极限与导数方法小结

求极限与导数的方法小节,极限的起源(欧洲篇）,提到极限思想，就不得不提到著名的阿基里斯悖论一个困扰了数学界十几个世纪的问题。阿基里斯悖论是由古希腊的著名哲学家芝诺提出的，他的话援引如下： 不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌龟所在的地方所花的那段时间里，乌龟能够走开。然而即使它等着他，阿基里斯也必须首先到达他们之间一半路程的目标，并且，为了他能到达这个中点，他必须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限继续下去。从概念上，面临这样一个倒退，他甚至不可能开始，因此运动是不可能的。”就是这样一个从直觉与现实两个角度都不可能的问题困扰了世人十几个世纪，直至十七世纪随着微积分的发展，极限的概念得到进一步的完善，人们对“阿基里斯”悖论造成的困惑才得以解除,极限的起源（中国篇）,无独有偶，我国春秋战国时期的哲学名著庄子记载着惠施的一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭。”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零。这更是从直观上体现了极限思想。 我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用。所谓“割圆术”，就是用半径为R的圆的内接正多边形的边数n一倍一倍地增多，多边形的面积An就越来越接近于圆的面积R2。在有限次的过程中，用多边形的面积来逼近圆的面积，只能达到近似的程度。但可以想象，如果把这个过程无限次地继续下去，就能得到精确的圆面积。,极限的起源（现代篇）,19世纪，维尔斯特拉斯提出了极限的静态定义。其定义如下：所谓anA就是指“如果对任何0，总存在自然数N，使得当nN时，不等式anA恒成立”。在这一定义中，“无限”“接近”等字眼消失了，取而代之的是数字及其大小关系。排除了极限概念中的直观痕迹，这一定义被认为是严格的。数学极限的“N”定义远没有建立在运动和直观基础上的描述性定义易于理解。这也体现出了数学概念的抽象性，越抽象越远离原型，然而越能精确地反映原型的本质。不管怎么说，极限终于迎来了属于自己的严格意义上的定义，为以后极限思想的进一步发展以及微积分的发展开辟了新的道路,极限的定义,1.数列极限的定义 设an为数列，a为定数若对任给的正数，总存在正整数N，使得当nN时有 |an-a|0存在正数M（a），使得当xM时有 |f(x)-A| 则称函数f当x趋于+时以A为极限，记做 =A或f(x)A(x+),单调有界,单调增加,单调减少,单调数列,(2),定义,(1),两个重要极限,几种常用的求极限方法,1 应用两个重要极限 例 求. 解 记 ，则 原式= . 例 求. 解 原式=,利用等价无穷小求极限 这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).3 设、 且 ；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：=+0() 常用等价无穷小：当变量x0时， 例,利用洛必达法则求极限 利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了. 洛必达法则中还有一个定理：当时，函数及都趋于0；在点的某去心邻域内，的导数都存在且的导数不等于0；存在，那么 . 1 洛必达法则中还有一个定理：当xa时，函数f(x)及F(x)都趋于0；在点a的某去心邻域内，f(x)F(X)的导数都存在且F(x)的导数不等于0；存在 ，那么,求左右极限的方式,例,导数的起源,大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿求最大值与最小值的方法。在作切线时，他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们所说的导数f(A)。 17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是求曲边形面积、运用无穷多项方程的计算法和流数术和无穷级数，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。,导数的定义,设函数y=f(x)在U(x0)有定义，若极限,存在，则称f(x)在x0可导，此极限称为f(x)在x0的导数，记为f(x0)或 ，若此极限不存在，则称f(x)在x0不可导,几何意义：函数f(x)在x0导数f(x0)在几何上标书曲线y=f(x)在点（x0，f(x0)处切线的斜率,高级导数,求导法则,1，四则运算法则 设u(x)与v(x)在x处可导，则 (u(x)+v(x)=u(x)+v(x) (u(x)-v(x)=u(x)-v(x) (u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x) (u(x)/v(x)=(u(x)v(x)-u(x)v(x)/v(x)2 2，反函数求导法则 若函数f(x)在x的某邻域连续，并严格单调，函数y=f(x)在函数x可导， 且f(x)0，则它的反函数x=(y)在y=(y=f(x)可导，且 (y)=,例题 设 求导数y,3.复合函数求导法则 若函数y=f(u)在u可导，u=g(x)在x可导，则符合函数y=fg(x)在x也 可导，且 fg(x)=f(u)g(x)或,4.隐函数求导 方程F(x,f(x)0 应用复合函数求导法则，对方程两端关于x求导，可得y或,例题2 设 求倒数y,例题 设 求由方程确定的隐函数的导数y 两端同时对x求导,5，参数方程求导法则 若x=(t),y=(t)(t)