2019届高考数学二轮复习专题五2第2讲椭圆、双曲线、抛物线学案.docx

第2讲椭圆、双曲线、抛物线年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷直线与抛物线的位置关系T8双曲线的几何性质T111.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择、填空题的形式考查，常出现在第411 题或1516题的位置，着重考查圆锥曲线的标准方程与几何性质，难度中等2圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20题的位置，一般难度较大.卷双曲线的几何性质T5椭圆的几何性质T12卷双曲线的几何性质T11直线与抛物线的位置关系T162017卷直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用T10双曲线的几何性质T15卷双曲线的几何性质T9卷双曲线的渐近线及标准方程T52016卷双曲线的几何性质与标准方程T5抛物线与圆的综合问题T10卷双曲线的定义、离心率问题T11卷直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率T11圆锥曲线的定义与标准方程(综合型)圆锥曲线的定义、标准方程名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2ab0)1(a0，b0)y22px(p0)典型例题 (1)椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是()A.B.C.D.(2)设F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0Bxy0Cx2y0D2xy0【解析】(1)如图，设椭圆的右焦点为F，连接MF，NF.因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|，所以当直线xm过椭圆的右焦点时，FMN的周长最大此时|MN|，又c1，所以此时FMN的面积S2.故选C.(2)不妨设P为双曲线C右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|PF2|2a.又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a，又|F1F2|2c，则|PF2|2a最小，所以PF1F230.在PF1F2中，由余弦定理，可得cos 30，整理得c23a22ac，解得ca，所以b a.所以双曲线C的渐近线方程为yx.故选A.【答案】(1)C(2)A(1)椭圆的焦点三角形的几个性质已知椭圆方程为1(ab0)，左、右焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2中F1PF2，则SF1PF2b2tan .已知椭圆方程为1(ab0)，左、右焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2，若F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于长轴的弦)最短，通径长为.(2)双曲线的焦点三角形的几个性质若双曲线方程为1(a0，b0)，F1，F2分别为它的左、右焦点，P为双曲线上任意一点(除实轴顶点外)，则双曲线的焦点三角形有如下性质：设F1PF2，则SF1PF2.特别地，当F1PF290时，有SF1PF2b2.双曲线的焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点当点P在双曲线左支上时，切点为左顶点，当点P在双曲线右支上时，切点为右顶点 对点训练1(2018辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若AFO的面积为1，则双曲线C的方程为()A.1B.y21C.1Dx21解析：选D.因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|b，|OA|a，所以ab2，又双曲线C的离心率为，所以 ，即b24a2，解得a21，b24，所以双曲线C的方程为x21，故选D.2(2018福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l.过F的直线交C于A，B两点，交l于点E，直线AO交l于点D.若|BE|2|BF|，且|AF|3，则|BD|()A1B3C3或9D1或9解析：选D.分别过点A，B作AA1，BB1垂直于l，且垂足分别为A1，B1，依题意，易证BDx轴，所以D与B1重合由已知条件|BE|2|BF|得，|BE|2|BB1|，所以BEB130.又|AA1|AF|3，如图1，所以，解得|BD|1，如图2，所以，解得|BD|9.综上，|BD|为1或9，故选D.圆锥曲线的几何性质(综合型) 椭圆、双曲线中，a，b，c及e之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e .(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e . 双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系 典型例题 (1)(2018石家庄质量检测(二)倾斜角为的直线经过椭圆1(ab0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且2，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.(2)(2018高考全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A.B3C2D4【解析】(1)由题可知，直线的方程为yxc，与椭圆方程联立得，所以(b2a2)y22b2cyb40，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，又2，所以(cx1，y1)2(x2c，y2)，所以y12y2，可得，所以，所以e，故选B.(2)因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以MON60.不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3，故选B.【答案】(1)B(2)B(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值(2)双曲线的渐近线的求法及用法求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得用法：(i)可得或的值(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程 对点训练1(2018福州四校联考)过双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为()AyxByxCyxDy2x解析：选A.