高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则学案含解析北师大版.docx

2.5简单复合函数的求导法则1.了解复合函数的概念.(难点)2.掌握复合函数的求导法则.(重点)3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.(重点、难点)基础初探教材整理1复合函数的概念阅读教材P49倒数第2行以上部分，完成下列问题.一般地，对于两个函数yf(u)和u(x)axb，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数yf(u)和u(x)的复合函数，记作yf(x)，其中u为中间变量.下列函数不是复合函数的是()A.yx31B.ycosC.yD.y(2x3)4【解析】A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数ux，ycos u的复合函数，C中的函数可看作函数uln x，y的复合函数，D中的函数可看作函数u2x3，yu4的复合函数，故选A.【答案】A教材整理2复合函数的求导法则阅读教材P49最后两行至P50部分，完成下列问题.复合函数yf(x)的导数和函数yf(u)，u(x)的导数间的关系为yxyuux.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积.(ln 2x)等于()A. B.C.D.【解析】(ln 2x)(2x).【答案】B质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型复合函数的定义指出下列函数是怎样复合而成的.(1)y(35x)2；(2)ylog3(x22x5)；(3)ycos 3x.【精彩点拨】分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系.【自主解答】(1)y(35x)2是由函数yu2，u35x复合而成的.(2)ylog3(x22x5)是由函数ylog3u，ux22x5复合而成的.(3)ycos 3x是由函数ycos u，u3x复合而成的.判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数.再练一题1.指出下列函数由哪些函数复合而成.(1)yln ；(2)yesin x；(3)ycos(x1).【解】(1)yln u，u.(2)yeu，usin x.(3)ycos u，ux1.求复合函数的导数求下列函数的导数.(1)ye2x1；(2)y；(3)y5log2(1x)；(4)ysin3xsin 3x.【精彩点拨】先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导.【自主解答】(1)函数ye2x1可看作函数yeu和u2x1的复合函数，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)函数y可看作函数yu3和u2x1的复合函数，yxyuux(u3)(2x1)6u46(2x1)4.(3)函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，yxyuux(5log2u)(1x).(4)函数ysin3x可看作函数yu3和usin x的复合函数，函数ysin 3x可看作函数ysin v和v3x的复合函数.yx(u3)(sin x)(sin v)(3x)3u2cos x3cos v3sin2x cos x3cos 3x.1.解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.2.复合函数求导的步骤再练一题2.求下列函数的导数.(1)y(2x1)4；(2)y；(3)ysin；(4)y102x3.【解】(1)原函数可看作yu4，u2x1的复合函数，则yxyuux(u4)(2x1)4u328(2x1)3.(2)y(12x)可看作yu，u12x的复合函数，则yxyuuxu(2)(12x) .(3)原函数可看作ysin u，u2x的复合函数，则yxyuuxcos u(2)2cos2cos.(4)原函数可看作y10u，u2x3的复合函数，则yxyuux102x3ln 102(2ln 10)102x3.探究共研型复合函数导数的应用探究1求曲线ycos在x处切线的斜率.【提示】y2sin，切线的斜率k2sin2.探究2求曲线yf(x)e2x1在点处的切线方程.【提示】f(x)e2x1(2x1)2e2x1，f2，曲线ye2x1在点处的切线方程为y12，即2xy20.已知函数f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为l，若直线l与圆C：x2y2相切，求实数a的值.【精彩点拨】求出导数f(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解.【自主解答】因为f(1)a，f(x)2ax(x2)，所以f(1)2a2，所以切线l的方程为2(a1)xy2a0.因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d，解得a.关于复合函数导数的应用及其解决方法1.应用复合函数导数的应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.2.方法先求出复合函数的导数，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.再练一题3.曲线yf(x)esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程. 【解】设usin x，则f(x)(esin x)(eu)(sin x)cos xesin x.f(0)1.则切线方程为y1x0，即xy10.若直线l与切线平行可设直线l的方程为xyc0.两平行线间的距离dc3或c1.故直线l的方程为xy30或xy10.构建体系1.函数ycos (x)的导数是()A.cos xB.cos xC.sin xD.sin x【解析】ysin (x)(x)sin x.【答案】C2.若f(x)e2xln 2x，则f(x)()A.e2xln 2xB.e2xln 2xC.2e2xln 2xD.2e2x【解析】f(x)(e2x)ln 2xe2x(ln 2x)2e2xln 2x.【答案】C3.已知f(x)ln(3x1)，则f(1)_.【解析】f(x)(3x1)，f(1).【答案】4.设曲线yeax在点(0，1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_. 【解析】令yf(x)，则曲线yeax在点(0，1)处的切线的斜率为f(0)，又切线与直线x2y10垂直，所以f(0)2.因为f(x)eax，所以f(x)(eax)(eax)(ax)aeax，所以f(0)ae0a，故a2.【答案】25.求下列函数的导数.(1)ycos(x3)；(2)y(2x1)3；(3)ye2x1.【解】(1)函数ycos(x3)可以看做函数ycos u和ux3的复合函数，由复合函数的求导法则可得yxyuux(co