圆锥曲线知识点

1 / 38 圆锥曲线知识点 第一篇 :完美版圆锥曲线知识点总结 圆锥曲线的方程与性质 1椭圆 （ 1）椭圆概念 平面内与两个定点 距离的和等于常数 2a（大于|的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点，则有 | 1| |2a 圆的标准方程为： 2 2 1（ a b 0）（焦点在 x 轴上）或 2 2 1（ a b 0）（焦点在 y 轴 / 38 上）。 注：以上方程中 a,a b 0，其中 b a c； 2 2 2 在 2 2 1和 2 2 1两个方程中都有 a b 0 的条 件，要分清焦点的位置，只要看 x 和 （ m 0， n 0， m n）当 m n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 m n 时母的大小。例如椭圆 / 38 表示焦点在 （ 2）椭圆的性质 范围：由标准方程 2 2 1 知 |x| a， |y| b，说明椭圆位于直线 x a， y b 所围成的矩形里； 对称性：在曲线方程里，若以 y 代替 y 方程不变，所以若点 (x,y)在曲线上时，点 (x, y)也在曲线上，所以曲线关于 x 轴对称，同理，以 x 代替 x 方程不变，则曲线关于 同时以 x 代替 x， y 代替 y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆 的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 38 轴、 椭圆的标准方程中，令 x 0，得 y b，则 , b)， ,b)是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令 y 0 得 x a，即 a,0)， A2(a,0)是椭圆与 x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段 别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 2b， a 和 半轴长和短半 轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a；在|b， |c， |a，且 | |，即 c a b； 离心率：椭圆的焦距与长轴的比 e 2 5 / 38 2 2 c 叫椭圆的离心率。 a c 0， 0 e 1，且 e 越接近1， c 就 a 越接近 a，从而 b 就越小，对应的椭圆越扁；反之， e 越接近于 0， ，从而 a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a b 时， c 0，两焦点重合，图形变为圆，方程为 x2 y2 2双曲线 （ 1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（ | 2a）。 6 / 38 注意：式中是差的绝对值，在 0 2a |件下；|2当 2a |F|2 1，| 2当 2a |，| 2a 不表示任何图形；两定点 2 叫做双曲线的焦点， |做焦距。 （ 2）双曲线的性质 范围：从标准方程 2 2 1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 x a 的外侧。即 x a 即双曲线在两条直线 x a 的外侧。 对称性：双曲线 2 2 1 关于每个坐标轴和原点都是对称 的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点 / 38 是双曲线 2 2 1 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 ab 顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 2 2 1 的方程里，对称轴是 x, 令 y 0 得 x a，因此双曲线和 x 轴有两个交点 A(a,0)A2(a,0)，他们是双曲线 2 2 1 的顶点。 x 0，没有实根，因此双曲线和 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线 的顶点分别是实轴的两个端点。 8 / 38 2）实轴：线段 做双曲线的实轴，它的长等于 2a,轴：线段 的长等于 2b, 渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线 即称为双曲线的渐近线。从 上看，双曲线 2 2 1 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 等轴双曲线： 1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式： a b； 2）等轴双曲线的性质：（ 1）渐近线方程为：y x ；（ 2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上9 / 38 述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。 3）注意到等轴双曲线的特征 a b，则等轴双曲线可以设为：x2 0) ，当 0 时交点在 x 轴，当 0时焦点在 与 1 的区别：三个量 a,b,c中 a,换） c 相同，还有焦点所在的坐标注意 169916 轴也变了。 3抛物线 （ 1）抛物线的概念 平面内与一定点 定点 。定点 直线 10 / 38 方程 y 2 p 0 。 0），它的准线方程是 x ； 22 注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（ 2）抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式： y 2x 2x 准方程、焦点坐标以及准线方程如下表： 2 11 / 38 2 2 说明：（ 1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（ 2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（ 3）注意强调 焦点到准线的距离。圆锥曲线知识点。 4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线 的关系：若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点P0(x0,曲线 C 上 f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,在曲12 / 38 线 C 上 f(x0, 0。 两 条 曲 线 的 交 点 ： 若 曲 线 方 程 分 别 为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0, f1(x0,0f2(x0,0 方程组有 条曲线就有 程组没有实数解，曲线就没 有交点。 二、圆： 1、定义：点集 M =r，其中定点 长 222 2、方程： (1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是 (r 13 / 38 圆心在 坐标原点，半径为 x+y=r (2)一般方程：当 D+0 时，一元二次方程x+y+y+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为 ( 2 2 2 2 2 2 2 )半径 22 14 / 38 是 2 4F。