由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以，解得ab，所以该双曲线的渐近线的斜率为1，所以该双曲线的渐近线方程为yx，故选A.2(2018广州综合测试(一)如图，在梯形ABCD中，已知|AB|2|CD|，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为()A.B2C3D.解析：选A.取AB的中点O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立直角坐标系(图略)，设双曲线的方程为1(a0，b0)，|AB|2|CD|2c，E(xE，yE)，则A(c，0)，B(c，0)，C，D，由1，得yC ，故C.因为(xEc，yE)，所以又E在双曲线上，故1，化简整理得4c2b23a225a2，即c27a2，故.选A.3(2018高考全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|2c，因为PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，所以|PF2|F1F2|2c，所以|OF2|c，所以点P坐标为(c2ccos 60，2csin 60)，即点P(2c，c)因为点P在过点A，且斜率为的直线上，所以，解得，所以e，故选D.直线与圆锥曲线的位置关系(综合型)求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解 典型例题命题角度一位置关系的判断及应用 已知抛物线C1：y22px(p0)的焦点为椭圆C2：1(ab0)的右焦点，且两曲线有公共点.(1)求抛物线C1与椭圆C2的方程；(2)若椭圆C2的一条切线l与抛物线C1交于A，B两点，O为坐标原点，且OAOB，求直线l的方程【解】(1)将代入抛物线方程，得2p，解得2p4，则抛物线C1的方程为y24x，则焦点为F(1，0)，即c1，所以a2b21.将代入1，得1，解得b23(增根舍去)，则a24，所以椭圆C2的方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，不符合题意，所以直线l的斜率存在设直线AB的方程为ykxb，显然k0，b0，A(x1，y1)，B(x2，y2)由整理得k2x2(2kb4)xb20，所以x1x2，x1x2，所以y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2， 由OAOB，得0，即x1x2y1y20，即0，整理得b4k0.由整理得(34k2)x28kbx4b2120，(8kb)24(34k2)(4b212)0，即b234k2.由解得k，则或所以直线l的方程为x2y40或x2y40.直线与圆锥曲线相切，如果直线不与抛物线的对称轴平行、不与双曲线的渐近线平行，那么当直线与圆锥曲线只有一个公共点时，只要把直线方程、圆锥曲线方程联立消元得到关于一个变量的一元二次方程，使其判别式等于零即可 命题角度二弦长问题 (2018唐山模拟)在直角坐标系xOy中，长为1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动，.记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0，1)作直线与曲线E相交于A，B两点，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积【解】(1)设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)由，得(xm，y)(x，ny)所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲线E的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知点M坐标为(x1x2，y1y2)由题意知，直线AB的斜率存在设直线AB的方程为ykx1，代入曲线E的方程，得(k22)x22kx10，则x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由点M在曲线E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.这时|AB|x1x2|，原点到直线AB的距离d，所以平行四边形OAMB的面积S|AB|d.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解(2)弦长计算公式：直线AB与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|，其中k为弦AB所在直线的斜率 命题角度三定比、分点问题 (1)(2018南宁模拟)已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4，1)，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.(2)(2018长春质量检测(一)已知椭圆C的两个焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，且经过点E.求椭圆C的方程；过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若，且23，求直线l的斜率k的取值范围【解】(1)选C.设直线xy50与椭圆1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(4，1)，所以x1x28，y1y22.易知直线AB的斜率k1.由两式相减得，0，所以，所以，于是椭圆的离心率e，故选C.(2)由解得所以椭圆C的方程为1.由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)，联立方程，得整理得y2y90，1440，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又，所以y1y2，所以y1y2(y1y2)2，则，2，因为23，所以2，即，且k0，解得0k.故直线l的斜率k的取值范围是.(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交(2)圆锥曲线以P(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k(椭圆1)，k(双曲线1)，k(抛物线y22px)，其中k(x1x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦端点的坐标 对点训练1已知F是抛物线x24y的焦点，直线ykx1与该抛物线交于第一象限内的点A，B，若|AF|3|FB|，则k的值是()A.B.C.D.解析：选D.显然k0.抛物线的准线l：y1，设其与y轴交于点F，则直线ykx1过点F.