高中不等式的常用证明方法归纳总结.doc

不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。注意的变式应用。常用 (其中)来解决有关根式不等式的问题。一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。1、已知a,b,c均为正数，求证： 证明：a,b均为正数， 同理，三式相加，可得二、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。2、a、b、，求证：证：3、设、是互不相等的正数，求证：证： 同理： 4、 知a,b,c，求证: 证明： 即，两边开平方得同理可得三式相加，得5、且，证：。证：6、已知策略:由于证明：。三、分析法分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。7、已知、为正数，求证：证：要证：只需证：即： 成立 原不等式成立8、且，求证。证：即： 即原命题成立四、换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。9、，求证：。证明：令 左 10、，求证：证：由设， 11、已知abc,求证：证明：ab0, bc0, ac0 可设ab=x, bc=y (x, y0) 则ac= x + y, 原不等式转化为证明即证，即证 原不等式成立（当仅x=y当“=”成立）12、已知1xy2，求证：xxyy3证明：1xy2，可设x = rcos，y = rsin，其中1r2，0xxyy= rrsin= r(1sin)，1sin，rr(1sin)r，而r，r3 xxyy313、已知x2xyy2，求证：| xy |证明：x2xyy= (xy)y，可设xy = rcos，y = rsin，其中0r，0| xy | =| xy2y | = | rcos2rsin| = r|sin(ractan)|14、解不等式解：因为=6，故可令 = sin， cos，0，则原不等式化为 sin cos 所以 sin + cos由0，知+ cos0，将上式两边平方并整理，得48 cos2+4 cos230解得0cos所以x6cos21，且x1，故原不等式的解集是x|-1x . 15、1x证明：1x0，1x1，故可设x = cos，其中0则x =cos= sincos=sin()，1sin()，即1x五、增量代换法在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如abc)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简16、已知a，bR，且ab = 1，求证：(a2)(b2)证明：a，bR，且ab = 1，设a =t，b=t， (tR)则(a2)(b2)= (t2)(t2)= (t)(t)= 2t(a2)(b2)六、利用“1”的代换型17、策略：做“1”的代换。证明： .七、反证法反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。18、若p0，q0，pq= 2，求证：pq2证明：反证法假设pq2，则(pq)8，即pq3pq (pq)8，pq= 2，pq (pq)2故pq (pq)2 = pq= (pq)( ppqq)，又p0，q0 pq0，pqppqq，即(pq) 0，矛盾故假设pq2不成立，pq219、已知、（0，1），求证：，不能均大于。证明：假设，均大于 ，均为正 同理 不正确 假设不成立 原命题正确20、已知a,b,c（0，1），求证：（1a）b, （1b）c, （1c）a 不能同时大于。证明：假设三式同时大于0a1 1a0 21、，求证：、均为正数。证明：反证法：假设、不均为正数 又 、两负一正不妨设， 又 同乘以 即，与已知矛盾 假设不成立 、均为正数八、放缩法放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩22、已知a、b、c、d都是正数，求证：12证明：，将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1223、，求证：。证明： 判别式法24、A、B、C为的内角，、为任意实数，求证：。证明：构造函数，判别式法令 为开口向上的抛物线 无论、为何值， 命题真九、构造函数法构造函数法证明不等式24 设0a、b、c2，求证：4abcabc2ab2bc2ca证明：视a为自变量，构造一次函数= 4abcabc2ab2bc2ca = (bc2b2c4)a(bc2bc)，由0a2，知表示一条线段又= bc2bc = (bc)0，= bc4b4c8 = (b2)(c2)0，可见上述线段在横轴及其上方，0，即4abcabc2ab2bc2ca构造向量法证明不等式 根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系|，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握25、 设a、bR，且ab =1，求证：(a2)(b2)证明：构造向量= (a2，b2)，= (1，1)设和的夹角为，其中0| =，| =，= |cos=cos；yxxy = 02ABDCO另一方面，= (a2)1(b2)1 = ab4 = 5，而0|cos|1，所以5，从而(a2)(b2) 构造解析几何模型证明不等式 如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决 26、设a0，b0，ab = 1，求证：2证明：所证不等式变形为：2这可认为是点A()到直线 xy = 0的距离但因()()= 4，故点A在圆xy= 4 (x0，y0)上如图所示，ADBC，半径AOAD，即有：2，所以21实数绝对值的定义: |a|=这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。 2最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若a0时，则 |x|a -axa xa。 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3常用的同解变形 |f(x)|g(x) -g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)；|f(x)|g(x)| f2(x)g2(x)。 4三角形不等式: |a|-|b|ab|a|+|b|。 高中数学复习专题讲座关于不等式证明的常用方法高考要求 不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合 高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本节着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力 重难点归纳 1 不等式证明常用的方法有 比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法 (1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证 (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野 2 不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等 换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查 有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法 