[理学]普通高校“专转本”数学模拟试题及参考答案.doc

普通高校“专转本”数学模拟试卷（一）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1.若函数在处连续，则等于( )A. B. C. D.2.下列函数中，在处不可导的是( )A. B. C. D.3.使函数满足罗尔定理的区间是( )A. B. C. D. 4.设，则向量与的夹角是( )A. B. C. D. 5.与平面平行的直线是( )A. B. C. D. 6.下列命题正确的是( )A. B.C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7. .8.设函数，则 .9.若，则 .10.设，则 .11. ，其中是由围成的区域.12.微分方程的通解是 .三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13.已知，求的值.14.设函数由方程所确定，求.15.求函数的最大值与最小值.16.求.17.设函数，求（1），（2）.18.已知函数，其中具有二阶连续的偏导数，求，.19.，由，围成的区域.20.将函数展开为的幂级数，并指出收敛区间.四、证明题（本大题共1小题，满分8分）21.证明：当时，.五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22.设函数，其中为连续函数，求.23.已知，且，求.24.某曲线在点处的切线斜率满足，且曲线过点，（1）求该曲线方程；（2）求由，曲线及轴围成的区域面积；（3）求上述图形绕轴旋转所得的旋转体体积.普通高校“专转本”数学模拟试卷（二）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1.函数的第一类间断点为( )A. B. C. D.2.已知，则等于( )A. B. C. D.3.设是的一个原函数，则( )A. B. C. D.4.设，则等于( )A. B. C. D. 5.，则等于( )A. B. C. D. 6.下列说法正确的是( )A.若级数收敛，则级数收敛 B.若级数收敛，则级数收敛C.若级数发散，则D.若，则级数收敛二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7.设函数，且，则 .8.的水平渐近线为 ，垂直渐近线为 .9.设，则 .10.设为单位向量，且则 .11.设，可微，则 .12.改变积分次序 .三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13.求.14.设函数，求.15.求.16.设函数由方程确定，求.17.求微分方程的通解.18.设，其中二阶可微，求.19.求，其中是由，在第一象限内围成的封闭区域.20.求幂级数的收敛半径和收敛区间.四、证明题（本大题共1小题，满分8分）21.设函数在上具有二阶连续的导数，且，证明：.五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22.从点作抛物线的切线，（1）求由切线、抛物线所围成区域的面积；（2）求上述图形绕轴旋转所得的旋转体体积.23.把一根长为的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问两段铅丝各取多长时，圆形面积与正方形面积之和最小？ 24.设函数可导，且满足方程，求.普通高校“专转本”数学模拟试卷（三）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1.设存在，且，则等于( )A. B. C. D.2.设（为正整数），则等于( )A. B. C. D.3.若级数收敛，则( )A.与均收敛 B.与中至少有一个收敛 C.与不一定收敛 D.收敛4.如果收敛，则要满足( )A. B. C. D. 5.设有一单位向量，它同时与及垂直，则为( )A. B. C. D. 6.微分方程的特解形式为( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7.当时，与是等价无穷小，则 .8.设，则 .9.设，则 .10.通过轴及点的平面方程为 .11.设函数，则 .12.交换积分次序 .三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13.求.14.设，求.15.，求，.16.求.17.求.18.设，二阶可微，求.19.，是由，围成的区域.20.将在点展开成幂级数.四、证明题（本大题共1小题，满分8分）21.设在上连续，且，证明：方程有且仅有一个实根.五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22.设曲线在点处的切线与轴交于点，求.23.求由曲线与直线，所围成的图形的面积，及该图形绕轴旋转的旋转体的体积.24.已知函数满足，求.普通高校“专转本”数学模拟试卷（四）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1.设函数为连续函数，则等于( )A. B. C. D.2.在上的最小值为( )A. B. C. D.3.设函数，则等于( )A. B. C. D.4.已知的一个解为，的一个解为，则方程的通解为( )A. B. C. D.5.下列平面中，过轴的为( )A. B. C. D. 6.下列级数中条件收敛的级数为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7.函数的定义域为 .8.