2017年高考数学深化复习+命题热点提分专题14空间向量与立体几何理.docx

专题14 空间向量与立体几何1有以下命题：如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线；O，A，B，C为空间四点，且向量，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量ab，ab，c也是空间的一个基底其中正确的命题是()A B C D2已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()A. B. C. D.解析由题意得ctab(2t，t4，3t2)，解得答案D3已知点B是点A(3，7，4)在xOz平面上的射影，则2等于()A(9，0，16) B25 C5 D13解析A在xOz平面上的射影为B(3，0，4)，则(3，0，4)， 225.答案B4正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在上，且，N为B1B的中点，则|为()A. B. C. D.解析如图，设a，b，c，则abbcca0.由条件知(abc)acabc，2a2b2c2，|.答案A5已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30 B60 C120 D150解析设l与所成角为，cosm，n，又直线与平面所成角满足090，sin .30.答案A6在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B. C. D.答案B7设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A. B. C. D.解析如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，(2，0，0)，(2，0，2)，(2，2，0)，设平面A1BD的法向量n(x，y，z)，则令x1，则n(1，1，1)点D1到平面A1BD的距离d.答案D8二面角l等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于()A. B. C2 D.9.如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为()A0B.C.D.解析设a，b，c，由已知条件a，ba，c，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|a|b|0，cos，0.答案A10若两点的坐标是A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，则|AB|的取值范围是()A0，5 B1，5 C(0，5) D1，2511已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)则以，为边的平行四边形的面积为_解析由题意可得：(2，1，3)，(1，3，2)，cos，.sin，.以，为边的平行四边形的面积S2|sin，147.答案712将锐角A为60，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60的二面角，则A与C之间的距离为_解析设折叠后点A到达A1点的位置，取BD的中点E，连接A1E、CE.BDCE，BDA1E. A1EC为二面角A1BDC的平面角A1EC60，又A1ECE，A1EC是等边三角形A1ECEA1Ca.即折叠后点A与C之间的距离为a.答案a13.如图，ABC是以ABC为直角的三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4.M，N，D分别是SC，AB，BC的中点(1)求证：MNAB；(2)求二面角SNDA的余弦值；(3)求点A到平面SND的距离解以B为坐标原点，BC，BA为x，y轴的正方向，垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系(如图) (1)证明由题意得A(0，4，0)，B(0，0，0)，M(1，2，1)，N(0，2，0)，S(0，4，2)，D(1，0，0)所以：(1，0，1)，(0，4，0)，0，MNAB. (3)(0，2，0)，点A到平面SND的距离d.14如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCDA1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边ABt(0t0)，P是侧棱AA1上的动点(1)当AA1ABAC时，求证：A1C平面ABC1；(2)试求三棱锥PBCC1的体积V取得最大值时的t值；(3)若二面角ABC1C的平面角的余弦值为，试求实数t的值(1)证明连接A1C.AA1平面ABC，AB、AC平面ABC，AA1AC，AA1AB.又ABAC，以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(0，0，0)，C1(0，1，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，(0，1，1)，(0，1，1)，(1，0，0)设平面ABC1的法向量n(x，y，z)，则解得令z1，则n(0，1，1)n，A1C平面ABC1.(2)解AA1平面BB1C1C，点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离t2(32t)t2t3(0t)，Vt(t1)，令V0，得t0(舍去)或t1，列表得t(0，1)1V0V递增极大值递减当t1时，Vmax.设平面BCC1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则0t，解得令y21，则n2(1，1，0)设二面角ABC1C的平面角为，由图可知为锐角，则有|cos |.化简得5t216t120，解得t2(舍去)或t.当t时，二面角ABC1C的平面角的余弦值为.17.直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值(1)证明设a，b，c，根据题意，|a|b|c|，且abbcca0，bc，cba.c2b20.，即CEAD.(2)解ac，|a|，|a|.(ac)(bc)c2|a|2，cos，.即异面直线CE与AC所成角的余弦值为.18.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160. (1)求证：C1B平面ABC；(2)设(01)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30，试求的值 (2)解由(1)可知，AB，BC，BC1两两垂直以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，C1(0，0，)，B1(1，0，)所以(1，0，), 所以(，0，)，E(1，0，)，则(1，1，)，(1，1，)设平面AB1E的一个法向量为n(x，y，z)，则得令z，则x，y，n，AB平面BB1C1C，(0，1，0)是平面的一个法向量，|cosn，|.两边平方并化简得22530，所以1或(舍去)1.19如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的的菱形，BAD60，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，G和H分别是CE和CF的中点(1)求证：平面BDGH平面AEF；(2)求二面角HBDC的大小(1)证明在CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点所以GHEF，又因为GH平面AEF，EF平面AEF，所以GH平面AEF.设ACBDO，连接OH，因为ABCD为菱形，所以O为AC中点，在ACF中，因为OAOC，CHHF，所以OHAF，又因为OH平面AEF，AF平面AEF，所以OH平面AEF.又因为OHGHH，OH，GH平面BDGH，所以平面BDGH平面AEF.因为底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，BF3，所以B(1，0，0)，D(1，0，0)，E(1，0，3)，F(1，0，3)，C(0，0)，H，所以，(2，0，0)设平面BDH的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得n(0，1)由ED平面ABCD，得平面BCD的法向量为(0，0，3)，则cosn，.所以二面角HBDC的大小为60.20如图，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBCAP2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点将PCD沿CD折起，使得PD平面ABCD.(1)求证：平面PCD平面PAD；(2)求二面角GEFD的大小；(3)求三棱锥DPAB的体积 (2)解如图，以D为原点，分别以DC，DA，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.则G(2，1，0)，E(1，0，1)，F(0，0，1)，(1，0，0)，(1，1，1)设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，即 取n(0，1，1)取平面PCD的一个法向量(0，1，0)，cos，n.结合图知二面角GEFD的大小为45.(3)解三棱锥DPAB的体积VDPABVPDABSABDPD222.21.如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10. (1)设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；(2)证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离证明(1)如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，x轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，A(0，8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，4，3)，F(4，0，3)由题意，得G(0，4，0)因为(8，0，0)，(0，4，3)，所以平面BOE的一个法向量为n(0，3，4)由(4，4，3)，得n0，又直线FG不在平面BOE内，所以FG平面BOE.(2)设点M的坐标为(x0，y0，0)，则(x04，y0，3)因为FM平面BOE，所以n.因此x04，y0，即点M的坐标是(4，0)在平面直角坐标系xOy中，AOB的内部区域可表示为不等式组 经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在AOB内存在一点M, 使FM平面BOE.由点M的坐标得点M到OA，OB的距离分别为4，.22.如图，在三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PBBCCA2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PFFA. (1)求证：BE平面PAC；(2)求直线AB与平面BEF所成角的正弦值(2)如图，以B为原点建立空间直角坐标系则C(2,0,0)，A(2,2,0)，P(0,0,2)，E(1,0,1)，(2,2，2)，(0,0,2)，(1,0,1)，.设平面BEF的法向量为m(x，y，z)由，得令x1，则y1，z1，m(1,1，1)又(2，2,0)，cos，m，设直线AB与平面BEF所成的角为，sin ，直线AB与平面BEF所成角的正弦值为.23如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1