2019安徽教师招聘考试-放缩法类型总结

师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第 1 页 共3页 用放缩法处理数列和不等问题用放缩法处理数列和不等问题 一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例 1正数数列 n a的前n项的和 n S，满足12 nn aS，试求： （1）数列 n a的通项公式； （2）设 1 1 nn n aa b，数列 n b的前n项的和为 n B，求证： 2 1 n B 解：（1）由已知得 2 ) 1(4 nn aS，2n时， 2 11 ) 1(4 nn aS，作差得： 1 2 1 2 224 nnnnn aaaaa，所 以0)2)( 11 nnnn aaaa，又因为 n a为正数数列，所以2 1 nn aa，即 n a是公差为 2 的等差数列， 由12 11 aS，得1 1 a，所以12 nan （2）) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 12)(12( 11 1 nnnnaa b nn n ，所以 2 1 ) 12(2 1 2 1 ) 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 ( 2 1 nnn Bn 二先放缩再求和 1放缩后成等比数列，再求和 二先放缩再求和 1放缩后成等比数列，再求和 例 2等比数列 n a中， 1 1 2 a ，前n项的和为 n S，且 798 ,SS S成等差数列 设 n n n a a b 1 2 ，数列 n b前n项的和为 n T，证明： 1 3 n T 解： 9789 AAaa， 899 AAa ， 899 aaa ，公比 9 8 1 2 a q a n n a) 2 1 ( nnn n n n b 23 1 )2(4 1 ) 2 1 (1 4 1 （利用等比数列前 n 项和的模拟公式 n n SAqA猜想） nn bbbB 21 3 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 3 1 23 1 23 1 23 1 2 2 nn 2放缩后为“差比”数列，再求和2放缩后为“差比”数列，再求和 师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第 2 页 共3页 例 3已知数列 n a满足：1 1 a，)3 , 2 , 1() 2 1 ( 1 na n a n n n 求证： 1 1 2 1 3 n nn n aa 证明：因为 n n n a n a) 2 1 ( 1 ，所以 1n a与 n a同号，又因为01 1 a，所以0 n a， 即0 2 1 n n nn a n aa，即 nn aa 1 所以数列 n a为递增数列，所以1 1 aan， 即 n n n nn n a n aa 22 1 ，累加得： 12 1 2 1 2 2 2 1 n n n aa 令 12 2 1 2 2 2 1 n n n S，所以 n n n S 2 1 2 2 2 1 2 1 32 ，两式相减得： nn n n S 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 132 ，所以 1 2 1 2 n n n S，所以 1 2 1 3 n n n a， 故得 1 1 2 1 3 n nn n aa 3放缩后成等差数列，再求和3放缩后成等差数列，再求和 例 4已知各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S,且 2 2 nnn aaS. (1) 求证： 22 1 4 nn n aa S ； (2) 求证： 1 12 1 22 nn n SS SSS 解：（1）在条件中，令1n，得 111 2 1 22aSaa，10 11 aa，又由条件 nnn Saa2 2 有 11 2 1 2 nnn Saa，上述两式相减，注意到 nnn SSa 11 得 0) 1)( 11 nnnn aaaa00 1 nnn aaa 1 1 nn aa 所以，nnan) 1(11， (1) 2 n n n S 所以 42 ) 1( 2 1 2 ) 1( 2 1 2 22 nn n aannnn S （2）因为1) 1(nnnn，所以 2 1 2 ) 1( 2 nnnn ，所以 师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第 3 页 共3页 2 ) 1