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目目 录录 一、初中代数一、初中代数 1 二、高中代数二、高中代数 4 2.1、函数4 2.1.1 不等式7 2.1.1 数列8 2.1.1 三角函数9 2.1.1 复数11 2.2 排列、组合12 2.3 平面几何13 2.3.1 直线与角13 2.3.2 三角形14 2.4 立体几何14 2.4.1 直线与平面14 2.4.2 多面体、棱柱、棱锥17 2.5 解析几何17 2.5.1 方程与曲线17 2.5.2 直线18 2.5.3 圆19 2.5.4 椭圆19 2.5.5 双曲线20 2.5 抛物线20 2.6 向量部分21 2.6.1 空间向量21 2.6.2 平面向量22 三、常用公式三、常用公式 23 3.1 常用公式23 3.2 几何图形及计算公式25 四、坐标几何和二维、三维图形四、坐标几何和二维、三维图形 27 4.1 坐标几何27 4.2 二维图形28 4.3 三维图形29 一、初中代数一、初中代数 【实数的分类实数的分类】 【自然数自然数】表示物体个数的 1、2、3、4等都称为自然数 【质数与合数质数与合数】 一个大于 1 的整数，如果除了它本身和 1 以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质 数。一个大于 1 的数，如果除了它本身和 1 以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名 人士为合数，1 既不是质数又不是合数。 【相反数相反数】只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是零。 【绝对值绝对值】 一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。 从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。 【倒数倒数】1 除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。零没有倒数。 【完全平方数完全平方数】如果一个有理数 a 的平方等于有理数 b，那么这个有理数 b 叫做完全平方数。 【方根方根】如果一个数的 n 次方（n 是大于 1 的整数）等于 a，这个数叫做 a 的 n 次方根。 【开方开方】求一数的方根的运算叫做开方。 【算术根算术根】正数 a 的正的 n 次方根叫做 a 的 n 次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。 【代数式代数式】 用有限次运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结所得的式子， 叫做代数式。 【代数式的值代数式的值】 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的 值。 【代数式的分类代数式的分类】 【有理式有理式】只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式 【无理式无理式】根号下含有字母的代数式叫做无理式 【整式整式】没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式 【分式分式】除式中含字母的有理式叫分式 【有理数的运算律有理数的运算律】 【等式的性质等式的性质】 【乘法公式乘法公式】 【因式分解因式分解】 方 程 含有未知数的等式叫做方程。 方程的解 在未知数允许值范围内，能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 【方程方程】 解 方 程 在指定范围内求出方程所有解，或者确定方程无解的过程，叫做解方程。 【一元一次方程一元一次方程】 一元一次方程：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程 【一元二次方程一元二次方程】 二、高中代数二、高中代数 2.12.1、函数、函数 【集合集合】 指定的某一对象的全体叫集合。集合的元素具有确定性、无序性和不重复性。 【集合的分类集合的分类】 【集合的表示方法集合的表示方法】 名名 称称 定定 义义 图图 示示 性性 质质 子子 集集 真真 子子 集集 交交 集集 并并 集集 补补 集集 函数的性质函数的性质定定 义义 判定方法判定方法 函数的奇偶性函数的奇偶性 函如果对一函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)叫做 奇函数；函如果对一函数 f(x)定义域内任 意一个 x，都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)叫做偶函数 函数的单调性函数的单调性对于给定的区间上的函数 f(x)： 函数的周期性函数的周期性 对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常 数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数 y=f(x)叫做周期函数。