浙江理工大学线性代数综合练习题8套另加参考答案.doc

线性代数综合练习题（一）一、单项选择题 1. 对于阶可逆矩阵，则下列等式中（ ）不成立.(A) (B) (C) (D) 2. 若为阶矩阵，且，则矩阵（ ）. （A） （B） （C） （D） 3. 设是上（下）三角矩阵，那么可逆的充分必要条件是的主对角线元素为（ ）. (A) 全都非负 （B） 不全为零 （C）全不为零 （D）没有限制4. 设 ，那么（ ）. （A） （B） （C） （D） 5. 若向量组线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示. （A）至少有一个向量 （B）没有一个向量 （C）至多有一个向量 （D）任何一个向量 6. 若，其秩（ ）. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 7. 若方程中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）. （A）必有无穷多解 （A）必有非零解 （C）仅有零解 （D）一定无解8. 若为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 9. 若满足条件（ ），则阶方阵与相似. （A） （B） （C）与有相同特征多项式 （D）与有相同的特征值且个特征值各不相同二、填空题1. 若向量组线性无关，则向量组是线性 .2. 设为4阶方阵，且，是的伴随阵，则的基础解系所含的解向量的个数是 .3. 设为阶正交阵，且，则 .4. 设，线性相关，则 .5. 设，则 .6. 设三阶方阵有特征值4，5，6，则 ，的特征值为 ，的特征值为 .三、计算题1. 计算行列式 2. 已知矩阵，求.3. 设三阶方阵满足 ，其中，求.4. 取何值时，非齐次线性方程组（1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题1. 设为阶可逆阵，.证明的伴随阵.2. 若，都是阶非零矩阵，且.证明和都是不可逆的.线性代数综合练习题（一）参考答案一、单项选择题1. B 2. B 3. C 4. C 5. A 6. B 7. B 8. B 9. D二、填空题1. 无关； 2. 3 ； 3. 1 ； 4. 3 ；5. ； 6. 120 ， 4，5，6 ， .三、计算题1. 解： . 2. 解：先求的特征值，= ， 当时，由得，的对应于2的特征向量是， 当时，有得，的对应于的特征向量是，当时，有得，的对应于的特征向量是， 取. . 令 ，则，所以. 3. 解：因为，所以， 因此 . 又，所以， 故 . 4. 解：， （1）当，即且时，方程组有惟一解. （2）当时，此时，方程组无解， （3）当时，此时，方程组有无限多个解.，并且通解为 . 四、证明题1. 证：根据伴随矩阵的性质有又，所以，再由于可逆，便有.2. 证：假设可逆，即存在，以左乘的两边得，这与是阶非零矩阵矛盾；类似的，若可逆，即存在，以右乘的两边得，这与是阶非零矩阵矛盾，因此，和都是不可逆的.线性代数综合练习题（二）一、选择题1. 设是四维列向量，且，则（ ）。（A） （B） （C） （D） 2. 如果为三阶方阵，且，则（ ）。（A） 4 （B） 8 （C） 2 （D） 16 3. 设为阶方阵，且，则（ ）。（A）中必有两行（列）的元素对应成比例 ，（B）中至少有一行（列）的元素全为0 ， （C）中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合， （D）中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。4. 设矩阵、的秩分别为，则分块矩阵的秩满足（ ）。（A） （B） （C） （D） 5. 设为阶方阵，是阶正交阵，且，则下列结论不成立的是（ ）。（A）与相似 （B）与等价（C）与有相同的特征值 （D）与有相同的特征向量二、填空题1. 阶行列式 。2. 设，则 。3. 设三阶矩阵，满足，且，则 。4. 设四阶方阵，则 。5. 设向量组，线性相关，则 。6. 设三阶方阵的特征值为1，2，3，则 ，的特征值为 ，的特征值为 。7. 设二次型为正定二次型，则的范围是 。三、计算题1. 求向量组，的秩与一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示。2. 为何值时，方程组有惟一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出方程组的通解。