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相似三角形全章节教案和练习比例线段一，线段的比 定义：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。二，比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。1. 比例线段的有关概念： b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。 2. 比例性质： 3. 平行线分线段成比例定理： 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1l2l3。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。三、黄金分割:在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 其中=0.618. 例题1. 若m是2、3、8的第四比例项，则m ；2. 若x是a、b的比例中项，且a3，b27，则x ； 若线段x是线段a、b的比例中项，且a3，b27，则x ；3. 若a:b:c2:3:7，且abc36，则a ；b ； c 。已知，那么 。4. 已知:一张地图的比例尺1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm, 求北京到上海的实际距离大约是多少km?5. 在ABC与A/B/C/中，且A/B/C/周长是50。求ABC的周长。6. 如图，在ABC中，P为中线AM上任一点，CP的延长线交AB于D，BP的延长线交AC于E，连结DE。（1）求证：DEBC；（2）如图，在ABC中，DEBC，DC、BE交于P，连结AP并延长交BC于M，试问：M是否为BC的中点？解析：（1）延长AM至Q，使MQMP BMMC，四边形BPCQ是平行四边形 CDBQ，BEQC DEBC （2）过B作BQCD交AM的延长线于QDEBC， ，BEQC 四边形BPCQ是平行四边形 M是BC的中点7. 如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少多少m处是比较得体的位置？（结果精确到0.1m） 练习1,将比例式变形正确的是（ ）A、 B、xy=6 C、 D、2.下列各组钱段是成比例线段的是（ ）A、1，2，3，4 B、1.5，2，2.5，3C、 D、1，3.已知，则下列结论错误的是（ ）A、 B、 C、 D、4.已知：ad=bc，下列各式一定成立的是（ ）A、 B、 C、 D、5.下面四组线段中，不能成比例的是（ ）A、a=3,b=6,c=2,d=4 B、a=1,b=,c=,d= C、a=4,b=4,c=5,d=10 D、a=2,b=,c=,d=26.AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙6米，梯上点D距墙1.4米，BD长0.55米，解梯子的长是（ ）米。A、3.85 B、4.00 C、4.40 D、4.50 7.如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么下列说法错误的是 ( ) A、线段AB被点C黄金分割 B、点C叫做线段AB的黄金分割点C、AB与AC的比叫做黄金比 D、AC与AB的比叫做黄金比8、在一张比例尺为1：1000的地图上，湖湘中学校园的周长是100cm，那么该学校校园的实际周长是_m.9、 已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项c=_cm.10、已知=，解a：b=_。11、若，且x+yz=1，则x=_y=_。12、若2a=3b0，则（a+b）；b=_13、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）的正面是一个黄金矩形。若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_.（结果保留根号）比例线段与黄金分割【知识要点】1把的值叫做线段的比，若，则称线段成比例线段。2，其中分别叫第一、第二、第三、第四比例项，称为外项，称为内项；外项的积等于内项的积。3，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位4比例性质：基本性质：；反比性质：； 更比性质：； 合比性质：； 等比性质：，则5比例中项：若，则称是的比例中项6若点P分线段AB得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P是线段AB的黄金分割点；7叫做黄金比值。【典型例题】例1下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a=，b=3，c=2，d= B.a=4，b=6，c=5，d=10C.a=2，b=，c=2，d= D.a=2，b=3，c=4，d=1例2. 已知线段a、b、c、d满足ab=cd，把它改写成比例式，错误的是( )A.ad=cbB.ab=cd C.da=bcD.ac=db例3. 若a=,b=3,c=3,则a、b、c的第四比例项d为_例4. 若ac=bd，则下列各式一定成立的是( )A.B. C.D.例5. 已知,则下列式子中正确的是（ ）A. ab=c2d2 B. ad=cbC. ab=（a+c）（b+d） D. ab=（ad）（bd）例6已知，且，求的值。例7.在比例尺为1500000的地图上，A、B两地的距离是64 cm，则这两地间的实际距离是_ 例8.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m，那么这张地图的比例尺为_.例9（1）已知，求的值 （2）已知，求的值例10.已知点M将线段AB黄金分割(AMBM)，则下列各式中不正确的是( )AAMBM=ABAM B.AM=AB C.BM=AB D.AM0.618ABACDB例11如图，线段AB=2，点C是AB的黄金分割点(ACBC），点D（不同于C点）在AB上，且，求：的值【练习】1如果，那么下列比例中错误的是（ ） A、 B、 C、 D、2若，则下列等式中，不正确的是（ ） A、 B、 C、 D、3若，则（ ） A、1:2 B、1:4 C、1:6 D、1:84若，则的值为（ ） A、-2 B、2 C、3 D、-35已知，且，则（ ） A、11 B、12 C、 D、96若，且，则的值是（ ） A、5 B、-5 C、20 D、-207若，则等于（ ） A、12 B、 C、- D、8已知AB=1，且，则BC的长为（ ） A、 B、 C、 D、9已知P是线段AB的黄金分割点，且，则AB的长为（ ） A、2 B、 C、2或 D、以上都不对10已知，设，那么A、B、C的大小顺序为（ ） A、ABC B、ABAB D、AC0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反，当0时，注意：0。