不为零的常数 T 叫 做这个函数的周期。 （1）利用定义 （2）利用已知函数的周期 的有关定理。 函数函数 名称名称 解析式解析式 定义域定义域 值值 域域 奇偶性奇偶性 单单 调调 性性 正比正比 例函例函 数数 R R 奇函数 反比反比 例函例函 数数 奇函数 一次一次 函数函数 RR 二次二次 函数函数 R 函数函数 名称名称 解析式解析式 定义域定义域 值值 域域 奇偶性奇偶性 单单 调调 性性 正比正比 例函例函 数数 R R 奇函数 反比反比 例函例函 数数 奇函数 一次一次 函数函数 RR 二次二次 函数函数 R 2.1.12.1.1 不等式不等式 不等式不等式 用不等号把两个解析式连结起来的式子叫做不等式 不等式不等式 的性质的性质 含绝对值不等式的性质含绝对值不等式的性质 几个重要的不等式几个重要的不等式 形形 式式 解解 集集 R R 一一 元元 一一 次次 不不 等等 式式 的的 解解 法法 R R 一一 元元 二二 次次 不不 等等 式式 的的 解解 法法 绝绝 对对 值值 不不 等等 式式 的的 解解 法法 无无 理理 不不 等等 式式 的的 解解 法法 2.1.12.1.1 数列数列 名名 称称 定定 义义 通通 项项 公公 式式 前前 n n 项的和公式项的和公式 其它其它 数数 列列 按照一定次序排成一列按照一定次序排成一列 的数叫做数列，记为的数叫做数列，记为anan 如果一个数列如果一个数列 anan的第的第 n n 项项 anan 与与 n n 之间的关系之间的关系 可以用一个公式可以用一个公式 来表示，这个公来表示，这个公 式就叫这个数列式就叫这个数列 的通项公式的通项公式 等等 差差 数数 列列 等等 比比 数数 列列 数列前数列前 n n 项和与通项的关系：项和与通项的关系： 无穷等比数列所有项的和：无穷等比数列所有项的和： 适适 用用 范范 围围 证证 明明 步步 骤骤 注注 意意 事事 项项 数数 学学 归归 纳纳 法法 只适用于证明与自然数 n 有 关的数学命题 设 P(n)是关于自然 n 的一个命题，如果 (1)当 n 取第一个值 n0(例如：n=1 或 n=2) 时，命题成立(2)假设 n=k 时，命题成立， 由此推出 n=k+1 时成立。那么 P(n)对于一 切自然数 n 都成立。 （1）第一步是递推的基础，第二步的推 理根据，两步缺一不可 （2）第二步的证明过程中必须使用归纳 假设。 2.1.1 三角函数三角函数 角角 一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线 叫角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 角的单位制角的单位制关关 系系弧弧 长长 公公 式式 扇扇 形形 面面 积积 公公 式式 角度制角度制 弧度制弧度制 位 置 角 的 集 合 在 x 轴正半轴上 在 x 轴负半轴上 在 x 轴上 在 y 轴上 在第一象限内 在第二象限内 在第三象限内 角角 的的 终终 边边 在第四象限内 函数函数/ /角角 0 特特 殊殊 角角 的的 三三 sina010-10 cosa10-101 tana01 不 存 在 0 不存 在 0 角角 函函 数数 值值 cota 不存在 10 不存 在 0 不存 在 函数函数定义域定义域值域值域 奇偶奇偶 性性 周期性周期性 单单 调调 性性 y=sinx R 奇函 数 y=cosx R 偶函 数 y=tanx R 奇函 数 y=cotx R 奇函 数 角角/ /函数函数 正弦正弦 余弦余弦 正切正切 余切余切 -a -sina cosa -tana -cota 900a cosa sina cota tana 900+a cosa -sina -cota -tana 1800-a sina -cosa -tana -cota 1800+a -sina -cosa tana cota 2700-a -cosa -sina cota tana 2700+a -cosa sina -cota -tana 3600-a -sina cosa -tana -cota 三三 角角 函函 数数 的的 性性 质质 sina cosa tana cota 倒数关系倒数关系 商数关系商数关系 同角公式同角公式 平方关系平方关系 和差角公式和差角公式 / 倍角公式倍角公式 万能公式万能公式 半角公式半角公式 积化和差公式积化和差公式 和差化积公式和差化积公式 2.1.1 复数复数 复数的定义复数的定义 引入虚数单位 i，规定 i2=1,i 可以和实数一起进行通常的四则运算，运算时原有加乘运算仍然成立。 