函数的概念、三要素、性质.doc

高三数学第一轮复习2函数18、函数的概念（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有 和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的 ，记为f：。如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a所对应B中的元素b叫做a的 ，a叫做b的 。例1已知A=，B=，是从集合A到集合B的映射, 若，求A中的元素(2,2)的象；B中元素的原象.例2设集合，下列四个图象中，表示从到的映射的是( ) （2）函数定义：设A、B是两个 ，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的 x，在集合B中都有 数和它对应，那么就称f：为从集合A到集合B的一个函数，记为，注意：（1）函数一定是映射（特殊的映射），映射不一定是函数； （2）A、B是两个非空数集； （3）三要素：对应法则、定义域和值域（判断是否为同一函数的依据）；例3下列各组函数中表示同一函数的是：（1） （2）（3）19、函数的表示法： _ 、 、 。分段函数：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集。分段函数问题的一般方法：分类讨论（注意各段定义域）例4设函数，若，求实数的取值范围。函数的概念练习：1、设集合A和集合B都是自然数集合N，映射f：把集合A中的元素x映射到集合B中的元素，则在映射f 的作用下，2的象是 ；20的原象是 。 2、设函数，则 ；若，则a的所有可能值是 。3、判断下列各组函数中是否表示同一函数，并说明理由（1） （2）（3） （4）4.设函数定义在整数集上，且，求5函数对任意实数x满足条件，若，求6若函数，则不等式的解集为 。函数的三要素20、函数的定义域分式的分母 ；即中， 。偶次方根的被开方数为 ；即中， 。对数的真数必须 ，即中， 。对数的底数必须 且 ；即中， 。正切函数中的角不等于 ，即中， 。中， 。如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各基本函数定义域的 ；如果函数是由实际问题得出的函数，其定义域不仅受解析式本身的限制，而且还受实际问题的约束。例（1） 函数的定义域是 。（2）函数的定义域为 。（3）设函数的定义域是-2,4,求的定义域.函数的定义域练习： 1、函数的定义域是A、； B、；C、； D、。 2、函数的定义域是A、； B、；C、； D、。 3、函数的定义域是A、； B、；C、； D、。4、设函数的定义域是则函数的定义域 5、求函数的定义域：（1） （2）（3） （4）21、求函数解析式的几种常用方法：例2、已知，试求若,求f (x)已知f (x)是二次函数, 且f (0)=0, f (x+1)=f (x)+x+1, 求f (x)的解析式。 已知，求f (x)的解析式。函数的值域：例3、求下列函数的值域：；。函数的解析式与值域练习： 1、定义运算，若，则的值为A、； B、0；C、1； D、2。 2、设，则A、1； B、；C、； D、。 3、函数的定义域是，则该函数的值域为A、；B、；C、；D、。 4、函数的最小值为A、；B、3；C、4；D、。 5、已知，则等于A、；B、；C、8；D、18。6、若 求f(x) 的解析式 已知，求的解析式7、已知二次函数的对称轴为，且图象在y轴上的截距为，被x轴截得的线段长为4，求的解析式函数的性质（1）奇偶性22、函数的奇偶性：（1）定义：如果对于函数的定义域内任意一个x，都有_，那么叫做奇函数；如果对于函数的定义域内任意一个x，都有_，那么叫做偶函数。（2）判断函数奇偶性的方法：定义法：判断定义域_；判断_或_是否成立。图像法：奇函数图象关于_对称，偶函数图象关于_对称。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。例1判断下列函数的奇偶性（1） （2） （4） （5）小结：（1）定义域对称是一个函数具有奇偶性的 条件。（2）若是奇函数，且在时有定义，则必有 。（3）存在既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为 。抽象函数的奇偶性例2、设函数在上有定义，判断下列函数的奇偶性：（1） （2） （3） （4）例3、设函数在上有定义，的值不恒为灵，对于任意的，恒有，则函数的奇偶性为 。能力提高：（1）； （2）函数的奇偶性练习（1） 1、函数的图象关于： A、y轴对称； B、坐标原点对称；C、直线对称； D、直线对称。 2、函数的图象关于 A、y轴对称； B、x轴对称；C、直线对称； D、原点对称。 3、已知奇函数的定义域为，则a的值为 A、1； B、2；C、3； D、4。 4、若函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是 A、； B、；C、； D、。