孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.8布洛赫电子在恒定电场作用下的运动.ppt

3.8 布洛赫电子在恒定电场作用下的运动 本节主要内容： 一、恒定电场作用下布洛赫电子的运动图象 二、能带填充情况与晶体导电性的关系 三、近满带和空穴 四、导体、半导体、绝缘体和类金属的能带论解释 一、恒定电场作用下布洛赫电子的运动图像 准经典模型下,波矢 随时间的变化满足 因电场恒定,表明每个电子的波矢均以恒定 速率变化 在恒定电场 作用下， 时,方程变为： 该方程的解为： 每个电子的波矢在恒定电场作用下,均以同一 速率沿着电场的反方向移动, 就是t时 刻电子波矢的增量. 对自由电子来说： 所以对自由电子有： 所以,自由电子将不断被电场加速. 布洛赫电子的行为则完全不同,其速度是k空间的 周期函数.因而速度变为时间的有界函数. 由于能带结构(k)通常很复杂，所以，布洛赫电子的 速度vk(t)与k(t)的关系也很复杂。但在恒定电场作用 下，布洛赫电子的速度总可以表示为： 当没有外场时，在理想的周期势场中，布洛赫电子处 在确定的本征态，它在k空间的代表点是静止的，在实 空间(即r空间)以速度v(k)作匀速直线运动。 如果晶体处在恒定的电场中，在电场力的作用下，状 态不断发生变化，代表点在k空间作匀速直线运动，从 简约布里渊区来看，相当于电子在k空间作循环运动. 它将穿越各种能量的等能面,能量梯度的大小和方向都 不断变化,即电子在r空间的速度和位置将不断变化. 代表同一状态 由于一个电子载有的电流比例于它的速度,意味着直 流的外加电场将产生交变的电流,这种效应称为布洛赫 振荡(Bloch oscillation)。(仍以一维紧束缚近似为例） 布洛赫振荡周期为： 布洛赫振荡频率为： (1)一方面,电子受晶体中杂质和缺陷及声子散 射作用,电子来不及完成振荡运动就被散射破坏 掉了; (2)另一方面,一部分电子根本不会参与振荡.按 照量子力学,电子遇到位垒时将有部分穿透位垒 (隧道效应),部分被反射回来. 实空间中电子的振荡运动很难看到 由上述讨论可看出布洛赫电子的运动情况与 能带结构有着密切的关系，为此下面我们根据 电子填充能带的情况，给出一些定义，然后讨 论这些能带中电子在电场中的运动情况。 1. 满带不导电 根据准经典模型的速度公式可得 二、能带填充情况与晶体导电性的关系 满带是指能带中所有电子状态都 被电子占据的能带。 没有外电场时,由于能带的对称性 (1)无外电场 A 如果一个能带被电子部分填充，就 称为未满能带，或部分填充能带. A 亦即处在 态的电子,对电 流密度的贡献恰好相消。 I=0 导带 满带 无外电场时 一个能带对电流的贡献,是所有 电子携带电流的和： A A 所以，对于满带也好，部分填充 能带也好，由于没有外电场时， 能带对称分布，导致总的电流密 度为零。 轴上各点均以完全相同的速度移动,因此并不 改变均匀填充各 态的情况.从A移出去的电子 同时又从A移进来,保持整个能带处于均匀填满的 状况.显然： 满带： A 即所有电子的波矢k都以恒 定速率变化： 亦即，有外电场时满带也不 产生电流满带不导电 (2)有外电场 在外场作用下,电子分布将向 一方移,破坏了原来的对称分布,而有 一个小的偏移,这时电子电流将只是 部分抵消,而产生一定的电流。 A 2.未满能带（或部分填充能带）导电 所以,固体材料可按照是否有部分填充的能带而分 为:导体和非导体两大类能带论的一大成就。 即未满能带(或部分填充能带)导电，因而这种能带也 称为导带. 小结(关于准经典模型中布洛赫电子速度和 满带不导电等问题的进一步说明)： 是布洛赫电子在实空间的 速度,沿等能面的法线方向. 给出了外场作用下电子波矢的变化速度. 当外场为零时, ,所以波矢不随时间变化 自然,相对于每一个确定的波矢而言,电子速 度 不随时间变化,意味着电子在实空间 作匀速直线运动. 由于波矢在第一布里渊区的对称分布,电子速 度满足 ，所以,没有外电场时,能带 电流为零. 