形如：a+bi（a,b 为实数） a-实部 b-虚部 代代 数数 形形 式式 复数的复数的 表示形式表示形式 三三 角角 形形 式式 复数的运算复数的运算 代代 数数 式式 三三 角角 式式 2.2 排列、组合排列、组合 分分 类类 计计 数数 原原 理理 分分 步步 计计 数数 原理原理 做一件事，完成它有 n 类不同的办法。第一类 办法中有 m1 种方法，第二类办法中有 m2 种方 法，第 n 类办法中有 mn 种方法，则完成这 件事共有：N=m1+m2+mn 种方法。 做一件事，完成它需要分成 n 个步骤。第一步中有 m1 种方法，第二步中有 m2 种方法，第 n 步中 有 mn 种方法，则完成这件事共有：N=m1m2mn 种方法。 注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是 “分类”还是“分步骤” 。 排排 列列 组组 合合 从 n 个不同的元素中取 m(mn)个元素，按照一 定的顺序排成一排，叫做从 n 个不同的元素中 取 m 个元素的排列。 从 n 个不同的元素中，任取 m(mn)个元素并成一 组，叫做从 n 个不同的元素中取 m 个元素的组合。 排排 列列 数数 组组 合合 数数 从 n 个不同的元素中取 m(mn)个元素的所有排 列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的排列数，记为 Pnm 从 n 个不同的元素中取 m(mn)个元素的所有组合 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组 合数，记为 Cnm 选选 排排 列列 数数 全全 排排 列列 数数 二二 项项 式式 定定 理理 二项展开式的性质二项展开式的性质 (1)项数：n+1 项 (2)指数：各项中的 a 的指数由 n 起依次减少 1，直至 0 为止；b 的指出从 0 起依次增加 1，直至 n 为止。而每项中 a 与 b 的指数之和均等于 n 。 (3)二项式系数： 各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和 2.32.3 平面几何平面几何 2.3.1 直线与角直线与角 直直 线线 （不定义）直线向两方无限延伸，它无端点。 射射 线线 在直线上某一点旁的部分。射线只有一个端点。 线线 段段 直线上两点间的部分。它有两个端点。 垂垂 线线 如果两条直线相交成直角，那么称这两条直线互相垂直。其中一条叫另一条的垂线，它们的交点 叫垂足。 斜斜 线线 如果两条直线不相交成直角时，其中一条直线叫另一条直线的斜线。 点到直线的距离点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线距离。 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 定理：线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 平平 行行 线线 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。 平行线公理及推论平行线公理及推论 经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。 平行于同一条直线的两条直线平行。 角角 的的 定定 义义 有公共点的两条射线所组成的图形，叫做角 角角 的的 分分 类类 周角：3600 平角：1800 直角：900 锐角：00-bab |a-b|a|-|b|-|a|a|a| 一元二次方程的解 -b+(b2-4ac)/2a-b-b+(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/aX1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根 b2-4ac0 注：方程有一个实根 b2-4ac0 抛物线标准方程 y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h 圆台侧面积 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r 0扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=SL 注：其中,S是直截面面积， L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h 3.23.2 几何图形及计算公式几何图形及计算公式 