3. 三阶实对称矩阵的特征值为，对应于特征值的特征向量为, 求。4. 已知二次型，（1）写出二次型的矩阵表达式，（2）用正交变换把化为标准形并写出相应的正交变换。四、证明题1. 设为阶方阵，如果存在正整数，使得，证明可逆，并求逆。2. 设是阶方阵的特征值，对应的特征向量分别为，证明不是的特征向量。线性代数综合练习题（二）参考答案一、选择题1. C 2. A 3. C 4. A 5. D二、填空题（每空3分）1. ； 2. ； 3. ；4. ； 5. 6. ， ，6，3，2 ；7. .三、计算题1. 解： ， 所以，是一个最大无关组，并且有 ，. 2. 解： ， 当，即且时，方程组有惟一解. 当时，此时，方程组有无限多个解.，并且通解为 ， 当时，此时，方程组无解. 3. 解：先求对应于特征值1的特征向量，设是对应于1的特征向量，则有，因而，为不等于0的任意常数. 取，令，则有 ， 因此，. 4. 解：（1） （2） ，所以的特征值为， 当时，由得对应于5的特征向量，当时，由得对应于的特征向量，. 取，令，则为正交矩阵，且 ， 因此，所求的正交变换为，并且 四、证明题1. 证： 所以，可逆，并且.2. 证：假设是的对应于的特征向量，则因为, 所以， 由于是对应于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，从而，矛盾！线性代数综合练习题（三）一、 选择题1. 设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则（ ）. （A） （B） （C） （D）的关系依而定2. 若为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 3. 值不为零的阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换，则行列式的值（ ）. （A） 保持不变 （B） 保持不为零 （C） 保持有相同的正负号 （D） 可以变为任何值4. 设和都是阶方阵，下列各项中，只有（ ）正确.（A） 若和都是对称阵，则也是对称阵（B） 若，且，则（C） 若是奇异阵，则和都是奇异阵（D） 若是可逆阵，则和都是可逆阵5. 向量组线性相关的充要条件是（ ）. （A）中有一个零向量 （B）中任意向量的分量成比例 （C）中有一个向量是其余向量的线性组合 （D）中任意一个向量是其余向量的线性组合6. 设方阵的秩分别为，则分块矩阵的秩与的关系是（ ）. （A） （B） （C） （D）不能确定二、 填空题1. 设三阶方阵的特征值为1，2，3，则 .2. 设为正定二次型，则的取值范围为 .3. 设，则 .4. 阶行列式 .5. 设阶方阵的元素全为1，则的个特征值为 .6. 设是非齐次线性方程组的个解，若也是它的解，则 .三、计算题1. 解矩阵方程，其中，.2. 求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示：3. 已知矩阵，求.4. 向量组讨论取何值时，（1）能由线性表示，且表示式唯一，（2）能由线性表示，且表示式不唯一，（3）不能由线性表示.四、证明题1. 设是阶方阵的两个特征值，是对应的特征向量，证明不是的特征向量.2. 设是阶方阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，且，证明向量组是线性无关的.线性代数综合练习题（三）参考答案一、选择题1. C 2. B 3. B 4. D 5. C 6. A二、填空题1. 6 ； 2. ； 3. ； 4. ；5. （个），； 6. 1 .三、 计算题1. 解：由，得， 为此对矩阵施行初等行变换化为行最简形矩阵， 所以 . 2. 解：对施行初等行变换变成行最简形， 所以，的前三列是的列向量组的最大无关组，且， . 3. 解：先求的特征值，= ， 当时，由得，的对应于2的特征向量是， 当时，有得，的对应于的特征向量是，当时，有得，的对应于的特征向量是， 取. 令 ，则，所以. 4. 解： （1）当时，可由线性表示，且表示式不唯一； （2）当，且，即时，不能由线性表示； （3）当且时，能由线性表示，但表示式唯一. 四、证明题1. 证：假设是的对应于的特征向量，则因为, 所以， 由于是对应于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，从而，矛盾！2. 证：因为是线性方程组的解向量，所以.从而（），又由知（）.