例题讲解1、 选择题1.下列各式计算正确的是 ( )A.2(a+b)+c=2a+b+c B.3(a+b)+3(b-a)=0 C.+=2 D.a+b+3a-5b=4a-4b2.、R,下列关系式中正确的是 ( )A.若=0,则a=0 B.若a=0,则a=0 C.|a|=|a D.|a|=|a|3.在ABC中,E、F分别是AB、AC的中点,若=a,=b,则等于 ( )A.(a+b) B.(a-b) C.(b-a) D.-(a+b)4.已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于( )A.3 B.-3 C.0 D.25.若=3e1，=5e1，且与模相等，则四边形ABCD是 （ ）A.平行四边形 B.梯形 C.等腰梯形 D.菱形二、填空题1.已知两向量e1、e2不共线,a=2e1+e2,b=3e1-2e2,若a与b共线,则实数= .2.设平面内有四边形ABCD和点O, =a, =b, =c, =d,a+c=b+d,则四边形ABCD的形状是 .三、解答题1.计算:(1)(7)6a (2)4(a+b)3(ab)8a (3)(5a4b+c)2(3a2b+c)2.已知=e1e2,=2e18e2,=3e1+3e2. 求证:A、B、D三点共线.3.设两个非零向量e1和e2不共线，如果：=2e1+3e2，=6e1+23e2，=4e1-8e2. 求证：A、B、D三点共线.4.已知ABCD为矩形，且AD=2AB，又ADE为等腰直角三角形，F为ED的中点，=e1，=e2，以e1，e2为基底，试表示向量、及.练习1234当向量与单位向量方向相反，长度为2时，5若()，则（填“平行于”或“不平行于”）6中，分别是边上的中点，若，则7.若非零向量，则向量与方向是_，它们的位置关系是_.8.若非零向量，则向量与方向是_，它们的长度关系是_.9.若向量的长度是向量的长度的倍，且，则.10已知矩形的对角线与交于点，如果，.11计算：（1）.= （2）.= 12已知：向量关系式：，试用，表示向量= 13. 设是一个平面内两个不平行的非零向量, 则向量在向量方向上的分向量分别是_.知识点1.相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）注：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关例1放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？例2下列各组图形：两个平行四边形；两个圆；两个矩形；有一个内角80的两个等腰三角形；两个正五边形；有一个内角是100的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_(填序号)练习：1、下列各种图形相似的是（ ）A、（1）、（3） B、（3）、（4） C、（1）、（2） D、（1）、（4）2、下列图形相似的是（ ）（1）放大镜下的图片与原来的图片；（2）幻灯的底片与投影在屏幕上的图象；（3）天空中两朵白云的照片；（4）卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片. A、4组 B、3组 C、2组 D、1组3、下列说法正确的是（ ）A、所有的等腰梯形都相似 B、所有的平行四边形都相似 C、所有的圆都相似 D、所有的等腰三角形都相似4、下列说法不一定正确的是（ ）A、所有的等边三角形都相似 B、有一个角是1000的等腰三角形相似C、所有的正方形都相似 D、所有的矩形都相似5、下列给出的图形是相似形的有（ ）A、两张孪生兄弟的照片 B、三角板的内、外三角形C、行书的“中”和楷书的“中” D、同一棵树上摘下的两片树叶6、下列给出的图形中，不是相似形的是（ ）A、刚买的一双鞋的左右鞋底 B、复印出来的两个“谁”字C、一对乒乓球拍 D、仅仅宽度不同的两块长方形木板7、用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；用彩笔在黑板上写上三个大字1、2、3，它们是相似图形；用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为哪些是正确的，哪些是错误的？8、如图，利用右边的表格，把左边图中奔跑的小人放大一倍.9、把下列图中左边的图形，加以放大后画出与它们相似的图形.相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。即：两角对应相等，两三角形相似。例1、已知：如图，1=2=3，求证：ABCADEABCDEF例2、如图，E、F分别是ABC的边BC上的点，DEAB,DFAC ,求证：ABCDEF. 判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似例1、ABC中，点D在AB上，如果AC2=ADAB，那么ACD与ABC相似吗？说说你的理由例2、如图，点C、D在线段AB上，PCD是等边三角形。（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，ACPPDB？（2）当ACPPDB时，求APB的度数。判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。简单说成：三边对应成比例，两三角形相似例1、如图，方格纸上的每个小正方形的边长都为1，下列图中的三角形与右图中的ABC相似的是（ ）。例2、如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=6，AC=4，DA=8.AC平分BAD吗？为什么？ 例3、方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点之间的连线为边的三角形叫做格点三角形。如图：ABC和DEC是两个格点三角形，设每个小方格边长为1。5、 ABC与DEC相似吗？为什么？（2）若MNPABC，且对应边的比等于2，则MNP的各边等于多少？（3）你能否在图中右侧方格中作出MNP呢？直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP3PC，Q是CD的中点求证：ADQQCP例2、如图,ABBD,CDBD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.