分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为A，B，根据抛物线定义，得|AF|AA|，|BF|BB|，根据已知，得3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则3，即x13x2.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得x24kx40，则x1x24k，由得x13k，x2k，又x1x24，所以3kk4，即k2，解得k(负值舍去)2(2018惠州第二次调研)已知C为圆(x1)2y28的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1，0)和AP上的点M，满足0，2.(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与圆x2y21相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且时，求k的取值范围解：(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，所以|CP|QC|QP|QC|QA|2|CA|2，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以a，c1，b1，故点Q的轨迹方程是y21.(2)设直线l：ykxt，F(x1，y1)，H(x2，y2)，直线l与圆x2y21相切1t2k21.联立得(12k2)x24ktx2t220，16k2t24(12k2)(2t22)8(2k2t21)8k20k0，x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2kt(x1x2)t2ktt2k21，所以k2|k|，所以k或k.故k的取值范围是.一、选择题1已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1，3)B(1，)C(0，3)D(0，)解析：选A.由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n3.2(2018潍坊模拟)已知双曲线1(a0，b0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()A1B.C2D2解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bxay0的距离为b，即c2a23，又e2，所以a1，该双曲线的实轴的长为2a2.3(2018石家庄质量检测(一)双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是()A.B2C2D.1解析：选B.由题意可知A是F1B的中点，O是F1F2的中点(O为坐标原点)，连接BF2，则OA是F1BF2的中位线，故OABF2，故F1F2BF2，又BF1F260，|F1F2|2c，所以|BF1|4c，|BF2|2c，所以2a4c2c，所以e2，故选B.4(2018武汉模拟)抛物线y22px(p0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|8，则抛物线的方程为()Ay23xBy24xCy26xDy28x解析：选C.因为抛物线y22px(p0)的焦点为F，所以过点F且倾斜角为的直线方程为y(x)，联立直线与抛物线的方程，得3x25pxp20，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则所以|AB|xAxB|p8p3，所以抛物线的方程为y26x，故选C.5(2018高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5B6C7D8解析：选D.法一：过点(2，0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以(0，2)，(3，4)，所以8.故选D.法二：过点(2，0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1x25，x1x24.易知F(1，0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.故选D.6(2018贵阳模拟)过双曲线1(a0，b0)的右焦点F作圆x2y2a2的切线FM，切点为M，交y轴于点P，若，且双曲线的离心率e，则()A1B2C3D4解析：选B.如图，|OF|c，|OM|a，OMPF，所以|MF|b，根据射影定理得|PF|，所以|PM|b，所以.因为e21，所以.所以2.故选B.二、填空题7(2018合肥第一次质量检测)抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂线PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为_解析：设P(x，y)，其中x0，y0，由抛物线的定义知|PF|PQ|x1.根据题意知|AF|2，|QA|y，则或(舍去)所以点P的坐标为(4，4)答案：(4，4)8(2018贵阳模拟)椭圆C：1(ab0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cosPAQ，则椭圆C的离心率e为_解析：根据题意可取P，Q，所以tanPAF1e，cosPAQcos 2PAFcos2PAFsin2PAF，故55(1e)233(1e)28(1e)22(1e)2.又椭圆的离心率e的取值范围为(0，1)，所以1e，e.答案：9已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为2，4，则的最小值的取值范围是_解析：设P(m，n)，则1，即m2a2.又F1(1，0)，F2(1，0)，则(1m，n)，(1m，n)，n2m21n2a21n2a21a21，当且仅当n0时取等号，所以的最小值为a21.由24，得a，故a21，即的最小值的取值范围是.答案：三、解答题10(2018南昌调研)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求原点O到直线l的距离的取值范围解：(1)由题知e，2b2，又a2b2c2，所以b1，a2，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k21)x28kmx4m240，依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得m24k21，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOMkON，则，即4y1y25x1x2，所以4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，所以(4k25)4km()4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得m2k2，由得0m2，k2，因为原点O到直线l的距离d