设， （1）以左乘上式两边，得，因而必有，以左乘（1）式两边，得，因而必有，类似地，可以证明必有，故是线性无关的.线性代数综合练习题（四）一、选择题1. 设均为阶方阵，若由能推出，则应满足下列条件中的（ ）。 （A） （B） （C） （D） 2. 设为阶方阵，且，则（ ）。 （A）中必有两行（列）的元素对应成比例 （B）中至少有一行（列）的元素全为零 （C）中必有一行（列）的向量是其余各行（列）的向量的线性组合 （D）中任意一行（列）的向量是其余各行（列）的向量的线性组合3. 设方阵，的秩分别为，则分块矩阵的秩与的关系是（ ）。 （A） （B） （C） （D）不能确定4. 设，那么（ ）。 （A） （B） （C） （D） 5. 设都是阶非零矩阵，且，则和的秩（ ）。 （A）必有一个等于零 （B）都小于 （C）一个小于，一个等于 （D）都等于6. 设、为阶方阵，且与相似，为阶单位阵，则（ ）。 （A） （B）与有相同的特征值和特征向量 （C）与相似于一个对角矩阵 （D）对任意常数，相似二、填空题1. 已知，则 。2. 若对，有，则 。3. 向量组（）：，（）：，（）：，如果R()=R（）=3, R（）=4, 则的秩= 。4. 设为非齐次线性方程组的个解，若也是该线性方程组的一个解，则 .5. 已知阶可逆矩阵的每行元素之和均为，则数 一定是的特征值。6. 设 为正定二次型， 则的取值范围为 。三、计算题1. 设，且 ，求。2. 求向量组，的秩和一个最大无关组，并把其他向量用该最大无关组线性表示。3. 对于线性方程组 讨论取何值时，方程组无解、有惟一解和有无穷多解？并在方程组有无穷多解时，求其通解。4. 设二次型，（1）求一个正交变换化二次型为标准形，（2）设为上述二次型的矩阵，求四、证明题1. 设是阶方阵的两个特征值，是对应的特征向量，证明不是的特征向量.2. 设为个线性无关的维列向量，是和均正交的维列向量，证明线性相关。线性代数综合练习题（四）参考答案一、选择题1. B 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D二、填空题1. 2. 9 3. 4 4. 1 5. 6. 三、计算题1. 解：由得，即 因为， 所以 . 2. 解： 所以，是一个最大无关组，并且 ， 3. 解： ， 当，即且时，方程组有惟一解. 当时，此时，方程组有无限多个解.，并且通解为 ， 当时，此时，方程组无解. 4. 解：， （1） 所以的特征值为， 由得对应于的特征向量，由得对应于的特征向量，由得对应于的特征向量，取，令， 则得 所求的正交变换 即 且 （2） 根据（1）知， 所以 . 四、证明题1. 证：假设是的对应于的特征向量，则因为, 所以， 由于是对应于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，从而，矛盾！2. 证：设，则是一个矩阵，因为线性相关，所以，故元线性方程组的解空间的维数为1.又是和均正交的，所以是的解，因此必线性相关.线性代数综合练习题（五）一、填空题1. 已知，则 。2. 设四阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，则行列式 。3. 方程的规范正交解为 。4. 设矩阵的秩为2，则 。5. 设，是的一个正交基，则在此基下可线性表示为 。二、选择题1. 关于矩阵，下列命题正确的是（ ）。 （A）若，则或（B）可经过一系列的初等行变换把矩阵化为标准形 （C）矩阵的标准形不惟一 （D）若为初等矩阵，则2. 下列命题正确的是（ ） （A）维列向量组可以线性无关 （B）矩阵的初等变换可能改变矩阵的秩 （C）维列向量组必线性相关 （D）若方阵，则可逆。3. 设为阶方阵，是阶正交阵，且，则下列结论不成立的是（ ）。 （A）与相似 （B）与有相同的特征向量 （C）与有相同的特征值 （D）与等价4. 已知三阶矩阵的特征值为其对应的特征向量分别是，取，则（ ） （A） （B） （C） （D） 5. 二次型（是对称矩阵）正定的充要条件是（ ）。 （A）对任何，有 （B）的特征值为非负数 （C）对任何，有 （D）对任意，有三、计算题1. 设非齐次线性方程组，（1）取何值时，方程组（a）有唯一解；（b）无解；(c) 有无数多个解。并且方程组有无数多个解时，用该方程组的一个特解及对应齐次线性方程组的基础解系表示其通解。（2）设该方程组的系数矩阵为，试问取何值时，存在三阶非零矩阵，使得。2. 设，（1） 求一正交相似变换矩阵，使，其中为对角矩阵；（2） 求。3. 设三阶实对称矩阵的特征值为对应的特征向量为，（1） 求对应的特征向量；（2） 求矩阵。