5、，中， 是偶函数。6、已知函数为奇函数，若，则 。7、如果函数是奇函数，则 。8、已知函数，若，则（ ）A、；B、；C、2；D、。（3）奇偶性的运算性质：奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数偶函数偶函数如果函数为奇函数，且存在，则 。如果函数是偶函数，则，反之亦成立。例4、已知函数是奇函数，则 例5、函数，若，则的值为 。函数，若，则的值为 。例6、（1）已知是奇函数，当时，,求的解析式.（2）已知是偶函数，当时，,求的解析式.（3）已知是偶函数，是奇函数，且，求函数的奇偶性练习（2）1、若函数为偶函数，则 。2、已知函数为奇函数，则 。3、设函数是定义在R上的奇函数，若当时，求时，的解析式；并求满足的x的取值范围。4、已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是_ 5、如果奇函数，当时，那么使的x的取值范围是A、；B、；C、或；D、且 6、已知是偶函数，则函数的图象的对称轴是A、；B、；C、；D、。 7、已知函数在上是增函数，是偶函数，则下列结论正确的是A、；B、；C、；D、。函数的性质（2）单调性23、函数的单调性：（1）定义：一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数。如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数。图象：函数的单调性反映了函数的函数值y随着自变量x增大而相应增大或减小的性质，反映在函数图象上，即图象的_ _趋势。注意：讨论函数的单调必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调必须先确定_。（2）函数单调性的判断及证明方法：定义法 图象法 导数法定义法：在该区间上任意取、，且_；再判断_与_的大小；（判断大小的常用方法有比差法、比商法等）根据定义，得出结论。图象法导数法：若 _0, 则函数在区间M上是_函数； 若 _0, 则函数在区间M上是_函数。单调性的运算性质：增+增为 ；减+减为 ；增减为 ；减增为 例1、已知二次函数满足，求b的值，并比较的大小例2、证明：函数在区间上为增函数。例3、已知函数是定义在R上的单调增函数（1） 比较的大小；（2） 若，求实数的取值范围。例4、若与在区间上都是减函数，求a的取值范围提高：求函数f(x)= 的单调区间。（3）复合函数的单调性：设，函数的单调性：（4）奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性 ；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性 。例5、已知是上的减函数，求a的取值范围例6、求函数的单调递减区间. 函数奇偶性、单调性的应用例7、若定义在R上的偶函数y=f(x)在0，+)上是减函数，比较f ()和f (a2a+1)大小例8、已知是定义在上的奇函数，且在上为增函数，若，求的取值范围。若是定义在上的偶函数，在上为增函数，且，求的取值范围。例9、若奇函数f(x)在3，7上是增函数，且最小值为5，则在7，3上是 _ 函数（填增或减），函数的最_值为_。函数的单调性练习： 1若函数，则函数在其定义域上是A单调递减的偶函数B单调递减的奇函数C单调递增的偶函数D单调递增的奇函数 2下列函数中，满足“对任意,（0，），当”的是A= B. = C .= D 3奇函数f (x)在上单调递增，若f (1)=0，则不等式f (x)0的解集是A. B. C. D. 4若函数=+(aR)，则下列结论正确的是AaR,在上是增函数wBaR,在上是减函数C是偶函数w.w. D是奇函数 5设函数，则不等式的解集是 A. B. C. D. 6已知偶函数在单调增，则满足的x取值范围是A. ，） B. ，） C.（，） D. （，）函数的性质（3）周期性24、函数的周期性：（1）定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。（2）常见的函数的周期：函数对时，或，周期 函数对时，或，则周期 若函数的周期为T，则的周期为 *函数为偶函数，且图象关于对称，则周期 ；函数为奇函数，且图象关于对称，则周期 。例1、函数是定义在实数集上周期为4的奇函数，且，求函数是周期为2的函数，且，求的值；并求在区间上的解析式例2、设函数是定义在R上的以3为周期的奇函数，若，则a的取值范围是A、；B、且；C、或；D、例3、已知函数的定义域为R，且满足（1）求证：是周期函数（2）若为奇函数，且当时，求使方程在上的所有解的个数。函数的周期性练习： 1、定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数。若的最小正周期是，且当时，则的值为A、；B、；C、；D、。 2、设是定义在R上以6为周期的函数，在内单调递减，且的图象关于直线对称，则下面正确的结论是A、