角函数模型的简单应用(两课时).ppt

人教A版（必修4） 例一：根据图象建立解析式 (研究温度随时间呈周期性变化的问题); 例二：根据解析式作出图象 (研究与正弦函数有关的简单函数y=|sinx|的图象及其周期)； 例三：将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 (研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题)； 例四：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数 拟合，从而得到函数模型 (研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题)。 第一课时 第二课时 目的：加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习。 备注： 三角函数模型三角函数关系 简单应用学以致用，解决生活中的实际问题 教学目标: 1、知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初 步学会由图象求解析式的方法；b体验实际问题抽象为三角函数模 型问题的过程；c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型 2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的 数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽 象概括等能力 3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决 实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不 舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。 教学重点：根据已知图象求解析式；将实际问题抽象为三角函数模 型。 教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学 关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题 函数模型的应用示例 2、心理、生理现象 情绪的波动 智力变化状况 血压变化状况 3、地理情景 气温变化规律 月圆与月缺 4、日常生活现象 涨潮与退潮 车轮转动 峰谷电 正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 1、物理情景 简单和谐运动 星体的环绕运动 如果在宁波地区（纬度数约是北纬30o）的一幢高为ho 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不 被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？ 例题2 分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为 南，北回归线之间的地带。画出图形如下，由 画图易知 A B C h0 解：图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、南回 归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳 全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况 来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。 根据太阳高度角的定义有 A B C h0 P 太阳高度角的定义 如图，设地球表面某地 纬度值为 ， 正午太阳高度角为 ， 此时太阳直射纬度为 那么这三个量之间的关 系是 当地夏半年 取正值， 冬半年 取负值。 太阳光 地心 北半球 南半球 太阳光直射南半球 太阳光 地心 解：图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、南回 归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳 全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况 来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。 根据太阳高度角的定义有 所以 即在盖楼时， 为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当与楼高1.35倍的间距。 A B C h0 P 15米 将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚: 理解题意 建立三角 函数模型 求解 还原解答 一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m， 已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时 开始计算时间。 （1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； （2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？ 例题3 x y 解(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转，建立平面直角坐标系。 设角 。 由OP在t(s)内所转过的角为 ， 可知以Ox为始边，OP为终边的角为 ， 故点P的纵坐标为 ，则 当t=0,z=0,可得 .因为 ,所以 . 故所求函数关系式为 . (2)令 ,得 . 取 ,解得 . 即点P第一次到达最高点大约要5.5S. x y 小结: 1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模 型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数 模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等. 2.建立三角函数模型的一般步聚: 现实问题 现实模型 改 造 三角函数模型 抽象 概括 解析式 图 形 三角函数模型的解 数学 方法 还原 说明 现实模型的解 是否符合实际 修改 体验探究 1、你能一刀削出一条正弦曲线吗？ 提示：把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上 几圈，用刀斜着将纸筒削断，再把卷着的纸展开， 你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线。 你知道吗？ 这条曲线就是正弦曲线！ 2、你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象 编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？ 教学目标： 1、知识目标：能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模 型刻画数据所蕴涵的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释 有关实际问题，为决策提供依据。 2、能力目标：体会由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解 决现实问题的数学建模学习过程，使学生逐步养成运用信息技术工 具解决实际问题的意识和习惯； 使学生进一步提升对函数概念的完 整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力. 3、情感目标：体验探索和创造过程，从中获得成功的快乐，体会 学习数学知识的重要性，激发对数学的兴趣和树立自信心，渗透数 学与现实统一和谐之美。 教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化的规律，用函数思想解决 具有周期变化规律的实际问题。 教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角 函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。 