当外场不为零且恒定时, , 此时每一 个电子的波矢均随时间匀速变化,它将穿越各 种能量的等能面，能量梯度的大小和方向都不 断变化.由于波矢限制在第一布里渊区中,代表 点到达边界A后,接着从等价的A点开始,因而 ,每一个电子在波矢空间作循环运动。 而该电子速度的变化,表 现为实空间位置的振荡运动 .既布洛赫振荡. A 室温下, 布洛赫振荡周期 所以,一个周期内,电子要经历的碰撞次数为: 所以,散射作用极易破坏这种振荡行为. 由于每一个电子在电场的作用下,其波矢均不断 变化,将穿越各种能量的等能面,亦即,速度不断 改变,所以,对于满带,整体来看,波矢分布和没 有外场时一样,自然总的电流为零;而不满的能 带,则会出现波矢的不对称分布,从而出现电流 . A 三、近满带和空穴 1. 非导体的能带特征 对于不具有部分填充能带的非导体，也就是说基态时 N个电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部 都是空的。则对该类材料中的能带来说，除了所有电子 状态都被电子占据的满带以外，还有能带中所有电子状 态均未被电子占据的能带，即空带。 对于非导体来说，把能量最低的空带称为导带。并把 导带中能量最低的能级，定义为导带底；把能量最高的 满带定义为价带；价带中能量最高的能级称为价带顶。 导带底和价带顶之间的能量范围称为能隙(energy gap), 或叫带隙. 对于不具有部分填充能带的非导体,若导带底和价 带顶之间的能隙较窄,则在有限的温度下,满带中(价带顶 附近)少数电子受激发而跃迁到空带中去,使原来的满带 变成近满带。 原来是空带的导带中出现了少量可以导电的电子， 变成近空带。 按照部分填充能带中的电子可以导电的结论，近满带 是导电的。 假设近满带是满带少了一个 电子形成的。则 2. 空穴的引入 现在,设想在这个能带中放入一个 态电子,则这个电 子的进入会使其成为满带,因而总电流变为零. 即： 从而： 由此可见，近满带的电流如同一个带有+e 的 粒子所荷载的，它具有逸失 态电子相同的速度 .这个假想的粒子称为空穴(hole)。 一个缺少了少数电子的近满带的性质应该由剩下的 所有电子来决定，现在可以用少数空穴去代替它，所 以，空穴概念的引入可以大大简化对近满带有关问题 的处理。 空穴在外场中的行为犹如它带有正电荷+e。所以对于 近满带中的空穴(hole),可以看成是带 +e 的粒子。其实真 正运动的是电子，且电子的运动满足： 由于空穴一般位于带顶附近, m* 0, 所以,上式改为 则上式可看成是质量为 ，带电为 +e 的粒 子的准经典运动方程，即空穴的运动方程。 空穴概念的引入可以大大简化对近满带有关 问题的处理。 假设价带中只有一个 态未被电子填充,这 时含有2N-1个电子的价带的总电流密度为 , 设想若在这个空的 态放入一个电子,则该电子 将产生电流 ,而这个电子的进入会使得价 带成为满带,因而总电流变为零. 则有 设能带中有一个 态没有电子,即能带中出现一个空 穴,空穴的波矢用 表示.则存在以下对应关系： 所以，2N-1个电子的集体运动效果与一个空穴的运 动效果一样。 所以: 3. 空穴的性质 按照空穴的定义，一个空穴和能带中其它电子的总 效果相同，所以空穴的波矢满足 空穴的能量应该等于满带中逸失一个ke态电子后系统 能量的变化，因此 利用空穴的性质(1)和(2) ，可得 按照有效质量的定义 例： 半导体材料的价带基本上填满了电子(近满带) ，价带中电子能量表示式(k)=-1.01610-34k2(J)，其中 能量顶点取在价带顶,这时若k=1 106/cm处电子被激发 到更高的能带(导带)，而在该处产生一个空穴，试求出 此空穴的有效质量，波矢，准动量，共有化运动速度 和能量。 解: (1) 波矢: (2)准动量： (3) (4) (5) 由于近满带、近空带的出现,是电子的热激发形成 的,所以,这两个能带的导电能力将随温度的升高按指 数增加(see p237)。 