辽宁省五所重点校学高二上学期期末考试数学理试题.doc

辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题，则为（ ）A B C D2.设等差数列的前项和为，已知，则（ ）A B27 C D543.若，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 5.直三棱柱中，分别是的中点，则与所成角的余弦值为（ ）A B C D 6.已知等比数列中，则其前三项的和的取值范围是（ ）A B C D7.已知变量满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则（ ）A2 B1 C D 8.的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，则的长为（ ）A B C D 9.已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D10.设椭圆与函数的图象相交于两点，点为椭圆上异于的动点，若直线的斜率取值范围是，则直线的斜率取值范围是（ ）A B C D 11.设数列的前项和，若，且，则等于（ ）A5048 B5050 C10098 D1010012.已知双曲线的上焦点为，是双曲线下支上的一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 14.已知正项等比数列的公比为2，若，则的最小值等于 15.已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 16.如图，在直三棱柱中，已知与分别是棱和的中点，与分别是线段与上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.18.在长方体中，为中点.（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值.19.已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列是单调递增数列，求实数的取值范围.20.如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且平面平面,为中点，.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的平面角大小满足，求四棱锥的体积.21.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于 两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线恒过一个定点.22.如图，在平面直角坐标系中，已知圆，点，点，以为圆心，为半径作圆，交圆于点，且的平分线交线段于点.（1）当变化时，点始终在某圆锥曲线上运动，求曲线的方程；（2）已知直线过点，且与曲线交于两点，记面积为，面积为，求的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DACAA 6-10: DCBBD 11、12：CB二、填空题13. 14. 15. 6 16. 三、解答题17.解：（1）因为成等差数列，所以，所以，所以，因为数列是等比数列，所以，又，所以，所以数列的通项公式.（2）由（1）知，所以 .故.18.（1）证明：连接是长方体，平面又平面， 在长方形中，,又,平面而平面,（2）如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则令，则所以与平面所成角的正弦值为.19.解（1）因为数列满足，所以，即，又，所以 ，所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列.（2）由（1）可得，所以，因为符合，所以.因为数列是单调递增数列，所以，即， 化为，所以.20.证明：（1）取中点为,中点为, 由侧面为正三角形，且平面平面，得平面,故,又,则平面,又,则,又是中点，则,由线面垂直的判定定理知平面.又平面, 故平面平面.（2）如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则令，则由（1）知为平面的法向量，令为平面的法向量，由于，故 即 解得故，由，解得.故四棱锥的体积.21.解：（1）抛物线的焦点，直线的方程为：联立方程组，消元得：，解得.，抛物线的方程为：.（2）设两点坐标分别为，则点的坐标为.由题意可设直线的方程为.由，得.因为直线与曲线于两点，所以.所以点的坐标为.由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.当时，有，此时直线的斜率.所以，直线的方程为，整理得.