给线性代数老师两道测试题.doc

蒆蚇袂膀莂螆羅羂芈螅蚄膈膄莁螇羁肀莁罿芆葿莀虿聿莅荿螁芄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅蒆蚅肆莁蒅螈袈芇蒅袀肄膃蒄虿袇腿蒃螂膂蒈蒂袄羅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿袁羂莀薈薀膇莆薇螃羀节薆袅芅膈薅羇肈蒇薄蚇袁莃薃蝿肆艿蚃袂衿膅蚂薁肅肁蚁蚃袈葿蚀袆肃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂螆羅羂芈螅蚄膈膄莁螇羁肀莁罿芆葿莀虿聿莅荿螁芄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅蒆蚅肆莁蒅螈袈芇蒅袀肄膃蒄虿袇腿蒃螂膂蒈蒂袄羅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿袁羂莀薈薀膇莆薇螃羀节薆袅芅膈薅羇肈蒇薄蚇袁莃薃蝿肆艿蚃袂衿膅蚂薁肅肁蚁蚃袈葿蚀袆肃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂螆羅羂芈螅蚄膈膄莁螇羁肀莁罿芆葿莀虿聿莅荿螁芄芀莈袃肇膆莇羆袀蒅蒆蚅肆莁蒅螈袈芇蒅袀肄膃蒄虿袇腿蒃螂膂蒈蒂袄羅莄蒁羆膀芀蒀蚆羃膆蕿螈腿肂蕿袁羂莀薈薀膇莆薇螃羀节薆袅芅膈薅羇肈蒇薄蚇袁莃薃蝿肆艿蚃袂衿膅蚂薁肅肁蚁蚃袈葿蚀袆肃莅虿羈羆芁蚈蚈膁膇蚇螀羄蒆蚇袂膀莂螆羅羂芈螅蚄膈膄莁螇羁肀莁罿芆葿莀虿聿莅荿螁芄芀莈袃肇膆莇羆 给线性代数老师两道测试题下面是在控制和机械专业后续课中选出的两道线性代数的应用题。第一道是控制系统化简的题，中心是解一个五阶的线性方程组，第二道是机械测量结果分析的题，核心是三维空间向量分析。它们都已化成了典型的线性代数问题，不过阶数到了五阶，而且有超定方程组。您若不会用机算，或很吃力，每问解题时间超过半小时，就该来培训。图1 某自动控制系统的结构图1线性方程组的习题某控制系统的框图如图1，列出它的方程组如下： （A） 若u1,u2给定，试求出x1,x2,x3,x4和e用u1,u2的表示式。注：这是一个五元的线性联立联立方程，可用三种方法解。（1）用中学的代入法；（2）用线性代数笔算；（3）用线性代数机算。请用三种方法分别计算，并记下所需的时间，并作出评论。（B） 若诸G已知为，试写出e以u1,u2及s为自变量的表示式。记录下解此题所用的时间。2向量空间的习题数控坐标测量仪测出某气缸截面上五个点的x,y,z坐标如右表：xyz点1-0.28-0.030.55点24.044.593.01点30.720.71-0.13点42.724.216.23点51.971.81-0.32试问：（A） 这五点是近似在一个平面上吗？离平面有多大误差？（B） 试写出该近似平面的数学方程；（C） 这五点在该平面上是否近似构成一个圆？此圆的圆心坐标是多少？它的半径又是多少？（D） 求出各点与此近似圆的误差的均方值。如果会做这道题，请做出解答，并记录每一小题所花费的时间。线性代数要不要与计算机结合？请问您得出什么结论？第(1)题的解任取图中x1,x2,x3,x4四个信号节点列写方程，有：1 用代入法计算此联立方程的输出x3与输入u1之比（在计算机上用公式编辑器推导）2用矩阵+笔算从得到的系数矩阵Q和P的内容，根据，就可以求出以u1,u2为输入，x1x4为输出的系统的10个传递函数。由于笔算五阶太烦，把最后一个误差方程去掉，变成四阶矩阵方程，因此只要对44矩阵I-Q求逆，求得的是42=8传递函数矩阵。为了I-Q 的逆阵inv(I-Q)，用消元法。令C=I-Q,eye(4) 由此知=3. 矩阵+MATLAB知道了系数矩阵Q和P的内容，根据，就可以求出以u1,u2为输入，x1x4,e为输出的系统的10个传递函数。对55矩阵Q求逆。