高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式学业分层测评新人教B版.docx

第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯西不等式学业分层测评 新人教B版选修4-5 (建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.若a2b21，x2y22，则axby的最大值为()A.1B.2C.D.4【解析】(axby)2(a2b2)(x2y2)2，axby.【答案】C2.若实数a，b，c均大于0，且abc3，则的最小值为()A.3B.1C.D.【解析】abc1a1b1c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得(1a1b1c)2(121212)(a2b2c2)，a2b2c23.当且仅当abc1时等号成立，的最小值为.【答案】D3.已知xy1，且x0，y0，那么2x23y2的最小值是() 【导学号：38000033】A. B.C.D.【解析】2x23y2(2x23y2)(xy)2，当且仅当xy，即x，y时等号成立，2x23y2的最小值为.【答案】B4.若aaa1，bbb4，则a1b1a2b2anbn的最大值为()A.1B.1C.2D.2【解析】(aaa)(bbb)，(a1b1a2b2anbn)2，(a1b1a2b2anbn)24，故a1b1a2b2anbn2.因此a1b1a2b2anbn的最大值为2.【答案】C5.已知a2b2c21，x2y2z21，taxbycz，则t的取值范围为()A.(0,1)B.(1,1)C.(0，1)D.1,1【解析】设(a，b，c)，(x，y，z).|1，|1，由|，得|t|1.t的取值范围是1,1.【答案】D二、填空题6.(湖南高考)已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_.【解析】a2b3c6，1a12b13c6，(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即a24b29c212.当且仅当，即a2，b1，c时取等号.【答案】127.若a(1,0，2)，b(x，y，z)，若x2y2z216，则ab的最大值为_.【解析】由题知，abx2z，由柯西不等式知1202(2)2(x2y2z2)(x02z)2，当且仅当向量a与b共线时“”成立，516(x2z)2，4x2z4，即4ab4.故ab的最大值为4.【答案】48.已知ab1，则a2b2_.【解析】由柯西不等式得(ab)2a2(1a2)(1b2)b21，当且仅当时，上式取等号，ab，a2b2(1a2)(1b2)，于是a2b21.【答案】1三、解答题9.已知为锐角，a，b均为正数.求证：(ab)2.【证明】设m，n(cos ，sin )，则|ab|mn|m|n| ，(ab)2.10.在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形.【解】如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是 ABCD的周长l2(x)2(1x1).由柯西不等式得l2x2()2(1212)22R4R.当且仅当，即xR时等号成立.此时，宽R，即ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4R.能力提升1.函数y的最小值是()A.B.2C.112D.1【解析】y.根据柯西不等式，得y2(x1)22(3x)252(x1)22(3x)252(x1)(3x)(x1)(3x)2252112，当且仅当，即x时等号成立.此时，ymin1.【答案】D2.已知a，b，c均大于0，A，B，则A，B的大小关系是()A.ABB.ABC.ABD.AB【解析】(121212)(a2b2c2)(abc)2，当且仅当abc时，等号成立.又a，b，c均大于0，abc0，.【答案】B3.设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，则_. 【导学号：38000034】【解析】由柯西不等式知：2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)23022536，当且仅当k时取“”.由k2(x2y2z2)22536，解得k，所以k.【答案】4.已知a1，a2，an都是正数，且a1a2