平面图形平面图形 名称符号周长 C 和面积 S 正方形a边长C4a Sa2 长方形a 和 b边长C2(a+b) Sab 三角形a,b,c三边长Sah/2 ha 边上的高 ab/2sinC s周长的一半 s(s-a)(s-b)(s-c)1/2 A,B,C内角 a2sinBsinC/(2sinA) 其中 s(a+b+c)/2 四边形d,D对角线长SdD/2sin 对角线夹角 平行四边形a,b边长Sah ha 边的高 absin 两边夹角 菱形a边长SDd/2 夹角 a2sin D长对角线长 d短对角线长 梯形a 和 b上、下底长S(a+b)h/2 h高 mh m中位线长 圆r半径Cd2r d直径Sr2 d2/4 扇形r扇形半径C2r2r(a/360) a圆心角度数Sr2(a/360) 弓形l弧长Sr2/2(/180-sin) b弦长 r2arccos(r-h)/r - (r-h)(2rh-h2)1/2 h矢高 r2/360 - b/2r2-(b/2)21/2 r半径 r(l-b)/2 + bh/2 圆心角的度数 2bh/3 圆环R外圆半径S(R2-r2) r内圆半径 (D2-d2)/4 D外圆直径 d内圆直径 椭圆D长轴SDd/4 d短轴 立方图形立方图形 名称符号面积 S 和体积 V 正方体a边长S6a2 Va3 长方体a长S2(ab+ac+bc) b宽Vabc c高 棱柱S底面积VSh h高 棱锥S底面积VSh/3 h高 棱台S1 和 S2上、下底面积VhS1+S2+(S1S1)1/2/3 h高 拟柱体S1上底面积Vh(S1+S2+4S0)/6 S2下底面积 S0中截面积 h高 圆柱r底半径C2r h高S 底r2 C底面周长S 侧Ch S 底底面积S 表Ch+2S 底 S 侧侧面积VS 底 h S 表表面积 r2h 空心圆柱R外圆半径Vh(R2-r2) r内圆半径 h高 直圆锥r底半径Vr2h/3 h高 圆台r上底半径Vh(R2Rrr2)/3 R下底半径 h高 球r半径V4/3r3d2/6 d直径 球缺h球缺高Vh(3a2+h2)/6 r球半径 h2(3r-h)/3 a球缺底半径a2h(2r-h) 球台r1 和 r2球台上、下底半径Vh3(r12r22)+h2/6 h高 圆环体R环体半径V22Rr2 D环体直径 2Dd2/4 r环体截面半径 d环体截面直径 桶状体D桶腹直径Vh(2D2d2)/12 d桶底直径(母线是圆弧形,圆心是桶的中心) h桶高Vh(2D2Dd3d2/4)/15(母线是抛物线形) 四、坐标几何和二维、三维图形四、坐标几何和二维、三维图形 4.14.1 坐标几何坐标几何 一对垂直相交于平面的轴线，可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交 点是 (0, 0)，称为原点。水平与垂直方向的位置，分别用 x 与 y 代表。 一条直线可以用方程式 ymxc 来表示，m 是直线的斜率（gradient） 。这条直线与 y 轴相交于 (0, c)，与 x 轴则相交于(c/m, 0)。垂直线的方程式则是 xk，x 为定值。 通过 (x0, y0)这一点，且斜率为 n 的直线是 yy0n(xx0) 一条直线若垂直于斜率为 n 的直线，则其斜率为1/n。通过(x1, y1)与(x2, y2)两点的直线 是 y(y2y1x2x1)(xx2)y2 （ x1x2 ） 若两直线的斜率分别为 m 与 n，则它们的夹角 满足于 tanmn1mn 半径为 r、圆心在(a, b)的圆，以(xa) 2(yb) 2r2表示。 三维空间里的坐标与二维空间类似，只是多加一个 z 轴而已，例如半径为 r、中心位置 在(a, b, c)的球，以(xa) 2(yb) 2(zc) 2r2表示。 三维空间平面的一般式为 axbyczd。 三角学三角学 边长为 a、b、c 的直角三角形，其中一个夹角为 。它的六个三角函数分别为：正弦 （sine） 、余弦（cosine） 、正切（tangent） 、余割（cosecant） 、正割（secant）和余切 （cotangent） 。 sinb/c cosa/c tanb/a cscc/b secc/a cota/b 若圆的半径是 1，则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。 acos bsin 依照勾股定理,我们知道 a2b2c2。因此对于圆上的任何角度 ，我们都可得出下列 的全等式： cos2sin21 三角恒等式三角恒等式 根据前几页所述的定义，可得到下列恒等式（identity）： tansin/cos，cotcos/sin sec1/cos，csc1/sin 分别用 cos 2 与 sin 2 来除 cos 2sin 21，可得： sec 2tan 21 及 csc 2cot 21 对于负角度，六个三角函数分别为： sin() sin csc() csc cos() cos sec