得到解本题的程序：clear, syms G1 G2 G3 G4 u1 u2 Q(1,4)=-G3; Q(2,1)=G1;% 给Q赋值，注意第一个赋值的是符号变量Q(3,2)=G2; Q(4,3)=1;P(2,1)=G4;P(1,1)=1;P(4,2)=1; % 给P赋值，注意第一个赋值的是符号变量W=inv(eye(4)-Q)*P% 信号流图方程解X=W*u1;u2 % 计算各信号点在u1,u2作用下的输出pretty(W) % 美观显示对输出误差的两个传递函数pretty(X) % 美观显示输出X(1)项程序运行结果反映了多输入多数出(MIMO)的特点： pretty(W) pretty(X)它显示了呈矩阵排列的八个传递函数。输出为：若把误差e也列为待求变量，系统成为五阶：解此系统的MATLAB程序为：syms G1 G2 G3 G4 u1 u2 Q(1, 4)=-G3; Q(2, 1)=G1; %给Q赋值 Q(3, 2)=G2; Q(4, 3)=1;Q(5, 3)=1;Q(5, 5)=0;P(2, 1)=G4;P(1, 1)=1;P(4, 2)=1; % 给P赋值P(5, 1)=-1; P(5, 2)=0; W=inv(eye(5)-Q)*P;% 信号流图方程解pretty(W) % 美观显示输出误差项X=W*u1;u2; pretty(X(3) % 计算并美观显示输出程序运行结果为:它显示了呈矩阵排列的十个传递函数. 输出为：2向量空间的习题数控坐标测量仪测出某气缸截面上五个点的x,y,z坐标如右表：xyz点1-0.28-0.030.55点24.044.593.01点30.720.71-0.13点42.724.216.23点51.971.81-0.32试问：(A)这五点是近似在一个平面上吗？离平面有多大误差？(B)试写出该近似平面的数学方程；(C)这五点在该平面上是否近似构成一个圆？此圆的圆心坐标是多少？它的半径又是多少？(D)求出各点与此近似圆的误差的均方值。如果会做这道题，请做出解答，并记录每一小题所花费的时间。线性代数要不要与计算机结合？要不要讲超定方程组，请问您得出什么结论？解：(A)如果五点在同一平面，则它们之间联线向量应该共面，设各点的原始向量组为A :A=-0.28,4.04,0.72, 2.72, 1.97;-0.03, 4.59, 0.71, 4.21, 1.81; 0.55, 3.01,-0.13, 6.23,-0.32得 任意取第五点为基准也即把新的坐标原点移到A(:,5) =1.97;1.81;-0.32，由它引向各点的向量组为B，则B=A-A(:,5)，用MATLAB的减法规则要求两个矩阵是同维的，故可表为：B=A-A(:,5)*ones(1,5)B = -2.2500 2.0700 -1.2500 0.7500 0 -1.8400 2.7800 -1.1000 2.4000 0 0.8700 3.3300 0.1900 6.5500 0因为B是通过原点的，如果这四个向量共面，它就是一个三维空间的子空间，由这些向量组成的向量组的秩必须为2。简单测试结果是rank(B)=3，因为测试结果的原始数据只取了两位小数，不大可能严格在三维空间内位于同一平面上，也就是说B中任取一个子方阵，很难使它的行列式恰好为零。怎样来判断它的近似性呢？就要允许在第三维上有一些小的突起，也就是当某个子方阵的行列式小于一定值时把它看做零。在求秩命令中包含了这个因素，即用rank(B,tol)，tol是容差，它的默认值是MATLAB中的最小数eps=2.24*10-16。我们现在取得大一些，例如键入： rank(B,0.1)得出的结果就是2。（B）要找到这个平面的方程，就需要改变坐标轴，使两个主轴正交并处在这些点所构成平面上，并使第三个轴与该平面垂直。我们可以把B的第一个向量B(:,1)当做新的Bx轴，B的第一和第二两个向量B(:,1), B(:,2)张成的平面当做新的xy平面，其中与Bx垂直并且B(:,2)在其上的投影为正的轴为新的By轴，再用右手法则定义与该平面正交的Bz轴：求出向量组B在这新坐标系中的各个分量，这就需要用一个坐标转换矩阵去乘它，进行正交分解，可以用斯密特法，但MATLAB中有的，也是更好的是用qr分解：Q,R=qr(B)结果为： Q = -0.75 -0.08 0.66 -0.60 -0.35 -0.72 0.29 -0.93 0.21R = 3.05 -2.23 1.66 -0.10 0 0 -4.23 0.30 -6.98 0 0 0 -0.02 0.11 0Q的三列表示三个基向量，其中前两列是组成主要平面的基向量，第三列是与此平面正交的（即主平面法线的）基向量，R中的前两行表示在新坐标系主平面中的各点坐标，这个新坐标是以前两个向量为基准的（能不能看出来？），第三行则表示与此新坐标平面垂直方向上那些小的突起。