4. 判断下面向量组的线性相关性，求它的秩和一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组线性表示。，四、证明题1. 设与为阶矩阵，则与相似。2. 设为正定矩阵，证明：。线性代数综合练习题（五）参考答案一、填空题1. ， 2. ， 3. 4. 3 ， 5. .二、选择题1. D 2. C 3. B 4. B 5. D三、计算题1. 解：， （1）当且时，此时方程组有惟一解. 当时，增广矩阵，显然系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为，此时方程组无解. 当时，增广矩阵 ，所以 ,令，得，此为时对应方程组的通解. （2）系数矩阵的秩小于3时，线性方程组有非零解，此时存在三阶矩阵，使得.由得或. 2. 解：（1）特征多项式的特征值为，. 当时，解方程组，得基础解系，于是得到对应的单位特征向量. 当时，解方程组，得基础解系，于是得到对应的单位特征向量. 令，此时. （2）先求，所以， 故 . 3. 解：（1）设对应于2的一个特征向量为，则与正交，即，其基础解系为，这是对应于2的两个线性无关的特征向量. （2）令，令，则. 所以， . 4. 解：， 所以，向量组线性相关，为最大无关组，并且 四、证明题1. 证：因为，所以可逆， 因而 ，即，所以与相似. 2. 证：为正定矩阵，则特征值全为正数. 设的全部特征值为，则，由于为正定矩阵，所以存在正交矩阵，使得，即 所以线性代数综合练习题（七）一、选择题1. 设、为阶矩阵，则下面必成立的是（ ）。 （A） （B） （C） （D）2. 设为阶矩阵，且，则（ ）。 （A） （B） （C） （D）3. 设向量组的秩为3，则（ ）。 （A）任意三个向量线性无关 （B）中无零向量 （C）任意四个向量线性相关 （D）任意两个向量线性无关4. 线性方程组，有解的充要条件是（ ）。 （A） （B） （C） （D）5. 阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件是（ ）。 （A）的个特征值互不相同 （B）可逆 （C）无零特征值 （D）有个线性无关的特征向量二、填空题1. 各列元素之和为0的阶行列式的值等于 。2. 设三阶矩阵，则 。3. 设矩阵，则 ， ， （为正整数）。4. 设，则 。5. 设向量组线性无关，则向量组，线性 。6. 设三阶可逆矩阵的特征值分别为2、3、5，则 ，的伴随矩阵的特征值为 。7. 设实二次型为正定二次型，则参数的取值范围是 。三、计算题1. 设，求矩阵。2. 当取何值时，线性方程组有（1）惟一解；（2）无解；（3）无穷多解，并求通解。3. 设四维向量组，求该向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示。4. 求一个正交变换，将实二次型化为标准形，并判断该二次型是否正定。四、证明题1. 设为阶矩阵，如果，则。2. 设阶矩阵，（为正整数），则不能与对角矩阵相似。线性代数综合练习题（七）参考答案一、选择题1. D 2. B 3. C 4. A 5. D二、填空题1. 2. 3. , , 4. 2 5. 无关 6. 30 ， 15，10，6 7. 三、计算题1. 解： . 2. 解：线性方程组的系数行列式， （1）当，即且时，方程组有惟一解； （2）当时，方程组无解； （3）当时，因为，所以方程组有无穷多解，且通解为，为任意实数. 3. 解：， 所以 ， 为向量组的一个极大线性无关组，且 ， 4. 解：二次型的矩阵 ， 的特征多项式，所以的特征值为，. 对应的线性无关的特征向量为，单位化得；对应的线性无关的特征向量为，单位化得；对应的线性无关的特征向量为，单位化得. 所求正交变换为 ，二次型的标准形为 ， 因为，所以该二次型不是正定二次型. 四、证明题1. 证：由，得，则 ； 又 ， 所以 . 2. 证：反证法，假设与对角矩阵相似，则存在可你矩阵，使得， 则 ，从而 ， 所以 ，因而 ，这与矛盾，故不能与对角矩阵相似. 线性代数综合练习题（八）一、填空题1. 设，则A的伴随矩阵 。2. 若向量组线性无关，则向量组是线性 。3. 设二次型为正定二次型，则取值范围为 。4. 设矩阵的秩为2，则= 。5. 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 ； 元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是 。二、选择题1. 