算术平均数和几何平均数》教学设计方案.doc

算术平均数和几何平均数教学设计方案云和中学 梅林峰弗莱登塔尔的“再创造教学”理论认为：数学教育是一个活动过程。在整个活动中，学生应处于一种积极创造的状态，教师的任务在于引导学生探索获得知识，技能和途径的方法，培养学生的创造力。本方案通过创设一个学生熟悉的实际问题，使学生积极主动地去转化、猜测、证明、应用所得知识，从而进一步提高学生的数学自学能力。教学内容：人教版第二册高中数学（上） 课题：算术平均数和几何平均数教时：第一课时教材分析:（一）本节的内容是在学习了不等式的性质之后推导出的重要不等式 ，进而推出均值不等式 。本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，又渗透了数行结合、化归等数学思想，所以本节内容是培养学生应用数学知识解决实际问题的好素材。（二）教学目标：1.知识目标：理解两个实数的平方和不小于他们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何解释；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题。2.能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想。（三）教学的重点和难点重点：用均值不等式求函数的最值及简单的应用问题。难点：理解均值不等式使用的条件。关键：理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键 （四）教学方法：发现法二 教学对象分析：学生是学习的主体，是学习的主动者。该班级的学生学习的积极性较高，他们善于探索，敢于创新，同时，该班学生的数学基础较好，同学间讨论氛围较为浓厚。教学过程设计：62算术平均数与几何平均数（第一课时）（一）情景设置：师：我们先来看一个问题：某种商品分两次降价，降价的方案有三种：方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售；方案丙是两次都是折销售试问降价最少的方案是哪一种？学生讨论生：设物价为1元，三种降价方案的销售物价分别是：方案甲：0.90.8=0.72（元）；方案乙：0.80.9=0.72（元）；方案丙: =0.7225(元）故降价最少的方案是丙师：变式题：第一次a折销售，第二次再b折销售，还是方案丙降价最少吗？（通过教师的提示，学生转化为数学问题：成立吗？）（二）新课讲授引导学生探索、分析、思考，大部分学生都把整理成了师：我们一起看看：成立吗？谁能证明。生：成立，因为0 ，所以师：回答的很好，那么当a、b满足什么条件时取到“=”号呢？生：a = b师：很好，这就是我们经常用到的重要不等式：如果 解释：“当且仅当” ：“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的 （教师有意识的停顿一下，让学生理解“当且仅当”的含义）师：如果令，运用上面的结论，你能有什么新的结论吗？（学生分析，探索结论）生：师：我们看看下面的问题，正确吗？（1） （2）的最小值为2（学生讨论分析）生：都不对，（1）中我用x=-1代入 ，（2）中最小值取不到 师：看来这个公式我们还没有研究透彻，谁给定理加条件，完整的描述呢？生：若m、n是正数，则（当且仅当m = n时取“=”号）师：很好，为了与课本一致，我们把m、n用a、b替代，所以定理就是：如果a，b是正数，那么 （当且仅当 时取“=”号）这个不等式我们称为均值不等式，做一下说明：）我们称为a、b的算术平均数，称 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.）成立的条件是不同的：前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.）“当且仅当”的含义是充要条件.师：接下来我们简单的了解一下均值不等式的几何意义。如图 abCDAB以长为 的线段为直径作圆 ，.过点C作垂直于直径AB的弦DD,那么CD= 谁来说明均值不等式的几何意义？生：在圆的所有弦长中，半径是最大的。（三）例题讲解例1 已知 都是正数，求证：（1）如果积 是定值P,那么当 时，和 有最小值 （2）如果和 是定值S,那么当 时，积 有最大值（学生思考，教师纠正后说明） 说明：此例题反映的是利用均值不等式求最值的方法，但应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数;（2）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；（3）等号成立条件必须存在.例2已知 a，b，c，d都是正数，求证： 师：你想到怎么证明了吗？ 学生思考片刻生：用公式得： 师：能用此公式吗？你是怎么知道的？生：条件为a，b，c，d都是正数师：当什么时候取到等号呢？生：满足ab = cd 并且ac = bd 的时候，即a = b = c = d的时候课堂练习练习：已知 都是正数，求证：（1） ；（2） （三）小结（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上1本节课学习了两个重要不等式及它们在解决数学问题中的应用 2注意：两个重要不等式使用的条件；不等式中“=”号成立的条件（四）布置作业1课本作业；习题 1，32弹性题：已知 ，求证： 教学设计说明：1导入新课采用学生比较熟悉的问题为背景，容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机使得学生学习本节课知识自然且合理 2在建立新知过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构对有关概念使学生理解正确，尽量以多种形式反映知识结构