一、设置情境，呈现问题 二、探索实践，寻找模型 1、初步认识 2、深入探索 三、回归现实归现实 ,提出问题问题 四、练习反馈,提高能力 五、总结总结 提炼炼,延时时探究 教学过程： 法国圣米切尔山 涨潮落潮 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象 叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。 （一）设置情境，呈现问题 依据规定依据规定, ,当海浪高度高于当海浪高度高于1 1mm时才对冲浪爱好者开放。时才对冲浪爱好者开放。 宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江“ T ”型结构 的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港，分成宁 波老港区、镇海港区、北仑港区，宁波港水深流顺风浪小。进港航 道水深在 18.2 米 以上，20 万吨以下船舶自由进港，25 万吨 30 万吨船舶可候潮进出港。 1.1.依据规定依据规定, ,当海浪高度高于当海浪高度高于1 1mm时才对冲浪爱好者开放时才对冲浪爱好者开放, , 请设计一天内从上午到晚上之间请设计一天内从上午到晚上之间, ,开放冲浪场所的具体时开放冲浪场所的具体时 间段，有多少时间可供冲浪者进行活动间段，有多少时间可供冲浪者进行活动? ? 2.2.按安全条例规定，船何时安全进出港按安全条例规定，船何时安全进出港 上述的变化过程中，哪些量在发生变化？哪个是自变量上述的变化过程中，哪些量在发生变化？哪个是自变量 ？哪个是因变量？哪个是因变量？ ( (潮汐对轮船进出港口产生什么影响？潮汐对轮船进出港口产生什么影响？) ) 某港口在某季节每天的时间与水深关系表：某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时时刻0：003：006：00 水深/米5.07.55.0 时时刻9：0012：0015：00 水深/米2.55.07.5 时时刻18：0021：0024：00 水深/米5.02.55.0 (1)(1)试着用图形描述这个港口从试着用图形描述这个港口从0 0时到时到2424时水深的变化时水深的变化 情况。（作出这些数据的散点图情况。（作出这些数据的散点图, ,并用平滑曲线连接并用平滑曲线连接） 问题一： 二、探索实践，寻找模型 1、初步认识 （2）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的 函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001 ）. （4） 解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中描 出各点，并用平滑的曲线连接。 根据图象，可以考虑用函数 刻画 水深与时间的关系。 从数据和图象可以得出：A=2.5，h=5，T=12， 由 得 时时 刻 0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00 水 深 5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754 时时 刻 12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00 水 深 5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754 问题二：一条货船的吃水深度（船底与水面的距 离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全 间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港 口？在港口能呆多久？ 2、深入探索 时时 刻 0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00 水 深 5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754 时时 刻 12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00 水 深 5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754 x x 36 912 151821 24O y 2 4 6 ABCD 在问题二的条件下，若货船在港口停留8小时以上， 则货船的吃水深度至多是多少？ x x 36 912 151821 24O y 2 4 6 ABCD x x 36 912 151821 24O y 2 4 6 ABCD 时时 刻 0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00 水 深 5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754 时时 刻 12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00 水 深 5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754 x x 36 912 151821 24O y 2 4 6 问题三：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该 船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少 ，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水 域。 P 在货船的安全水深正 好与港口水深相等时 ，停止卸货吗？ (三)回归现实归现实 ,提出问题问题 现在该港口提高卸货效率，使得货轮的吃水深度以每 小时1米的速度减小，问该港口能否一次性接卸吃水深度为 6米的大货轮？（注：该货轮空载时的吃水深度为1米） O y x 嘿，有挑战性 ! (四)练习反馈,提高能力 练习：某海滨浴场的海浪高度练习：某海滨浴场的海浪高度y y（米）是时间米）是时间t t（0 0t t2424， 单位：小时）的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据：单位：小时）的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据： t03691215182124 y1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.9 9 1.5 依据规定依据规定, ,当海浪高度高于当海浪高度高于1 1mm时才对冲浪爱好者开放时才对冲浪爱好者开放, ,请请 设计一天内从上午到晚上设计一天内从上午到晚上(8:0020:00(8:0020:00）之间）之间, ,开放冲浪开放冲浪 场所的具体时间段，有多少时间可供冲浪者进行活动场所的具体时间段，有多少时间可供冲浪者进行活动? ? 小结反思: 1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学 模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角 函数模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等 . 2.建立三角函数模型的一般步聚: 搜集数据 利用计算机 作出相应的 散点图 进行函数 拟合得出 函数模型 利用函数 模型解决 实际问题 (五)总结总结 提炼炼,延时探究 （一）阅读作业：通读教材，复习巩固，思考对具有周期性 实际问题函数处理的方法和手段 （二）书面作业： （三）实践探究性作业： 宁波港与潮汐 天安门广场国旗升降时间 宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江“ T ”型结构 的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港，分成 宁波老港区、镇海港区、北仑港区，宁波港水深流顺风浪小。进 港航道水深在 18.2 米 以上，20 万吨以下船舶自由进港，25 万 吨 30 万吨船舶可候潮进出港。 （1） 请查阅宁波港的2006年12月潮汐表，以日期为横轴，画 出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找出函数模型。 （2）请查阅各式货轮的吃水深，北仑港的航道水深及潮汐表， 考察30万吨