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课时跟踪检测(二十) “专题五”补短增分(综合练)A组易错清零练1(2018浙江嘉兴校级期中)已知直线l1:ax(a2)y10,l2:xay20,其中aR,则“a3”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:选A若l1l2,则aa(a2)0,即a(a3)0,解得a0或a3,所以“a3”是“l1l2”的充分不必要条件故选A.2已知双曲线:1(a0,b0),过双曲线的右焦点F,且倾斜角为的直线l与双曲线交于A,B两点,O是坐标原点,若AOBOAB,则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析:选C由题意可知AB是通径,根据双曲线的对称性和AOBOAB,可知AOB为等边三角形,所以tanAOF,整理得b2ac,由c2a2b2,得c2a2ac,两边同时除以a2,得e2e10,解得e.故选C.3(2019届高三西安八校联考)过点P(2,1)作直线l,使l与双曲线y21有且仅有一个公共点,这样的直线l共有()A1条 B2条C3条 D4条解析:选B依题意,双曲线的渐近线方程是yx,点P在直线yx上当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x2,此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0),满足题意当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y1k(x2),即ykx12k,由消去y得x24(kx12k)24,即(14k2)x28(12k)kx4(12k)240,(*)若14k20,则k,当k时,方程(*)无实数解,因此k不满足题意;当k时,方程(*)有唯一实数解,因此k满足题意若14k20,即k,此时64k2(12k)216(14k2)(12k)210不成立,因此满足题意的实数k不存在综上所述,满足题意的直线l共有2条4已知椭圆1的离心率等于,则m_.解析:当椭圆的焦点在x轴上时,则a24,即a2.又e,所以c,mb2a2c24()21.当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的方程为1.则b24,即b2.又e,故 ,解得,即a2b,所以a4.故ma216.综上,m1或16.答案:1或165已知圆C1:(x3)2y21和圆C2:(x3)2y29,动圆M同时与圆C1及圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_解析:如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B两点连接MC1,MC2.根据两圆外切的条件,得|MC1|AC1|MA|,|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|,所以|MC1|AC1|MC2|BC2|,即|MC2|MC1|BC2|AC1|312.所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离比与C1的距离大),可设轨迹方程为1(a0,b0,x0),其中a1,c3,则b28.故点M的轨迹方程为x21(x0)答案:x21(x0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A,B两点若|AF|BF|4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为_解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可知|AF|y1,|BF|y2,|OF|,由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p,得y1y2p.kAB.由得kAB,则,故,双曲线的渐近线方程为yx.答案:yxC组创新应用练1在平面直角坐标系xOy中,设直线yx2与圆x2y2r2(r0)交于A,B两点,O为坐标原点,若圆上一点C满足,则r()A2 B.C2 D.解析:选B已知,两边平方化简得r2,所以cosAOB,所以cos,又圆心O(0,0)到直线的距离为,所以,解得r.2(2018贵阳模拟)双曲线1(a0,b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(2,1)在“右”区域内,则双曲线离心率e的取值范围是()A. B.C. D.解析:选B依题意,注意到题中的双曲线1的渐近线方程为yx,且“右”区域是由不等式组所确定,又点(2,1)在“右”区域内,于是有1,即,因此题中的双曲线的离心率e.3(2018武汉调研)已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,且与反向,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析:选C设实轴长为2a,虚轴长为2b,令AOF,则由题意知tan ,在AOB中,AOB1802,tanAOBtan 2.|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,设|OA|md,|AB|m,|OB|md.OABF,(md)2m2(md)2,整理得dm,tan 2,解得2或(舍去),b2a,ca,e.4已知F1,F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点,P为椭圆上的一点F1PF2中,F1PF2的外角平分线为l,点F2关于l的对称点为Q,F2Q交l于点R.当点P在椭圆上运动时,求点R的轨迹方程解:如图,直线l为F1PF2的外角平分线且点F2与点Q关于直线l对称,由椭圆的光学性质知,F1,P,Q三点共线根据对称性,|PQ|PF2|,所以|F1Q|PF1|PF2|2a.连接OR,因为O为F1F2的中点,R为F2Q的中点,所以|OR|F1Q|a.设R(x,y),则x2y2a2(y0),故点R的轨迹方程为x2y2a2(y0)5(2019届高三西安八校联考)已知椭圆C:1(ab0)经过(1,1)与两点(1)求椭圆C的方程;(2)过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,椭圆C上一点M满足|MA|MB|.求证:为定值解:(1)将(1,1)与两点代入椭圆C的方程,得解得椭圆C的方程为1.(2)证明:由|MA|MB|,知M在线段AB的垂直平分线上,由椭圆的对称性知A,B关于原点对称若点A,B是椭圆的短轴顶点,则点M是椭圆的一个长轴顶点,此时22.同理,若点A,B是
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