它表示的关系为：B=Q*R或 inv(Q)*B=R。其中Q和inv(Q)就是坐标变换矩阵，Q是三个新坐标轴Bx,By,Bz在原坐标轴中的方向余弦矩阵，R则是B矩阵所表示的各点原来坐标变换到新坐标系中的取值。R的上三角特点，说明了它的第一个向量被选为第一个新坐标，所以在其他两个轴上的分量为零，第二个向量只在Bx,By两个方向有投影，在第三个方向的分量为零。Q（:,3）是此平面法线的方向余弦，根据它和此平面上的任何一点坐标，即可写出此平面的方程式。delta=Q(:,3)*A实际上表示了通过各点的具有上述斜率的平面到原点的垂直距离。delta=Q(:,3)*Adelta = -0.0598 -0.0598 -0.0594 -0.0498 -0.0598由于各点不在同一平面上，因此这个距离对各点也是不同的，略有差别。取delta=-0,0598，则,=Q(:,3)/delta= -11.1185, 12.0911, -3.1826平面方程成为用inv(Q)作用于A上，将得到这些点在新坐标系中的坐标位置：AR=inv(Q)*AAR = 0.3836 -4.9166 -1.0018 -2.7839 -2.6504 -0.4807 -4.7194 -0.1795 -7.4955 -0.4807 -0.0598 -0.0598 -0.0594 -0.0498 -0.0598可见这些点的z坐标基本相同，因此构成了一个平行于xy平面并距离它约为-0.0598的水平平面.如果这些点很理想地处在一个平面上，那么R中的第三行应该全为零，实际上如前所述，数据不可能有那么高的精度，难免有微小的突起，而且我们取平面时用的是第一、二两个向量来构成整个平面并不太科学，如果它们的误差偏大，以它们为基坐标，就会影响整个计算的精度。处理这个问题的另一个方法就是用最小二乘法来拟合这个平面。已知平面方程的形式为：c(1)x+c(2)y+c(3)z=1，现在的问题是求三个方向余弦c。将五个点的坐标A(:,i)(i=1:5)分别代入，可以得出五个线性方程，写成方程组并用矩阵表示为：A*c=ones(5,1)五个方程要解三个未知数c(1:3)，这是一个超定问题，可以用最小二乘解的公式c=Aones(5,1)求得：c= -11.2247; 12.1899; -3.1796得到的平面方程是：可以校核一下：键入：A*c,得到ans = 1.0284 1.0335 0.9865 0.9794 0.9687可见与ones(5,1)还是有误差的，所以超定方程的最小二乘解是有误差的解。与上法所得结果不同，但很接近，应该说这个结果好一些，因为它的五个方程的综合均方误差最小。（C）现在就要研究新的主平面上各点坐标，即R(1,:)和R(2,:)是否构成圆，那就要用我们线性代数实践及MATLAB入门中第十章的例10.2，利用其中导出的拟合圆的方程组。设圆周方程为：其中为圆心的坐标，为半径。对整理上述方程，得到（7.9）其中，因而，求出就可求出r。用n个测量点坐标(xi,yi)代入，得到（7.10）这是关于三个未知数的n个线性方程，所以是一个超定问题。