高考数学_基本不等式讲义.doc

第6章 第3课时(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!)一选择题1.已知f(x)=x+-2(x0),则f(x)有( )A.最大值为0 B.最小值为0C.最大值为-4 D.最小值为-4解析: x0,x+-2=-2-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时等号成立.答案: C2.若x+2y=4,则2x+4y的最小值是( )A.4 B.8C.2 D.4解析: 2x+4y2=2=2=8,当且仅当2x=22y,即x=2y=2时取等号,2x+4y的最小值为8.答案: B3.已知x1,y1,且ln x,ln y成等比数列,则xy( )A.有最大值e B.有最大值C.有最小值e D.有最小值解析: x1,y1,且ln x,ln y成等比数列,ln xln y=2,ln x+ln y1xye.答案: C4.函数y=(x1)的最小值是( )A.2+2 B.2-2C.2 D.2解析: x1,x-10,y=x-1+22+2=2+2,当且仅当x-1=,即x=1+时,取等号.答案: A5.(2011北京东城联考)要设计一个矩形,现只知道它的对角线长度为10,则在所有满足条件的设计中,面积最大的一个矩形的面积为( )A.50 B.25C.50 D.100解析: 设矩形的长和宽分别为xy,则x2+y2=100.于是S=xy=50,当且仅当x=y时等号成立.答案: A6.(2011东北三校第一次联考)已知正项等比数列an满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为( )A. B.C. D.不存在解析: 设正项等比数列an的公比为q,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2.由=4a1,得2m+n-2=24,即m+n=6.故+=(m+n)=+=,当且仅当n=2m时等号成立.答案: A二填空题7.若2y+4x=xy(x0,y0),则xy的最小值为_.解析: 22y+4x=xy(x0,y0),xy32.答案: 328.(2011南京模拟)若logmn=-1,则3n+m的最小值是_.解析: logmn=-1,m-1=n,mn=1,n0,m0且m1,3n+m2=2.答案: 29.已知函数f(x)=x+(p为常数,且p0),若f(x)在(1,+)上的最小值为4,则实数p的值为_.解析: 由题意得x-10,f(x)=x-1+12+1,当且仅当x=+1时,取等号,则2+1=4,解得p=.答案: 三解答题10.(1)求函数y=x(a-2x)(x0,a为大于2x的常数)的最大值;(2)当点(x,y)在直线x+3y-4=0上移动时,求表达式3x+27y+2的最小值.【解析方法代码108001077】解析: (1)x0,a2x,y=x(a-2x)=2x(a-2x)2=,当且仅当x=时取等号,故函数的最大值为.(2)由x+3y-4=0得x+3y=4,3x+27y+2=3x+33y+22+2=2+2=2+2=20,当且仅当3x=33y且x+3y-4=0,即x=2,y=时取等号成立.11.已知lg(3x)+lg y=lg(x+y+1).(1)求xy的最小值;(2)求x+y的最小值.【解析方法代码108001078】解析: 由lg(3x)+lg y=lg(x+y+1)得(1)x0,y0,3xy=x+y+12+1,3xy-2-10,即3()2-2-10,(3+1)(-1)0,1,xy1,当且仅当x=y=1时,等号成立.xy的最小值为1.(2)x0,y0,x+y+1=3xy32,3(x+y)2-4(x+y)-40,3(x+y)+2(x+y)-20,x+y2,当且仅当x=y=1时取等号,x+y的最小值为2.12.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图). (1)若设休闲区的长和宽的比=x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?解析: (1)设休闲区的宽B1C1为a米,则其长A1B1为ax米.a2x=4 000,得a=,S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20)+160=80+4 160(x1).(2)S