设与为阶非零矩阵，且= 0 ，则与的秩（ ） （A）必有一个等于零 （B）都小于 （C）一个小于，一个等于 （D）都等于2. 设为阶实矩阵，是的转置矩阵，则对于线性方程组（）： 和（）： ，必有（ ） （A）（）的解是（）的解，（）的解也是（）的解；（B）（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解；（C）（）的解不是（）的解，（）的解也不是（）的解；（D）（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解。3. 设为阶矩阵，且，则必有（ ） （A） （B） （C） （D）4. 设向量组则该向量组的一个最大无关组为（ ） （A） （B） （C） （D）5. 若满足条件（ ），则阶方阵与相似。 （A） (B) （C）与有相同的特征多项式 （D）与有相同的特征值且个特征值各不相同三、计算阶行列式。四、求下面齐次线性方程组的基础解系： 五、设，求。六、 设3阶对称矩阵的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为，求。七、求一个正交变换使化下列二次型成标准形：。八、设是一组维向量，证明：线性无关的充分必要条件是任一维向量都可由它们线性表示。线性代数综合练习题（八）参考答案一、填空题 1. ， 2. 无关， 3. ，4. ，5. 系数矩阵的秩；系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。二、选择题1. B 2. A 3.D 4. B 5. D 三、 解： = 四、 解： 因此，所求的基础解系为，。五、 解：， 因为，所以 于是，。 六、 解：将单位化得，设正交变换矩阵为，使。因此是方程的解，于是，。并且。七、 解： 所以A的特征值为，。 当时，由得,当时，由得，当时，由得。 于是，所求的正交变换为，的标准形为。八、证明：（必要性）设线性无关，并设是一个任意的维向量，于是由个向量构成的向量组：，线性相关，由根据假设线性无关，得知必能由线性表示。（充分性）设任一维向量都可以由线性表示，则单位坐标向量组能由向量组线性表示，因此又，从而，因此线性无关。线性代数综合练习题（九）一、选择题1. 设为阶矩阵，则下列矩阵中不是对称矩阵的是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 2. 已知向量组线性相关，则（ ）。 （A）可由线性表示 （B）不可由线性表示 （C）若，则可由线性表示 （D）若线性无关，则可由线性表示3. 设，则当（ ）时，。 （A） 1 （B） （C） 2 （D） 4. 齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）。 （A）的列向量组线性无关 （B）的列向量组线性相关 （C）的行向量组线性无关 （D）的行向量组线性相关5. 设阶矩阵的个特征值全为零，则（ ）。 （A） （B）只有一个线性无关的特征向量 （C）不能与对角矩阵相似 （D）当与对角矩阵相似时，二、填空题1. 设四阶行列式的第一行元素分别为第一行元素的余子式分别为，则 。2. 设，则 。3. 设，则 。4. 设是由向量组，所生成的向量空间，则的维数为 。5. 设三阶矩阵的特征值分别为1，2，3，则的特征值为 ， 。6. 实二次型的矩阵为 。三、计算题（1. 设三阶矩阵、满足，且，求。2. 当为何值时，线性方程组（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求通解。3. 设为三阶矩阵，三维列向量组线性无关，且，（1）求，使得；（2）求。4. 设三阶矩阵的特征值分别为，对应的特征向量分别为，求。四、证明题1. 设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，证明的秩。2. 设维向量组线性无关， 证明：线性无关的充要条件是为奇数。线性代数综合练习题（九）参考答案一、选择题1. B 2. D 3. A 4. B 5. D二、填空题（每空格4分，共28分）1. 100 ， 2. ， 3. 2 ， 4. 3 ，5. ， 48 ， 6. 三、计算题1. 解：由得， 所以 从而 ，所以 故 。 2. 解：系数行列式， （1）当，即且时，方程组有惟一解； （2）当时， 可见，方程组无解。（3）当时，可见，方程组有无穷多解，并且由的行最简形得，通解为，。 3. 解：（1） 所以 ； （2）有（1）知 因为，线性无关，所以，因此。 4. 解：记，则有