2018版高中数学第三章概率3.3几何概型学案苏教版.docx

3.3几何概型1了解几何概型的概念及基本特点(重点)2熟练掌握几何概型的概率公式(重点、难点)3正确判别古典概型与几何概型，会进行简单的几何概型问题计算(重点、易混点)4了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率(难点)基础初探教材整理几何概型阅读教材P106P107“例1”上边的内容，并完成下面的问题1几何概型的定义设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型2几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个；(2)每个基本事件出现的可能性都相等3几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A).判断正误：(1)几何概型与古典概型的区别就是基本事件具有无限个()(2)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关()(3)有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生物的概率时，可用几何概型求解()【解析】(1).由几何概型的特点可知正确(2).由几何概型的定义知正确(3).该试验的基本事件具有无限个，故要用几何概型求解【答案】(1)(2)(3)小组合作型测度为长度的几何概型(1)在区间2,3上随机选取一个数X，则X1的概率为_(2)某市公交车每隔10 min一班，在车站停1 min，则乘客能搭上车的概率为_【精彩点拨】利用测度为长度的几何概型求解【自主解答】(1)设“X1”为事件A，则事件A发生表示X2,1，由题意知，D测度为区间2,3长度3(2)5，d的测度为区间2,1长度1(2)3，即X1的概率为P(A).(2)由题意知，试验的所有结果构成的区域长度为D10 min，而事件B的区域长度为d1 min，故P(B)，即乘客能搭上车的概率为.【答案】(1)(2)1解答本题的关键是将基本事件的全部及其事件A(B)包含的基本事件转化为相应的长度，再进一步求解2求测度为长度的几何概型的步骤(1)确定几何区域D，这时区域D可能是一条线段，也可能是几条线段或曲线段，并计算区域D的长度(2)确定事件A发生时对应的区域d，判断d的边界点是问题的关键(3)利用几何概型概率公式求概率再练一题1在两根相距8 m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3 m的概率是_【解析】记“灯与两端距离都大于3 m”为事件A，由于绳长8 m，当挂灯的位置介于中间的2 m时，事件A发生，于是事件A发生的概率P(A).【答案】测度是面积的几何概型如图331，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)_.图331【精彩点拨】【自主解答】圆的半径是1，则正方形的边长是，故正方形EFGH(区域d)的面积为()22.又圆(区域D)的面积为，则由几何概型的概率公式，得P(A).【答案】解决此类问题的关键是：(1)根据题意确认问题是否是与面积有关的几何概型；(2)确定随机事件对应的几何图形，并利用图形的几何特征计算相关的面积，然后利用公式求解.再练一题2如图332，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是_. 【导学号：11032066】图332【解析】由几何概型知所求的概率P1.【答案】1测度为体积的几何概型已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥MABCD的体积小于的概率【精彩点拨】先判断为测度是体积的几何概型，然后由体积关系转化为点M到平面ABCD的距离的问题处理【自主解答】设M到平面ABCD的距离为h，则VMABCDS正方形ABCDh，S正方形ABCD1，所以h，所以只要点M到平面ABCD的距离小于即可因为所有满足M到平面ABCD的距离小于的点组成以平面ABCD为底面，高为的长方体，其体积为.又正方体的体积为1，所以使四棱锥MABCD的体积小于的概率为P.在几何概型中，如果试验的结果所组成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A所分布的体积，然后利用公式求概率.再练一题3一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_【解析】依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P.【答案】探究共研型几何概型中测度类型的确定探究1在几何概型中，涉及到的测度大体有几种？如何进行区分？【提示】几何概型涉及到的测度有长度、面积、体积与角度，“测度”的意义要依据D来确定，当D分别是线段、平面图形、立体图形时，相应的测度分别是长度、面积和体积当几何概型中的线在一个定角内运动时，测度可能为长度或角度探究2问题1：在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AMAC的概率；问题2：在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部作射线CM，交AB于点M，求AMAC的概率以上两问题中涉及的测度一样吗？概率分别是多少？【提示】两问题中的测度不一样，问题1中是长度，而问题2中为角度由几何概型知，问题1中的概率为，问题2中的概率为.过半径为1的圆内一条直径上的任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率. 【导学号：11032067】【精彩点拨】【自主解答】设“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点作垂直于直径的弦显然当弦为CD时其长度就是BCD的边长，弦长大于|CD|等价于圆心O到弦的距离小于|OF|，由几何概型的概率公式得P(A).即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是.在利用几何概型求概率时，关键要明确题目的类型，即是长度型、角度型、面积型，还是体积型，判断的方法是看基本事件发生在一个几维空间内.再练一题4在面积为S的ABC内部任取一点P，则PBC的面积大于的概率是_【解析】如图，过点D作lBC交AC于点E.由题知.而P为ABC内任意一点，则使SPBC的点落在ADE中，P.【答案】1如图333，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为_图333【解析】由几何概型的概率公式知，所以S阴S正.【答案】2某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机(整点报时)，想听电台报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率为_【解析】记“等待的时间不多于10分钟”为事件A，打开收音机的时刻位于50,60时间段内，则事件A发生由几何概型求概率公式得P(A)，即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为.【答案】3如图334，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，扇形对应的圆心是正方形的一个顶点，半径为正方形的边长在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为_图334【解析】设正方形边长为a，则S正方形a2，S扇形a2，则扇形外正方形内的面积为SS正方形S扇形a2a2a2，故所求概率为P1.【答案】4在区间1,1上随机任取两个数x，y，则满足x2y2的概率为_【解析】当x，y1,1时，点(x，y)构成的区域是一个边长为2的正方形，其面积等于224，而满足x2y2的点(x，y)构成的区域是一个半径为的圆的内部，其面积等于，所以所求概