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高等代数习题解答第一章 多项式补充题1当取何值时，多项式与相等？ 提示：比较系数得.补充题2设，证明：证明 假设不成立若，则为偶数，又等于0或次数为偶数，由于，首项系数（如果有的话）为正数，从而等于0或次数为奇数，矛盾若或则为奇数，而或为偶数，矛盾综上所证，1用g (x) 除 f (x)，求商q (x)与余式r (x)： 1）f (x) = x3- 3x2 -x-1，g (x) =3x2 -2x+1； 2）f (x) = x4 -2x+5，g (x) = x2 -x+2 1）解法一 待定系数法由于f (x)是首项系数为1的3次多项式，而g (x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为的1次多项式，而余式的次数小于 2于是可设 q(x) =x+a , r(x) =bx+c 根据 f (x) = q(x) g(x) + r(x)，即 x3-3x2 -x-1 = (x+a)( 3x2 -2x+1)+bx+c 右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得 , , 解得 , , ，故得 解法二 带余除法3 -2 1 1 -3 -1 -1 1 -1 得 2） 2适合什么条件时，有1）2）1）解 除得余式为：，令，即 故的充要条件是 2）解 除得余式为：，令，即 解得的充要条件是 或 3求除的商与余式： 1）2）1）解法一 用带余除法（略）解法二 用综合除法写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0： -3 2 0 -5 0 -8 0 + -6 18 -39 117 -327 2 -6 13 -39 109 -327所以 2）解法一 用带余除法（略）解法二 用综合除法写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0： 1-2i 1 -1 -1 0 + 1-2i -4-2i -9+8i 1 -2i -5-2i -9+8i所以 4把表成的方幂和，即表成 的形式：1）2）3）注 设表成的形式，则就是被除所得的余数，就是被除所得的商式再被除所得的余数，逐次进行综合除法即可得到1）解 用综合除法进行计算 1 1 0 0 0 0 0 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 + 1 3 6 1 3 6 101 + 1 4 1 4 10 1 + 1 1 5所以 2）3）略5求与的最大公因式：1）2）3）1）解 用辗转相除法 1 1 -1 -1 1 1 -3 -4 -1 1 0 1 1 1 -1 -1 -1 -2 -3 -1 -2 -2 -1 -1 -1 -1 0所以 2）3）6求使1）；2）；3）1）解 用辗转相除法 1 1 1 1 -1 -2 -2 1 2 -1 -4 -2 1 1 0 -2 0 1 1 -1 -2 -2 1 1 -2 -2 1 0 -2 0 1 0 1 0 -2 0 1 0 -2 1 0 -2 0由以上计算得 因此 ，且 所以 2），3），7设的最大公因式是一个二次多项式，求的值解略8证明：如果且为与的一个组合，那么是与的一个最大公因式证明由于，所以为与的一个公因式任取与的一个公因式，由已知为与的一个组合，所以因此，是与的一个最大公因式9证明：，（的首项系数为 1） 证明 因为存在多项式和使 ， 所以 ，这表明是与的一个组合，又因为 ，从而 ，故由第8题结论，是与的一个最大公因式注意到的首项系数为1，于是10如果不全为零，证明：证明 存在多项式和使 ，因为不全为零，所以，故由消去律得 ，所以 11证明：如果不全为零，且，那么证明 因为不全为零，故 ，从而由消去律得，所以 12证明：如果 ，那么 证法一 用反证法假设，则，从而有不可约因式，于是，但因为，所以不整除，所以，这与矛盾因此证法二 由题设知，存在多项式，使得，两式相乘得，所以13设都是多项式，而且 求证：证法一 反复应用第12题的结果证法二 反证法14证明：如果，那么证明 由于，所以存在多项式和使 ，由此可得即 于是 ， ，应用第12题的结论可得 注 也可以用反证法15求下列多项式的公共根：提示 用辗转相除法求出于是得两多项式的公共根为16判别下列多项式有无重因式： 1）； 2） 1）解 由于，用辗转相除法可求得，故有重因式，且是它的一个 3 重因式 2）解 由于，用辗转相除法可求得，故无重因式17求值使有重根解 先用除得余式 当时，此时，所以，所以1是的3重根当时，再用除得余式故当时，此时，所以是的2重根当且时，则，此时无重根综上，当时，有3重根1；当时，有2重根18求多项式有重根的条件 解 略19如果 ，求 解法一 设，则因为，所以1是的重根，从而1也是的根于是且，即解得 解法二 用除得余式为，因为，所以，故解得20证明：没有重根 证法一 设 ，则因为，所以 于是没有重根 证法二 设 ，则假设有重根，则且，从而，得，但不是的根，矛盾所以没有重根21略22证明：是的重根的充分必要条件是 ，而证明 （必要性）设是的重根，从而是的重根，是的重根，是的单根，不是的根，于是，而（充分性）设，而，则是的单根，是的2重根，是的重根23举例说明断语“如果是的m重根，那么是的m+1重根”是不对的解 取，则是的m重根，但不是的m+1重根注：也可以取具体的，如24证明：如果，那么证明 略25证明：如果，那么证明 ，其中由于，故存在多项式使得 ，因此解得，从而26求多项式在复数范围内和实数范围内的因式分解解 多项式的n个复根为 ，所以在复数范围内的分解式为在实数范围内，当n为奇数时：，当n为偶数时：27求下列多项式的有理根：1）；2）；3）1）解 多项式可能的有理根是 ，由于都不是整数，所以多项式可能的有理根只有2用综合除法判别： 2 1 -6 15 -14 + 2 -8 14 2 1 -4 7 0 + 2 -4 1 -2 30 所以2是多项式的有理根（单根） 注：一般要求指出有理根的重数计算量较小的话，也可以直接计算，如本题可直接算得，说明2是的有理根，再由知 2是单根用综合除法一般比较简单2）答 （2重根）3）答 （4重根），3（单根）28下列多项式在有理数域上是否