例3、已知：AD是RtABC中A的平分线，C=90，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。求证：(1)AMENMD (2)ND2=NCNB【课堂练习】1、如图，点D在ABC的边AC上，添加 条件，可判定ADB与ABC相似。2、如图，在ABC中ACB=90，CDAB于点D，则图中相似三角形有 。3、如图，在ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形是 。4、如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，CPD=A=B，BC交PD于E，AD交PC于G，则图中相似三角形有 。5、如图，已知AB=AC，A=36，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M下列结论：BD是ABC的平分线；BCD是等腰三角形；ABCBCD；AMDBCD正确的有 。6、如图，在RtABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且DAE=45，将ADC绕点A顺时针旋转90后，得到AFB，连接EF，下列结论中正确的是 EAF=45；ABEACD；EA平分CEF；BE2+DC2=DE27、如图，在ABC中，ACB=90，A=30，将ABC绕点C顺时针旋转得到ABC，点B在AB上，AB交AC于F，则图中与ABF相似的三角形有（不再添加其它线段）是 。8、如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，下列结论：BAE=30，ABEAEF，AEEF，ADFECF其中正确的为 。9、在ABC中，C=90，D是边AB上一点（不与点A，B重合），过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有 条。10、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若BFA=90，求证：BEAACD；FEDDEB；CFDABG11、如图，ABC与AFG是两个全等的等腰直角三角形，BAC=F=90，BC分别与AF，AG相交于点D，E找出图中所有不全等的相似三角形并证明。12、如图，四边形ABCD是平行四边形O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的延长线分别交于点G、H（1）写出图中所有不全等的两个相似三角形（并选择一种情况证明）；（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明【课后作业】1、如图，已知ADE=B，则AED _2、如图，在RtABC中，C=90，DEAB于D，则ADE_3、如图；在C=B，则_ _,_ _4、RtABC RtABC, C=C=90,若AB=3，BC=2，AB=6,则BC=_, AC=_5、在ABC和ABC中，B=B, AB =6, BC=8,BC=4,则当AB=_时，ABCABC，当AB=_时，ABCC B A6、如图；在ABC中，DE不平行BC,当时，ABCAED，若AB=8，BC=7,AE=5,则DE=_7、如图；在Rt ABC中，ACB=90，AF=4，EFAC交AB于E，CDAB，垂足D，若CD=6，EF=3，则ED=_,BC=_,AB=_8、如图；点D在ABC内，连BD并延长到E，连AD、AE，若BAB=20，则EAC=_9、如图；在Rt ABC中，ACB=90，CDAB，AC=6，AD=3.6，则BC=_10、已知；CADB ，DEAB，AC、ED交于F，BC=3，FC=1，BD=5， 则AC=_11、下列各组图形必相似的是-（ ）A、任意两个等腰三角形 D、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形C、两条边成比例的两个直角三角形 B、两条边之比为2：3的两个直角三角形 12、如图；AOD=90，OA=OB=BC=CD，那么下列结论正确是-（ ）A、OABOCA B、OAB ODAC、BACBDA D、以上结论都不对13、点P是ABC中AB边上一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截ABC，使得的三角形与原三角形相似，满足条件的直线最多有-（ ）A、2条 B、3条 C、4条 D、5条14、在直角三角形中，两直角边分别是3、4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比是-（ ） A、 B、 C、 D、15、ABC中，D是AB上的一点，在AC上取一点E，使得以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则这样的点最多是-（ ） A、0 B、1 C、2 D、无数16、如图；正方形ABCD中，E是CD的中点，FC=BC结论正确个数是-（ ）（1）ABFAEF （2）ABFECF （3）ABFADE（4）AEFECF （5）AEFADF （6）ECFADE 17、已知；ABC中，P为AB上一点，下列四个条件中；（1）ACP=B；（2）APC=ACB；（3）（4）ABCP=APCB，能满足APC ACB相似的条件是-（ ）A、（1）（2）（4） B、（1）（3）（4） C、（2）（3）（4） D、（1）（2）（3）18、如图；正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF等于-（ ）A、8 B、6 C、4 D、319、如图，已知在ABC中，AE=AC，AHCE，垂足K，BHAH，垂足H，AH交BC于D。求证：ABH ACK20、如图；正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD中点，求证：ADQ QCP21、如图；已知梯形ABCD中，AD/BC，BAD=90，对角线BDDC。 求证：（1）ABD DCB （2）BD2=ADBC22、如图；以DE为轴，折叠等边ABC，顶点A正好落在BC边上F点，求证；DBF FCE23、ABC中，AB=AC，BAC=108，D是BC上一点，且BD=BA。求证；ABC DAC24、在等边ABC中，D在BC上，E在CA上，BD=CE，AD、BE相交于F。求证：（1）ABD BFD （2）AEF ADC相似三角形的判定相似三角形的判定方法（一）.三角形中的平行线定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【经典例题1】如