高中数学第一章统计1.8最玄乘估计知识导航北师大版.DOC

8最小二乘估计知识梳理1.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.2.要想用回归直线来刻画两个变量的相关关系,应保证这条直线与所有点都近.一般用离差的平方和,即y1-(a+bx1)2+y2-(a+bx2)2+yn-(a+bxn)2来刻画所有点与直线y=ax+b的接近程度,使得上式达到最小值的直线y=ax+b就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法,这样得到的直线方程称为线性回归方程,a、b叫做回归系数.知识导学若两个变量之间存在相关关系,往往也需要我们去寻找这些变量间的数量关系式.回归分析就是寻找这类不完全确定的变量间的数学关系式,并进行统计推断的一种方法.在这种关系式中,最简单的是线性回归.因为两个变量如果是线性相关的,我们就可以用一条直线来近似找到两个变量间的数量关系,但这样的直线不止一条.如果有一条直线与散点图上的所有的点的距离最小,我们就把这条直线称为回归直线,相应的方程称为线性回归方程.求线性回归的常用方法就是最小二乘法.线性回归分析涉及大量的计算,形成操作上的一个难点,可以利用计算机非常方便地作散点图、趋势线、回归直线,并能求出直线的回归方程.求回归直线方程,首先应注意到,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方程才有意义,否则,求出的回归直线方程毫无意义.疑难突破1.最小二乘法及其原理剖析:(1)最小二乘法用不同估算方法都可以描述两个变量线性相关的关系,我们希望最科学的描述方法,是要保证这条直线与所有点都近.最小二乘法就是基于这种想法.如果n个样本点(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度:y1-(a+bx1)2+y2-(a+bx2)2+yn-(a+bxn)2.使得上式达到最小值的直线y=ax+b就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法.(2)最小二乘法的原理假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),且设所求回归直线方程是y=bx+a,其中a、b是待定参数.当变量x取xi(i=1,2,n)时,可以得到=bxi+a(i=1,2,n),它与实际收集到的yi之间的偏差是:yi=yi-(bxi+a)(i=1,2,n).(如图1-8-1所示)图1-8-1这样,用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于(yi-)可正可负,为了避免相互抵消,可以考虑用来代替,但由于它含有绝对值,运算不太方便,所以改用:Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差.这样问题就归结为:当a、b取什么值时Q最小,即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算,a、b的值就可以确定.通过求Q的最小值,而得出回归直线的方法,即求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法.2.求两个变量间的线性回归方程的过程和步骤剖析:一般地,设x与y是具有相关关系的两个变量,且相应于n组观测值的n个点大致分布在一条直线的附近,我们来求在整体上与这n个点最接近的一条直线.设所求的直线的方程为=bx+a,其中a、b是待确定的参数.于是,当变量x取一组数值xi(i=1,2,n)时,相应地=bxi+a(i=1,2,n).于是得到各个偏差yi-=yi-(bxi+a)(i=1,2,n).容易看到,上面各个偏差的符号可能有正有负,如果将它们相加会造成相互抵消,因此它们的和不能代表n个点与相应直线在整体上的接近程度.为了解决这一问题,我们采用n个偏差的平方和,即Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2来表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.于是我们的问题是如何求得系数a、b,使Q取得最小值.为了书写方便,我们先引进一个符号“”.这个符号是表示将若干个数相加,其英文名称是“sigma”,中文读作“西格马”.例如,可将x1+x2+xn记作,i从1到n,即表示从x1加到xn的和.这样,n个数的平均数的公式可以写作上面的式可以写作Q=这个式子展开后,是一个关于a、b的二次多项式.利用配方法,可以导出使Q取得最小值的a、b的求值公式求线性回归方程的步骤是:(1)作出散点图;(2)列表求出(可以用科学计算器进行计算)(3)利用公式b=和a=-b求出回归系数;(4)写出线性回归方程.典题精讲例1有一位同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表:摄氏温度()-504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654(1)画出散点图;(2)你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗?(3)求回归方程;(4)如果某天的气温是2,预测这天卖出的热饮杯数.思路分析:在我们解答具体问题的时候要进行相关性检验,通过检验确认两个变量具有线性相关关系后,再求回归方程.散点图是能够很好检验线性相关关系的,首先根据数据作出散点图,判断它们是否具有线性关系.从图中可看出这些点都在一条直线周围,具有线性关系.解:(1)散点图如图1-8-2所示.图1-8-2(2)从图1-8-2中看到,各点散布在从左上角到右下角的区域里,因此,气温与热饮销售杯数之间成负相关,即气温越高,卖出去的热饮杯数越少.(3)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,因此,利用计算器和系数公式:求出回归方程的系数.b=-2.352,a=147.767.即回归方程为y=-2.352x+147.767.(4)当x=2时,y=143.063.因此,某天的气温为2时,这天大约可以卖出143杯热饮.黑色陷阱:本题充分体现了最小二乘估计的应用.但要注意在求回归直线方程时,关键是求出系数b、a的值,它同一次函数中a,b的位置不同,这里的回归系数b=-2.352的意义是:摄氏温度x每增加一个单位,热饮杯数y平均减少2.352个单位.例2高三一班学生每周用于数学学习的时间x(单位:h)与数学成绩y(单位:分)之间有如下对应数据:x24152319161120161713y92799789644783687159如果y与x之间具有线性相关关系,求回归直线方程.思路分析:本题数据表中,自变量x的取值没有按从小到大排列,这更接近实际,对结论没有任何影响.从表中看出:同样是每周用16 h学数学,一位同学成绩是64分,另一位却是68分,这反映了y与x只有相关关系,没有函数关系.解:列出下表,并用科学计算器进行有关计算.i12345678910xi24152319161120161713yi92799789644783687159xiyi2 2081 1852 2311 6911 0245171 6601 0881 207767=17.4,=74.9,=3 182,=58 375,=13 578设回归直线方程为y=bx+a,则b=3.53,a=74.9-3.5317.413.5,因此所求的回归直线方程是y=3.53x+13.5.绿色通道:最小二乘估计是求回归直线方程的常用方法,可以通过本题的解答体会最小二乘估计的优越性.为了计算方便,通常将有关数据列成表格,然后借助于计算器算出各个量,为求回归直线方程扫清障碍.问题探究问题用最小二乘估计得到的直线与用两点式求出的直线方程一致吗?导思:只需用最小二乘法求