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1.3.1圆幂定理(建议用时:40分钟)学业达标一、选择题(每小题5分,共20分)1.PT切O于T,割线PAB经过点O交O于A、B,若PT4,PA2,则cosBPT()A. B.C.D.【解析】如图所示,连接OT,根据切割线定理,可得PT2PAPB,即422PB,PB8,ABPBPA6,OTr3,POPAr5,cosBPT.【答案】A2.如图1313,已知AB是O的直径,CDAB于P,EF是过点P的弦,已知AB10,PA2,PE5,则CD和EF分别为()图1313A.8和7B.7和C.7和8D.8和【解析】PAPBPC2,PC216,PC4,CD8.PEPFPC2,PF,EF5.【答案】D3.如图1314,在RtABC中,C90,AC4,BC3.以BC上一点O为圆心作O与AC、AB都相切,又O与BC的另一个交点为D,则线段BD的长为()图1314A.1 B. C.D.【解析】观察图形,AC与O切于点C,AB与O切于点E,则AB5.如图,连接OE,由切线长定理得AEAC4,故BEABAE541.根据切割线定理得BDBCBE2,即3BD1,故BD.【答案】C4.如图1315所示,四边形ABCD内接于O,ADBC12,AB35,PD40,则过点P的O的切线长是()图1315A.60B.40C.35D.50【解析】由圆内接四边形的性质定理,可得PAD与PCB相似.,即,解得PA45.若设过点P的O的切线长为x,则x2PAPB4580,x60,故选A.【答案】A二、填空题(每小题5分,共10分)5.(天津高考)如图1316,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DFCF,AFFBBE421,若CE与圆相切,则线段CE的长为_. 【导学号:61650018】图1316【解析】由相交弦定理得AFFBDFFC,由于AF2FB,可解得BF1,所以BE.由切割线定理得CE2EBEA,即CE.【答案】6.如图1317,直线PQ与O相切于点A,AB是O的弦,PAB的平分线AC交O于点C,连接CB,并延长与PQ相交于Q点,若AQ6,AC5,则弦AB的长是_.图1317【解析】PQ为切线,PACABC.AC是PAB的平分线,BACPAC.ABCBAC,ACBC5,由切割线定理,可得AQ2QBQC,62QB(QB5),解得QB4.QABQCA,QABQCA,解得AB.【答案】三、解答题(每小题10分,共30分)7.如图1318,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明:图1318(1)BEEC;(2)ADDE2PB2.【证明】(1)连接AB,AC.由题设知PAPD,故PADPDA.因为PDADACDCA,PADBADPAB,DCAPAB,所以DACBAD,从而.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC,所以DC2PB,BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC,所以ADDE2PB2.8.如图1319,圆的两弦AB、CD交于点F,从F点引BC的平行线和直线AD交于P,再从P引这个圆的切线,切点是Q,求证:PFPQ.图1319【证明】A,B,C,D四点共圆,ADFABC.PFBC,AFPABC.AFPFDP.APFFPD,APFFPD.PF2PAPD.PQ与圆相切,PQ2PAPD.PF2PQ2.PFPQ.能力提升9.如图1320,已知PA、PB切O于A、B两点,PO4cm,APB60,求阴影部分的周长.图1320【解】如下图所示,连接OA,OB.PA、PB是O的切线,A、B为切点,PAPB,PAOPBO,APOAPB,在RtPAO
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