2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3两条直线的位置关系学案含解析新人教B版.docx

2.2.3两条直线的位置关系1.掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标.(重点)2.掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别.(重点)3.灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系.(难点)基础初探教材整理1两条直线相交、平行与重合的条件阅读教材P81P83“例1”以上内容，完成下列问题.1.代数方法判断两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20的位置关系，可以用方程组的解进行判断(如下表所示)方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点A1B2A2B10而B1C2C1B20或A2C1A1C20或(A2B2C20)有唯一解相交有一个交点A1B2A2B10或(A2B20)有无数个解重合无数个交点A1A2，B1B2，C1C2(0)或(A2B2C20)2.几何方法判断若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1与l2相交k1k2；l1l2k1k2且b1b2；l1与l2重合k1k2且b1b2.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行.()(2)若l1l2，则k1k2.()(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交.()(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行.()【解析】(1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2两条直线垂直阅读教材P84P86“例3”以上内容，完成下列问题.两条直线垂直与斜率的关系对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1l2k1k21l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1l2图示直线l1，l2的斜率是方程x23x10的两根，则l1与l2的位置关系是()A.平行B.重合C.相交但不垂直D.垂直【解析】设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1k21，故l1与l2垂直.【答案】D小组合作型两条直线平行的判定根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行.(1)l1经过点A(2,1)，B(3,5)，l2经过点C(3，3)，D(8，7)；(2)l1经过点E(0,1)，F(2，1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；(3)l1的倾斜角为60，l2经过点M(1，)，N(2，2)；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，2)，Q(0,5).【精彩点拨】先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行.【自主解答】(1)由题意知，k1，k2，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC，故l1l2.(2)由题意知，k11，k21，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG1，故直线l1与直线l2重合.(3)由题意知，k1tan 60，k2，k1k2，所以直线l1与直线l2平行或重合.(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1l2.1.判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断.在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不重合才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.2.应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解.再练一题1.已知P(2，m)，Q(m,4)，M(m2,3)，N(1,1)，若直线PQ直线MN，求m的值.【解】当m2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当m1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当m2且m1时，kPQ，kMN.因为直线PQ直线MN，所以kPQkMN，即，解得m0或m1.当m0或1时，由图形知，两直线不重合.综上，m的值为0或1.两条直线垂直的判定(1)l1经过点A(3,2)，B(3，1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，若l1l2，求a的值.【精彩点拨】(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解.【自主解答】(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1l2.(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在.当l1的斜率不存在时，3a2，即a5，此时k20，则l1l2，满足题意.当l1的斜率k1存在时，a5，由斜率公式，得k1，k2.由l1l2，知k1k21，即1，解得a0.综上所述，a的值为0或5.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法1.一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步.2.二代：就是将点的坐标代入斜率公式.3.求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.再练一题2.(1)l1经过点A(3,4)和B(3,6)，l2经过点P(5,20)和Q(5,20)，判断l1与l2是否垂直；(2)直线l1过点(2m,1)，(3，m)，直线l2过点(m，m)，(1，2)，若l1与l2垂直，求实数m的值.【解】(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，l1l2.(2)当两直线斜率都存在，即m且m1时，有k1，k2.两直线互相垂直，1.m1.当m1时，k10，k2不存在，此时亦有两直线垂直.当2m3，m时，k1不存在，k2，l1与l2不垂直.综上可知，实数m1.探究共研型直线平行与垂直的综合应用探究1已知ABC的三个顶点坐标A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断ABC的形状吗？【提示】如图，AB边所在的直线的斜率kAB，BC边所在直线的斜率kBC2.由kABkBC1，得ABBC，即ABC90.ABC是以点B为直角顶点的直角三角形.探究2若已知直角三角形ABC的顶点A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值吗？【提示】若A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即1，得m7；若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，即1，得m3；若C为直角，则ACBC，所以kACkBC1，即1，得m2.综上可知，m7或m3或m2.已知四点A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.【精彩点拨】画出图形，由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明.【自主解答】A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图.由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC，kABkCD，由图可知AB与CD不重合，ABCD.由kADkBC，AD与BC不平行.又kABkAD(3)1，ABAD.故四边形ABCD为直角梯形.利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定.由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.再练一题3.已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足ABCD，且ADBC，试求点D的坐标.【解】设D(x，y)，则kAB1，kBC，kCD，kDA.因为ABCD，ADBC，所以kABkCD1，kDAkBC，所以解得即D(10，6).1.已知A(2,0)，B(3,3)，直线lAB，则直线l的斜率k等于()A.3B.3C.D.【解析】因为直线lAB，所以kkAB3.【答案】B2.过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为()A.垂直 B.平行C.重合D.以上都不正确【解析】过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2.因为k1k21，所以两条直线垂直.【答案】A3.已知直线l1的倾斜角为60，直线l2的斜率k2m24，若l1l2，则m的值为_.【解析】由题意得m24tan 60，解得m2.【答案】24.直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(1，y)，若l1l2，则x