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用洛必达定理来解决高考压轴题 一洛必达法则法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) 及; (2)在点a的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g(x)0; (3),那么 =。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) 及; (2),f(x) 和g(x)在与上可导,且g(x)0; (3),那么 =。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) 及; (2)在点a的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g(x)0; (3),那么 =。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: 将上面公式中的xa,x换成x+,x-,洛必达法则也成立。洛必达法则可处理,型。在着手求极限以前,首先要检查是否满足,型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。 若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。二高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数。(1) 若,求的单调区间;(2) 若当时,求的取值范围原解:(1)时,.当时,;当时,.故在单调减少,在单调增加(II)由(I)知,当且仅当时等号成立.故,从而当,即时,而,于是当时,.由可得.从而当时,故当时,而,于是当时,.综合得的取值范围为原解在处理第(II)时较难想到,现利用洛必达法则处理如下:另解:(II)当时,对任意实数a,均在;当时,等价于令(x0),则,令,则,知在上为增函数,;知在上为增函数,;,g(x)在上为增函数。由洛必达法则知,故综上,知a的取值范围为。2(2011年全国新课标理)已知函数,曲线在点处的切线方程为。()求、的值;()如果当,且时,求的取值范围。原解:()由于直线的斜率为,且过点,故即解得,。()由()知,所以。考虑函数,则。(i)设,由知,当时,h(x)递减。而故当时, ,可得;当x(1,+)时,h(x)0从而当x0,且x1时,f(x)-(+)0,即f(x)+.(ii)设0k0,故 (x)0,而h(1)=0,故当x(1,)时,h(x)0,可得h(x)0,而h(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)0,可得 h(x)0,与题设矛盾。 综合得,k的取值范围为(-,0原解在处理第(II)时非常难想到,现利用洛必达法则处理如下:另解:(II)由题设可得,当时,k=0在上为增函数=0当时,当x(1,+)时,当时,当x(1,+)时,在上为减函数,在上为增函数由洛必达法则知,即k的取值范围为(-,0规律总结:对恒成立问题中的求参数取值范围,参数与变量分离较
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