中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第27课时锐角三角函数的应用.docx

第5章 图形的性质【精学】考点一、解直角三角形应用题1.常用基础知识(1)仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，视线在水平线下方的叫俯角(2)坡度和坡角坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。(3)方向角(或方位角): 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30（东北方向） ， 南偏东45（东南方向），南偏西60（西南方向）， 北偏西60（西北方向）。2解直角三角形的实际应用描述：解直角三角形的实际应用问题的一般步骤：弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等概念，然后根据题意画出几何图形建立数学模型；将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线把它们分割成直角三角形或矩形；寻找基础直角三角形，并解这个三角形【巧练】题型一、方位角例1（2016山东泰安）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68=0.9272，sin46=0.7193，sin22=0.3746，sin44=0.6947）（）A22.48 B41.68 C43.16 D55.63【答案】B【分析】过点P作PAMN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：如图，过点P作PAMN于点A，MN=302=60（海里），MNC=90，CPN=46，MNP=MNC+CPN=136，BMP=68，PMN=90BMP=22，MPN=180PMNPNM=22，PMN=MPN，MN=PN=60（海里），CNP=46，PNA=44，PA=PNsinPNA=600.694741.68（海里）故选：B【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键题型二、俯角和仰角例2（2016山东聊城）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33，测得圆心O的仰角为21，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan330.65，tan210.38）（）A169米 B204米 C240米 D407米【答案】B【分析】过C作CDAB于D，在RtACD中，求得AD=CDtanACD=CDtan33，在RtBCO中，求得OD=CDtanBCO=CDtan21，列方程即可得到结论【解答】解：过C作CDAB于D，在RtACD中，AD=CDtanACD=CDtan33，在RtBCO中，OD=CDtanBCO=CDtan21，AB=110m，AO=55m，A0=ADOD=CDtan33CDtan21=55m，CD=204m，答：小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为204m故选B【点评】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键题型三、 坡度和坡角例3（2016重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin360.59，cos360.81，tan360.73）（）A8.1米 B17.2米 C19.7米 D25.5米【答案】【分析】作BFAE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在RtABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在RtACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果【解答】解：作BFAE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，斜面AB的坡度i=1：2.4，AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在RtABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，DE=BF=5米，AF=12米，AE=AF+FE=18米，在RtACE中，CE=AEtan36=180.73=13.14米，CD=CEDE=13.14米5米8.1米；故选：A【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键【限时突破】1（2016黑龙江绥化）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）A250米 B250米 C米 D500米2（2016四川巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A斜坡AB的坡度是10 B斜坡AB的坡度是tan10CAC=1.2tan10米 DAB=米（2016广西南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，B=36，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A5sin36米 B5cos36米 C5tan36米 D10tan36米.（2016河南）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37，旗杆底部B点的俯角为45.升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处. 若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sian37=0.60，cos37=0.80，tan37=0.75）（2015海南）如图，某渔船在小岛O南偏东75方向的B处遇险，在小岛O南偏西45方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛O相距8海里，渔船在中国渔政船的正东方向上（1）求BAO与ABO的度数（直接写出答案）；（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能否在1小时内赶到？请说明理由（参考數据：tan753.73，tan150.27，1.41，2.45）（2015辽宁本溪）张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30角（即MAN=30），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：1.732）【答案解析】.【分析】在RTAOB中，由AOB=30可知AB=AO，由此即可解决问题【解答】解：由题意AOB=9060=30，OA=500，ABOB，ABO=90，AB=AO=250米故选A【点评】本题考查解直角三角形，方向角，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是搞清楚方向角的定义，利用直角三角形性质解决问题，属于中考常考题型.【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10=，故B正确；故选：B【点评】本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键.【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在RtABD中，利用B的正切进行计算即可得到AD的长度【解答】解：AB=AC，ADBC，BC=10米，DC=BD=5米，在RtADC中，B=36，tan36=，即AD=BDtan36=5tan36（米）故选：C【点评】本题考查了解直角三角形的应用解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.【答案】国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.【解析】试题分析：如图，过点C作CD土幼，垂足为D，即可得DB=9，在RTCBD中，可求得CD。在RTACD中AcD=37，根据锐角三角函数可得AD。再由速度=路程时间即可得。解:过点C作CDAB,垂足为D,则DB=9.在RtCBD中,BCD=45,CD=BD=9在RtACD中,ACD=37,AD=CDtan3790.75=6.75.AB=AD+DB6.75+9=15.75.(15.752.25)45=0.3(米/秒).国旗应以约0.3米/秒的速度匀速上升.分析： （1）作OCAB于C，根据方向角的定义得到AOC=45，BOC=75，由直角三角形两锐角互余得出BAO=90AOC=45，ABO=90BOC=15；（2）先解RtOAC，得出AC=OC=OA5.64海里，解RtOBC，求出BC=OCtanBOC21.0372海里，那么AB=AC+BC26.6772海里，再根据时间=路程速度求出中国渔政船赶往B处救援所需的时间，与1小时比较即可求解解答： 解：（1）如图，作OCAB于C，由题意得，AOC=45，BOC=75，ACO=BCO=90，BAO=90AOC=9045=45，ABO=90BOC=9075=15；（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到理由如下：在RtOAC中，ACO=90，AOC=45，OA=8海里，AC=OC=OA41.41=5.64海里在RtOBC中，BCO=90，BOC=75，OC=4海里，BC=OCtanBOC5.643.73=21.0372海里，AB=AC+BC5.64+21.0372=26.6772海里，中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，中国渔政船所需时间：26.6772280.953小时1小时，故若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到点评： 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，直角三角形的性质，锐角三角函数定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.分析： 过B作BECD交CD延长线于E，由CAN=45，MAN=30，得到CAB=15，由CBD=60，DBE=30，得到CBD=30于是有CAB=ACB=15所以AB=BC=20，解RtBCE，可求得CE，解RtDBE可求得DE，CEDE即得到树高CD解答： 解：如图，过B作BECD交CD延长线于E，CAN=45，MAN=30，CAB=15CBD=60，DBE=30，