解出就可得知这个最小二乘圆的圆心坐标和半径r的值：在本题中R(1,:)就相当于x，R(2,:)就相当于y，x=R(1,:);y= R(2,:); % 把x,y赋值为列向量A1=2*x, 2*y, ones(size(x) % 按（2）式求出系数矩阵A1,B1B1=x.2+y.2c1=A1B1, % 求超定方程的解，得出c1r=sqrt(c1(3)+c1(1)2+c1(2)2)% 由c1求出r% AR=2*R(1,2,:),ones(5,1) ;% 按上式求出系数矩阵% BR=R(1,:).2+R(2,:).2;% Rc=ARBR; % 求超定方程的解，得出Rc% 也可用Rc=inv(AR*AR)*AR*BR% RR=sqrt(Rc(3)+Rc(1)2+Rc(2)2);% 由Rc求出RR程序运行的结果为：c1 = 1.5172 -3.5391 -0.0220r = 3.8478即可以画图表示：plot(x,y,*),%画出五个点axis equal, hold on, grid onezplot(x-1.5172)2+(y+3.5391)2-3.84762=0)% 画出圆plot(c1(1),c1(2),o) %画出圆心得到的图形如下:要恢复到原来坐标系的圆心坐标ctr，必须把圆心坐标c1(1);c1(2);0左乘Q，转到原来坐标系中，并加上原来坐标系的移动量A(:,5)，ctr=Q*c1(1);c1(2);0+A(:,5)得到ctr = 1.1699 2.0635 3.4381绘制三维图形：，要将z单独移至等式左端解出显式：ezmesh(-11.2247/3.1796*x+12.1889/3.1796*y-1/3.1796), hold onplot3(A(1,:),A(2,:),A(3,:),b*)plot3(ctr(1),ctr(2),ctr(3),ko) axis equal 图 (a) 五个空间测量点及其拟合平面 (b)坐标旋转后使拟合平面成为一根线求拟合圆的另一种解法：（杨威提出）从圆心与各点的距离相等的原理出发，方程推导方法之一：从斜平面上拟合圆的参数方程出发进行推导：因为圆心必须在平面上，故其坐标必须满足平面方程。将代入上面的公式，得到：整理后成为：令上式成为：写成矩阵形式： A4*Co=B4Co的前两项为圆心的xo,yo坐标，由其第三项po，可求出拟合圆的半径。 写出其MATLAB程序如下：A4(:,1)=2*A(1,:)- A(3,:)*c(1)/c(3)+c(1)/c(3)2*ones(5,1);A4(:,2)=2*A(2,:)- A(3,:)*c(2)/c(3)+c(2)/c(3)2*ones(5,1);A4=A4(:,1),A4(:,2),ones(5,1)B4= A(1,:).2+ A(2,:).2+ A(3,:).2-2* A(3,:)./c(3)+1./c(3)2Co=A4B4r=sqrt(Co(3)+(1+c(1)2/c(3)2)*Co(1)2+(1+c(2)2/c(3)2)*Co(2)2+2*c(1)*c(2)*Co(1)*Co(2)/c(3)2)方程推导方法之二：从各点到圆心的距离相等出发：其圆心坐标当然仍必须满足斜平面的方程，对第i点和第i+1点，有移项整理后成为： (i=1,2,3,4)由于有五个点，可建立四个线性方程，其中未知数是xo,yo,zo，因此是一个超定方程组，可以求解。其方程组可列成以下矩阵形式：相应的MATLAB程序为：A2=diff(A),B2=(sum(A(:,2:5).2-A(:,1:4).2)/2% B2=(sum(diff(A).*diff(cumtrapz(A) B2的另一种形式co=A2B2得到的结果是co = -1.4198 4.8753 2.7052计算它与5个点的距离分别为：norm(A(:,1)-co) = 5.4778norm(A(:,2)-co) = 5.4757norm(A(:,3)-co) = 5.4742norm(A(:,4)-co) = 5.4776norm(A(:,5)-co) = 5.4808这个距离远大于平面上的半径，说明它是空间球面的最佳球心。我们应当以这些距离在倾斜平面上的投影作为标准。也就是说，圆心必须位于该平面上，因而要满足：对第i点和第i+1点列出方程，可写成：将代入上面的公式，得到： (i=1,2,3,4)整理后成为：(i=1,2,3,4)写成即A3*co=B3的形式，其中,MATLAB程序为：A3=diff(A(1,:)-c(1)/c(3)*diff(A(3,:), diff(A(2,:)-c(2)/c(3)*diff(A(3,:)B3=(sum(A(:,2:5).2-A(:,1:4).2)-2*diff(A(3,:)/c(3)/2Co=A3B3 zo=(1-Co