曲线在处的切线方程为 .9.函数的单调递减区间为 .10.已知，则 .11. .12.设，则 .三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13.求.14.设，求.15.求.16.求.17.求过点，且通过直线的平面方程.18.将函数展开成的幂级数，并指出收敛区间.19.设由确定，求.20.求，其中：.四、证明题（本大题共1小题，满分8分）21.设函数具有连续偏导数，证明：由方程确定的函数满足.五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22.求曲线的表达式，使其满足：（1）；（2）在点与直线相切.23.求由曲线与它在点处的法线及轴围成的平面图形的面积，并求该图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积.24.由直线，及抛物线围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使曲线在该点处的切线与直线，围成的三角形面积最大.普通高校“专转本”数学模拟试卷（五）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1.（为常数）等于( )A. B. C. D.2.当时，是的( )A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小 D.等价无穷小3.设函数，则方程的实根个数为( )A. B. C. D.4.为已知函数，则等于( )A. B. C. D.无法确定 5.方程，的解为( )A. B. C. D. 6.的收敛区间是，则的收敛区间为( )A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7.设曲线与直线相切，则 .8.设，且，则 .9.设，则 .10.，则 .11.设平面：，直线：，它们的位置关系是 .12.设是由直线，及所围成的区域，则 .三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13.求.14.，求，.15.（），求.16.求.17.求.18.将展开为的幂级数，并指明其收敛区间.19.设由确定，求，.20.计算，其中是由曲线，直线，所围成.四、证明题（本大题共1小题，满分8分）21.当时，证明：.五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22.在曲线（）上的某点处作切线，使之与曲线及轴所围成的图形面积为，试求该图形绕轴旋转所形成的旋转体体积.23.已知函数连续，且，设，求.24.设在上连续，在内大于，且，若曲线与，所围成的图形的面积为，求.普通高校“专转本”数学模拟试卷（六）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1.设函数，则等于( )A. B. C. D.2.设时，则等于( )A. B.不存在 C. D.3.设，则等于( )A. B. C. D.4.设点是曲线的拐点，则的值分别为( )A. B. C. D. 5.设是由及围成的区域，则等于( )A. B. C. D. 6.与直线平行的平面方程为( )A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7.当时，与为等价无穷小，则 .8.若直线是曲线的一条切线，则 .9.若的一个原函数为，则 .10.设积分区域：，则 .11.是 级数（填收敛或发散）.12.设为单位向量，且，则 .三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13.求.14.已知，且，求.15.方程确定，求，.16.求.17.求.18.求过且与直线垂直的平面方程.19.求微分方程的通解.20.将展开成的幂级数，并指出其收敛区间.四、证明题（本大题共1小题，满分8分）21.证明：当时，成立.五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22.讨论函数的性态（定义域，单调性，极值，凹凸性，拐点，渐近线）.23.一平面图形由曲线，直线及轴围成，（1）求该图形的面积；（2）求该图形绕轴旋转所形成的旋转体体积.24.设函数具有二阶连续的偏导数，而满足方程：，求.普通高校“专转本”数学模拟试卷（七）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1.函数在处( )A.可导 B.极大值为 C.间断 D.极限不存在2.设在上连续，在内可导，且，则( )A. B. C. D.3.设函数，则等于( )A. B. C. D. 4.下列广义积分收敛的是( )A. B. C. D.5.下列曲面为旋转曲面的是( )A. B. C. D. 6.已知函数在点处的增量，其中比（当）为高阶无穷小，且，则等于( )A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7.设函数的定义域为，则的定义域为 .8.设为正整数，存在且不为，则 .9.设，且存在，则 .10. 时，是的解.11.直线：与平面：的位置关系是 .12.设，若，则该级数的收敛半径 .三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13.设，求，.14.确定的值，使曲线有一拐点，且在处有极值.15.设由确定，满足，求的值.16.求.17.求.18.将展开为的幂级数，并指出收敛区间.19.