配方，将方程 x2+x+=0 化为 (x+ 2 2 2 2+(y+)=D 24 当 D+时，方程表示一个点 ( -); 22 15 / 38 当 D+0时，方程不表示任何图形 . （ 3）点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 x0,则 r M 在圆 C 内， =圆 C 上， r M 在圆 C 内，其中 ( （ 4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交直线和圆的位置关系的判定： (i)判别式法； (用圆心 C(a,b)到直线 y+C=0的距离 d 三、圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 常数 当 0 2 16 / 38 2 b 2 第二篇 :高中数学 _圆锥曲线知识点小结 圆锥曲线知识点小结 一、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平面内与两个定点 2的距离的和等于常数（大于 |其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意： 2a |示椭圆； 2a |示线段 a |有轨迹； （ 2 的点的轨迹。 22用结论：（ 1）椭圆 1(a b 0)的两个焦点为 2，过 ,B两 ，则 （ 2）设椭圆 17 / 38 1(a b 0)左、右两个焦点 为 2，过 垂直于对称轴的直线 2椭圆于 P, P, |圆锥曲线知识点。 二、双曲线： （ 1）双曲线的定义：平面内与两个定点 2|迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距 。 注意： | |2|2a（ 2a |表示双曲线的一支。 2a |示两条射线； 2a |有轨迹；圆锥曲线知识点。 18 / 38 （ 2）双曲线的标准方程、图象及几何性质： 标准方程 中心在原点，焦点在 中心在原点，焦点在 y 轴上 (a 0,b 0) 1(a 0,b 0) 2 形 , a),a) 19 / 38 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径 （ 3）双曲线的渐近线： a,0),A2(a,0) x 轴， 轴为 2b，实轴为 2a c,0),F2(c,0) |2c(c 0) c e 2 , c),c) a2 b2 c 20 / 38 (e 1)（离心率越大，开口越大） a y bx a 2b2 a y ax b 2222 求双曲线 x y 1 的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得 x y 0，因式分解得到 x y 0。 1 / 38 与双曲线 2 2 1共渐近线的双曲线系方程是 2 2 4）等轴双曲线为 x 2 y2 离心率为 22 4）常用结论：（ 1）双曲线 2 1(a 0,b 0)的两个焦点为 2，过 的 2 一支于 A, 周长 2 / 38 2 1(a 0,b 0)左、右两个焦点为 2，过 垂直于对称轴的 2 2）设双曲线 直线交双曲线于 P,Q 两点，则 P,Q 的坐标分别是 | 三、抛物线： （ 1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线 的焦点，定直线叫做准线。 （ 2）抛物线的标准方程、图象及几何性质： 标准方程 焦点在 x 轴上， 开口向右 23 / 38 焦点在 x 轴上， 开口向左 焦点在 p 0 y 轴上， 焦点在 y 轴上， 开口向上 开口向下 px px py 形 24 / 38 顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦 焦准距 O(0,0) x 轴 0) 2 p 2 y 轴 F( p ,0)2 ,) 2 , ) 2 25 / 38 e 1 x x p 2 y p 2 y 圆 锥 曲 线 知 识 点 p 2 2p | 26 / 38 p 2 | p 2 p 四、弦长公式： | k2|x1 x1 4| 其中 , A, ,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程 2 27 / 38 的判别式和 求弦长步 骤：（ 1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（ 2）联立两方程，消去 y,得关于 x C 0, 设 A(x1, B(x2,由韦达定理求出 x1 C ；（ 3）代入弦长公式计算。 A 2 28 / 38 法（二）若是联立两方程，消去 x,得关于 y C 0,则相应的弦长公 式是： | 111 2|y1 2 (y1 4 | x1 (x1 4|A| |A| 注意（ 1）上面用到了关系式 | 29 / 38 y1 y1 4注意（ 2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法 法（一）：（ 1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（ 2）联立两方程，消去 y,得关于 x 的一元二次方程 x C 0,设 A(x1, B(x2,由韦达定理求出 x1 x1 ；再把 x B ；（ 3）设中 A 30 / 38 点 M(x0,由中点坐标公式得 x0 法（二）：用点差法，设 A(x1, B(x2,中点 M(x0,由点在曲线上，线段的中 点坐标公式，过 A、 B 两点斜率公式，列出 5 个方程，通过相减，代入等变形，求出 x0, 六、求离心率的常用方法：法一，分别求出 a,c，再代入公式 法二、建立 a,b,去 b,再化为关于 e 的方程，最后解方程求 e (求 e 时，要注意椭圆离心率取值范围是 0 e 1，而双曲线离心率取值范围是 e 1) 例 1：设点 P 是圆 x2 上的任一点，定点 D 的坐标为（ 8， 0），若点 M 满足 31 / 38 点 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹方程 解 设点 x,y P 的坐标为 x0,M 2 得 x x0,y 8 x, y y 因为点 P x0,y0 x2 上，所以 3x 16 3y 4， 2 2 4 16 即 x 的轨迹方程 32 / 38 3 9 例 2：已知椭圆的两个焦点为（ 0），（ 2,0）且过点 (, )，求椭圆的标准方程 2 5 232 法 1 因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为2 2 1(a b 0)， 椭圆的定义可知： 2a 3 / 38 1 a c 2, b a c 6 所以所求的标准方程为 106 2 2 2 ，将解法 2 c 2, b a c a 4，所以可设所求的方程为 2 2 2 2 34 / 38 2 2 53 点 (, )代人解得：a 所以所求的标准方程为 22106 例 3. 第三篇 :高中数学圆锥曲线知识点总结 高中数学知识点大全 圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 35 / 38 1、椭圆： （ 1）轨迹定义： 定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长 2c。用集合表示为： ；圆锥曲线知识点。 定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数