证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点 典型题例示范讲解 例1证明不等式(nN*)命题意图 本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力 知识依托 本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等 错解分析 此题易出现下列放缩错误 这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的 技巧与方法 本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法 证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标 而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省 证法一 (1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立 (2)假设n=k(k1)时，不等式成立，即1+2，当n=k+1时，不等式成立 综合(1)、(2)得 当nN*时，都有1+2 另从k到k+1时的证明还有下列证法 证法二 对任意kN*，都有 证法三 设f(n)= 那么对任意kN* 都有 f(k+1)f(k)因此，对任意nN* 都有f(n)f(n1)f(1)=10，例2求使a(x0，y0)恒成立的a的最小值 命题意图 本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力 知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值错解分析 本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cos、sin来对应进行换元，即令=cos，=sin(0)，这样也得asin+cos，但是这种换元是错误的 其原因是 (1)缩小了x、y的范围 (2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的 技巧与方法 除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，af(x)，则amin=f(x)max 若 af(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题 还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化 解法一 由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得 x+y+2a2(x+y)，即2(a21)(x+y)，x，y0，x+y2， 当且仅当x=y时，中有等号成立 比较、得a的最小值满足a21=1，a2=2，a= (因a0)，a的最小值是 解法二 设 x0，y0，x+y2 (当x=y时“=”成立)，1，的最大值是1 从而可知，u的最大值为，又由已知，得au，a的最小值为 解法三 y0，原不等式可化为+1a，设=tan，(0，) tan+1a 即tan+1asecasin+cos=sin(+)，又sin(+)的最大值为1(此时=) 由式可知a的最小值为 例3已知a0，b0，且a+b=1 求证 (a+)(b+) 证法一 (分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即证4(ab)233(ab)+80，即证ab或ab8 a0，b0，a+b=1，ab8不可能成立1=a+b2，ab，从而得证 证法二 (均值代换法)设a=+t1，b=+t2 a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1|，|t2|显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立 证法三 (比较法）a+b=1，a0，b0，a+b2，ab证法四 (综合法)a+b=1， a0，b0，a+b2，ab 证法五 (三角代换法） a0，b0，a+b=1，故令a=sin2，b=cos2，(0，)2不等式的证明高考要求 1通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；2掌握用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围 3搞清分析法证题的理论依据，掌握分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和具体证明方法和步骤4 通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题知识点归纳 不等式的证明方法（1）比较法：作差比较：作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小（2）综合法：由因导果（3）分析法：执果索因基本步骤：要证只需证，只需证“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达（4）反证法：正难则反（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式，如：；利用常用结论：、；、 ； （程度大）、 ； （程度小）（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：已知，可设；已知，可设()；已知，可设；已知，可设；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究题型讲解 例1 若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之 分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知 解：由题意得证法一：（比较法） ， 证法二：（放缩法），证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，AB=a，AC=b，BD=m，作CEBD ， 例2 已知a，bR，且a+b=1 求证： 证法一：（比较法） 即（当且仅当时，取等号）证法二：（分析法） 因为显然成立，所以原不等式成立 点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）证法四：（反证法）假设，则 由a+b=1，得，于是有所以，这与矛盾所以证法五：（放缩法） 左边右边 点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式证法六：（均值换元法），所以可设，左边右边当且仅当t=0时，等号成立 点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即故例3设实数x，y满足y+x2=0，0a1求证：证明：（分析法）要证，只要证：，又，只需证：只需证，即证，此式显然成立原不等式成立例4 设m等于，和1中最大的一个，当时，求证： 分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，”，从而知证明：（综合法）， 例5 已知的单调区间；(2)求证：（3）若求证：解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 ,（2）而 点评：函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值 小结： 1掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次