设，其中具有二阶连续的偏导数，求，.20.求.四、证明题（本大题共1小题，满分8分）21.设连续函数，且，证明：（1）；（2）在内有且仅有一个实根.五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22.设，求（1）；（2）在处是否连续？是否可导？23.设，（如图）（1）取何值时，图中阴影部分面积之和最小？（2）取何值时，图中阴影部分面积之和最大？24.已知某厂生产件产品的成本（元），问：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？（2）若产品每件元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？普通高校“专转本”数学模拟试卷（八）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1.设，当时( )A.与为同阶无穷小 B.与为等价无穷小 C.比为高阶无穷小 D.比为低阶无穷小2.曲线，则点为( )A.极小值点 B.拐点横坐标 C.极大值点 D.不可导点3.下列积分式中正确的是( )A. B. C. D. 4.设为连续函数，则等于( )A. B. C. D. 5.曲线绕轴旋转所得到的曲面为( )A. B. C. D. 6.下列级数条件收敛的为( )A. B.C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7.设，则 ， .8.设函数，其间断点为 ，属第 类间断点.9.的水平渐近线为 ，垂直渐近线为 .10.已知二阶常系数线性齐次方程的两个解为，则相应的微分方程为 .11.设为非零向量，为非零的常数，若垂直于，则 .12.改变积分次序 .三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13.设函数，已知在处连续，求.14.若函数在处有连续导数，且，求.15.设，求.16.求.17.计算.18.设函数是由方程所确定的，其中为常数，为可微的函数，求.19.求的收敛区间.20.求微分方程的通解.四、证明题（本大题共1小题，满分8分）21.当时，证明：.五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22.过点作曲线的切线，求：（1）切线方程；（2）由曲线、切线及轴所围成图形的面积；（3）该图形绕轴旋转所得的旋转体体积.23.设函数（为自然数），求：（1）在上的最大值；（2）.24.一商家销售某种商品价格，其中为销售量（单位：），商品成本是（百元），（1）若每销售1商品，政府要征税（百元），求商家获得最大利润的销售量；（2）商家获得最大利润前提下，为何值时，政府的税收总额最大？普通高校“专转本”数学模拟试卷（九）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1.设，则的值为( )A. B. C. D.2.设为曲线的驻点，则( )A.为的拐点 B. C.在取得极值 D.3.设，则等于( )A. B. C. D. 4.设，则等于( )A. B. C. D. 5.设有级数（1）与（2），则下列说法正确的是( )A.若（1）发散则（2）必发散 B.若（2）收敛则（1）必收敛 C.（1）（2）有相同的敛散性 D.若（1）发散，则（2）可能发散，也可能收敛 6.直线的方向向量等于( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7. .8.的凸区间为 .9.设，则 .10. .11.微分方程的通解为 .12.设，则 ， .三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13.求.14.设可导，求的导数.15.求.16.求.17.设，有二阶连续的偏导数，求.18.求过点，的平面方程.19.求，其中是由，围成的平面区域.20.将展开为的幂级数.四、证明题（本大题共1小题，满分8分）21.设，证明：.五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22.求由曲线和直线围成图形的面积，并求该图形分别绕、轴旋转所得的旋转体体积.23.设，且，求.24.设有连接点和位于弦上方的曲线，其中为该曲线上的任意一点，已知曲线与弦之间的面积为，求该曲线方程.普通高校“专转本”数学模拟试卷（十）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1.函数的定义域为( )A. B. C. D. 2.下列极限正确的为( )A. B. C. D.3.，则下列正确的为( )A. B. C. D. 4.下列广义积分收敛的为( )A. B. C. D. 5.若平面与平面（为常数）垂直，则满足( )A. B. C. D.为任意常数 6.设收敛，则下列级数不收敛的是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7.设函数，则 .8.若存在，且，则 .9.的单调增加区间为 .10.设，则 .11. .12.设，则 .三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13.求.14.设函数由方程确定，求.15.求.16.求.17.求过点且与平面：及平面：同时平行的直线方程.18.设，其中具有二阶连续的偏导数，求.19.求.20.将展开为的幂级数.四、证明题（本大题共1小题，满分8分）21.证明：当时，.五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22.