显然,半导体与绝缘体之间 并不存在严格的界限,典型半 导体的能隙: 对于能隙较窄的非导体,电子比较容易从价带热激发 到导带,形成近满带、近空带,称这类材料为半导体。 绝缘体 半导体 如果能隙很大,以致很难将电 子从价带热激发到导带,则这 类材料几乎完全不导电,称为 绝缘体. 四、导体、半导体和绝缘体的能带论解释 有部分填充能带 导带 导体 在晶体周期场中运动的N个电子，它们的单 电子能级用 表示，分成一系列能带，N个 电子按能量最低原理来填充。 半导体禁带窄 禁带 半导体 空带 禁带 绝缘体 空带 绝缘体禁带宽 电子的填充情况有两类： 1. 电子恰好填满最低的一系列能带,再高的各带全都 是空的.最高的满带称为价带,最低的空带称为导带,价 带最高能级(价带顶)与导带最低能级(导带底)之间的能 量范围称为带隙.与这种情况相对应的就是绝缘体和半 导体.带隙宽度大的为绝缘体(如10 eV ),带隙宽度小的 为半导体(如 1 eV ). 2. 除去完全被电子填满的一系列能带外,还有只是 部分地被电子填充的能带,后者即所谓的导带.这时最 高占据能级为费米能级,它位于一个或几个能带的能 量范围之内.在每一个部分占据的能带中,k空间都有一 个占有电子与不占有电子区域的分界面,所有这些表 面的集合就是费米面.与这种情况相对应的就是金属 导体. 假设晶体由N个原胞组成，则每个能带可以容纳2N 个电子。因此每个原胞有奇数个价电子的晶体一定是 导体，对于每个原胞有偶数个价电子的晶体，如果存 在能带的交叠，则是导体；如果没有能带交叠，则能 隙小的是半导体；能隙大的是绝缘体。 比如碱金属，属于体心立方晶格，每个原胞有一 个原子，提供一个价电子，ns电子只占一半能带，为 导体； 对于碱土金属，每个原胞提供两个价电子，ns电子 填满了ns能带，但ns能带与上面np能带形成能带交叠 ，故仍为导体。 碱金属(体心立方晶格,每个原胞有一个原子) Li Na K ns电子只占一半 能带,为导体. 碱土金属 Be Mg Ca ns电子填满了ns能 带,但ns能带与上面 np 能带形成能带交 叠,故仍为导体. 每个原胞提供一个价电子,能带为半满 每个原胞提供两个价电子,满带但能带有交叠 Ge、Si和金刚石晶体 Ge、Si和金刚石晶体,具有fcc点阵的复式晶格,价电 子的组态为ns2 np2 每个原胞有8个价电子,构成满带且能带不交叠.但是 禁带宽度不同, Si和Ge禁带宽度分别为1.17 eV 和 0.744 eV,因此是半导体;但金刚石的禁带宽度为5.4 eV，所以 是绝缘体. 在金属和半导体之间存在一种称为类金属的中间情 况,即:导带底与价带顶具有相同的能量(零带隙宽度)或 导带与价带发生少量交叠(负带隙宽度).从而导致导带 中存在一定数量的电子(其浓度远小于典型的金属,但远 大于典型的半导体),其价带中存在一定数量的空穴. 属于类金属有石墨(C)、砷(As)、锑(Sb)、铋(Bi)等 ,其电子密度比金属小几个数量级,但是远大于半导体. 零带隙宽度 负带隙宽度 一般固体书上把上述类金属(Semi-metal)叫半金属, 但是如今人们发现了一种新型的磁性材料,其独特之处 在于它只有一种自旋方向的电子处于费米面呈现金属 性;而与其相反的自旋取向的电子态密度在费米面为 零,显示出绝缘或半导体性质,其英文称作Half-metal, 为此我们把Semi-metal译作类金属,而把Half-metal译 作半金属。 例： 晶格常量为a的一维晶格，其价带顶附近的色散关 系为 其中，在导带底附近的 色散关系为 求: (1)禁带宽度； (2)导带底电子的有效质量和价带顶空穴的有效质量; (3)电子由价带顶激发到导带底时，准动量的变化； (4)在外电场作用下，导带底的电子和价带顶空穴的加 速度； (5)设a=0.25nm，E=100v/m，请求出空穴自价带顶漂 移到k0处所需的时间。 价带顶导带底 (1)导带底 价带顶 (2)导带底电子的有效质量为： 则禁带宽度： 价带顶 (3)电