E(X)1P(X1)2P(X2)3P(X3)1232.题型二均值与方差在决策中的应用例3(2016全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而P(X16)0.20.20.04，P(X17)20.20.40.16，P(X18)20.20.20.40.40.24，P(X19)20.20.220.40.20.24，P(X20)20.20.40.20.20.2，P(X21)20.20.20.08，P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040；当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知当n19时所需费用的均值小于n20时所需费用的均值，故应选n19.思维升华随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定某投资公司在2016年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为X1300150PE(X1)300(150)200.若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为X25003000PE(X2)500(300)0200.D(X1)(300200)2(150200)235 000，D(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.所以E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资题型三正态分布的应用例4(1)(2015湖北)设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是()AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)答案D解析对于A项，因为正态分布曲线关于直线x对称，所以10.5P(Y2)，故A项错误；对于B项，因为X的正态分布密度曲线比Y的正态分布密度曲线更“瘦高”，所以12.所以P(X1)P(X2)，故B项错误；对于C项，由图象可知，在y轴的右侧某处，显然满足P(Xt)P(Yt)，故C项错误；对于D项，在y轴右侧作与x轴垂直的一系列平行线，可知在任何情况下，X的正态分布密度曲线与x轴之间围成的图形面积都大于Y的正态分布密度曲线与x轴之间围成的图形面积，即对任意正数t，P(Xt)P(Yt)，故D项正确(2)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.()利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；()某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用()的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.解抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.()由知，ZN(200,150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.()由()知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知XB(100,0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26.思维升华解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率注意只有在标准正态分布下对称轴才为x0.(2015山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%.)()A4.56% B13.59% C27.18% D31.74%答案B解析由正态分布的概率公式知P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，故P(36)0.135 913.59%，故选B.8离散型随机变量的均值与方差问题典例(12分)(2016湖北六校联考)在2016年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题规定：至少正确回答其中2题的便可通过已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题正确回答与否互不影响(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其均值；(2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力规范解答解(1)甲正确回答的题目数可取1,2,3.P(1)，P(2)，P(3).3分故其分布列为123PE()1232.5分又乙正确回答的题目数B(3，)，其分布列为0123PE()np32.8分(2)D()(21)2(22)2(23)2，D()np(1p)3，10分D()P(2)从回答对题数的均值考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少正确回答2题的概率考查，甲获得通过的可能性大因此可以判断甲的通过能力较强12分求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤:第一步：确定随机变量的所有可能值;第二步：求每一个可能值所对应的概率;第三步：列出离散型随机变量的分布列;第四步：求均值和方差;第五步：根据均值、方差、进行判断，并得出结论; (适用于均值、方差的应用问题)第六步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范.1(2016郑州一模)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均值为()A0.9 B0.8 C1.2 D1.1答案A解析由题意得X0,1,2，则P(X0)0.60.50.3，P(X1)0.40.50.60.50.5，P(X2)0.40.50.2，E(X)10.520.20.9.2(2017芜湖月考)若XB(n，p)，且E(X)6，D(X)3，则P(X1)的值为()A322 B24C3210 D28答案C解析由题意知解得P(X1)C(1)113210.3设随机变量XN(，2)，且X落在区间(3，1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等，若P(X2)p，则P(0X2)p，P(2x2)12p，P(0X2)p.4一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为_，_.答案20解析记此人三次射击击中目标次数为X，得分为Y，则XB(3，)，Y10X，E(Y)10E(X)10320，D(Y)100D(X)1003.5(2016湖北宜昌一中月考)已知XN(，2)时，P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4，则_.答案0.021 5解析由题意，1，1，P(3X4)P(2X4)P(1X3)(0.997 40.954 4)0.021 5.6某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的分布列及均值E()解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1P()1p，解得p.(2)由题意，得随机变量可能的取值为0,1,2,3，则P(0)3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)3.所以，随机变量的分布列为0123P故随机变量的均值E()0123.(或因为B(3，)，所以E()3.)7(2016汕尾调研)为了解某市高三学生身高情况，对全市高三学生进行了测量，经分析，全市高三学生身高X(单位：cm)服从正态分布N(160，2)，已知P(X150)0.2，P(X180)0.03.(1)现从该市高三学生中随机抽取一名学生，求该学生身高在区间170,180)的概率；(2)现从该市高三学生中随机抽取三名学生，记抽到的三名学生身高在区间150,170)的人数为，求随机变量的分布列和均值 E()解(1)由全市高三学生身高X服从N(160，2)，P(X150)0.2，得P(160X170)P(150X160)0.50.20.3.因为P(X180)0.03，所以P(170X180)0.50.30.030.17.故从该市高三学生中随机抽取一名学生，该学生身高在区间170,180)的概率为0.17.(2)因为P(150X170)P(150X160)P(160XE(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大方法二(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分X3”为事件A，则事件A包含有“X0”，“X2”，“X3”三个两两互斥的事件，因为P(X0)(1)(1)，P(X2)(1)，P(X3)(1)，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即这2人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：X1024PX2036P所以E(X1)024，E(X2)036.因为E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大*9.为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的