求由曲线，及直线所围成的平面图形的面积，并求该图形绕轴旋转所得的旋转体体积.23.设连续函数满足，求.24.设，求.普通高校“专转本”数学模拟试卷（一）答案一、选择题1.D，2.B，3.B，4.D，5.D，6.C，二、填空题7.，8.，9.，10.，11.，12.，三、解答题13.，14.两边对求导，得：，即，15.，令得驻点，当，曲线单调递增；当，曲线单调递减则即为的最大值，且，则为的最小值16.17.（1）；（2）令，由得，18.，19.如图，20. ，由，得四、证明题21.令，当时，曲线单调递增，又，当时，即五、综合题22.，取，令特解为，则，代入方程得，原方程对应的齐次方程为，特征方程为，将代入及得：，即，23.，24.（1），解这个微分方程得通解，而曲线过点，即，曲线为；（2）如图，；（3）如图，普通高校“专转本”数学模拟试卷（二）答案一、选择题1. B，2.A，3.D，4.B，5. A，6.B，二、填空题7.，8.，9.，10.，11.，12.，三、解答题13.当时，14.，15.为奇函数，而为偶函数，16.令，17.取，令特解为，则，代入原方程得：，解得，原方程对应的齐次方程为，特征方程为，解得，通解为18.，19.如图，20.，当，即时级数收敛，此时，级数的收敛半径，当时，级数发散，收敛区间为四、证明题21.右边左边五、综合题22.，令切点为，则切线斜率为，切线为，即，而切线过点，即，得，切线为，切点为，如图，（1）由对称性：；（2）由对称性：23.令用于做成正方形的铅丝长为，圆的半径为，圆形面积与正方形面积之和为，则正方形面积；由圆的周长，得圆的面积， （），令得，而，在处取极小值，由实际意义，当做正方形的铅丝长为，做圆的铅丝长为时，面积之和最小24.两边同时对可导得，即，该方程的通解为.当时，由已知得，即，普通高校“专转本”数学模拟试卷（三）答案一、选择题1. A，2.D，3.C，4.C，5. A，6.D，二、填空题7.，8.，9.，10.，11.，12.，三、解答题13. 原式14.两边取对数得：两边对求导得：15.，16.令，则，原式17. 为奇函数，又为偶函数，原式18.令，19.如图，20.，它的收敛区间为，即四、证明题21.令，从而函数在上严格增加，又，存在一个使，又由于函数在上严格增加，所以这样的点有且只有一个，即原命题成立五、综合题22.，切线斜率，切线方程为：，即，当时，23.如图，24. 两边求导得：，令，则，即，两边积分得：，又当时，代入通解得：，普通高校“专转本”数学模拟试卷（四）答案一、选择题1. D，2.A，3.B，4.B，5. C，6.C，二、填空题7.，8.，9.，10.，11.，12.，三、解答题13.原式 14. ，又 ， ，函数在点处不可导15.原式 16.17.在直线上取一点，则，直线方程可以表示为：，它的方向向量为，则平面的法向量为，从而得所求的平面方程为：，即18.令， ，当时，级数发散；当时，级数收敛收敛区间为19.令，20.四、证明题21.，故原命题成立五、综合题22.方程的特征方程为，特征根为，方程的通解为：，而，由题意得：，即，解之得，23.容易求出，切线斜率为，法线斜率为，从而得法线方程为，即，如图，24.如图，设切点为，由得切线的斜率为，从而切线方程为，即，也就是求由所围成的三角形的面积，令得，令，得，又，当时，取极大值，由实际意义，当时，三角形的面积最大，最大值为普通高校“专转本”数学模拟试卷（五）答案一、选择题1. C，2.C，3.C，4.B，5. B，6.D，二、填空题7.，8.，9.，10.，11.相交但不垂直，12.，三、解答题13.，当时，原式14.，15. 16.原式 17.为奇函数，而为偶函数，令，则，当从时，从，原式18.，19.令，20.如图，四、证明题21.，当时，而，在时单调递增，当时，即五、综合题22.如图，设切点为，切线斜率为，切线方程为，即，令，得，直线为，23.令，则，当从时，从，且，当时，有，当时，24.，即，解得其通解为：，如图， ，即，普通高校“专转本”数学模拟试卷（六）答案一、选择题1. C，2.A，3.D，4.B，5. D，6.D，二、填空题7.，8.，9.，10.，11.发散，12.，三、解答题13.，当时， 原式 14.15.两边对求导，得：，16.17.令，则，当从时，从， 原式18.直线方程可写为：，其方向向量为，即为所求平面的法向量，平面方程为，即19.，令，则，方程变形为：，两边同时积分得：，即，20.，当时， 收敛，当时，收敛，收敛区间为四、证明题21.令，曲线在定义域范围内单调递增，而，当时，即，同理：，当时，即，即当时，五、综合题22. 定义域：，令 得驻点，令 得驻点，讨论如下表：13+ + + + + +递 增凸拐点为递 增凹递 减凹极小值点，极小值为递 增凹，垂直渐近线为23. 如图，由，得交点，（），（）24.， ，求得：，普通高校“专转本”数学模拟试卷（七）答案一、选择题1. B，2.C，3.A，4.D，5. C，6.D，二、填空题7.，8.，9.，10.，11.，12.，三、解答题13.， ，14.由题意得：解得：15.，由题意得： 16.原式17.原式18.， ， ，19.，20.如图，先交换积分次序：，四、证明题21.（1），1，即； （2）存在性：在闭区间上有，由定积分性质可知，即，在开区间上至少存在一个实根，使；唯一性：又 单调递增，综上所述，在开区间上有且仅有一个实根，使五、综合题22.（1），；（2）连续性：，又，在处连续可导性：，在处不可导23.面积，如图，令，解得驻点：，由实际意义：当时有最大值，当时有最小值24.（1），令，得，时取极小值，由问题得实际意义，当生产1000件产品时，平均