数学应用与实践习题解.doc

-59-数学应用与实践数学应用与实践习题解【 习题一 习题二 习题三 习题四 习题五 】 习 题 一【返回】实践：1模仿例题在计算机上进行操作将操作结果保存在xt1.nb文件中2使用帮助系统了解例题中函数的更多的用法3用Mathematica计算下列各题：【(1) (2) (3) (4)】（1）求具有20位有效数字的圆周率的值；【返回】解：输入：输出：（2）有一个的近似公式这个近似公式可以精确到小数点以后第几位？【返回】解：输入：输出：结论：的近似公式可以精确到小数点以后第8位（3）将多项式分解因式；【返回】解：输入：输出：（4）作函数的图形【返回】解：输入：输出：习 题 二【练习 实践】【返回】练习：【1 2 3 4 5 】1求下列函数的定义域：【返回】（1）； （2）； （3） ； （4）； （5） 解：（1），定义域为【返回】解：（2）， 定义域为【返回】解：（3）， 定义域为【返回】解：（4），定义域为【返回】解：（5）定义域为【返回】 2试将表示成的复合函数： 【返回】（1）， ， ； （2）， ， 解：（1）表示成的复合函数为【返回】解：（2）表示成的复合函数为【返回】3下列函数是由哪些基本初等函数复合而成：【返回】（1）； （2）； （3）；（4）； （5）解：（1）由复合而成【返回】解：（2）由复合而成【返回】解：（3）由复合而成【返回】解：（4）由复合而成【返回】解：（5）由复合而成【返回】4设，求f (-1)， f (0)， f (2) 【返回】解： *5应用题：【(1) (2) (3) (4) (5) (6)】【返回】图2-27UEQt（1）单三角脉冲的电压【返回】脉冲发生器产生一个单三角脉冲，其波形如图2-25所示，写出电压与时间的函数关系式解：如图2-27当时电压与时间函数关系式是 当时电压与时间函数关系式是 电压与时间的函数关系式是 （2）股票问题【返回】在股票交易中，每交易一次需要交纳交易费和印花税，设交易费和印花税占总交易额的0.5%，某人买进一种股票，每股x元，请问当股票长到每股多少元时，他卖出就不会亏本解：设当股票长到每股y元时，他卖出就不会亏本，若此人买进了n股股票由题意得买入股票所花费的资金为nx+0.5%nx=1.005 nx卖出股票所得的资金为ny-0.5%ny=0.995 ny则答：当股票长到每股元时，他卖出就不会亏本（3）行李费问题【返回】车站收取行李费的规定如下：当行李不超过千克时，按基本运费计算，如从上海到某地每千克收元当超过千克时，超重部分按每千克元收费试求上海到该地的行李费(元)与重量(千克)之间的函数关系式解：由提意得：当 当答：上海到该地的行李费(元)与重量(千克)之间的函数关系式是（4）利润与销量之间的函数关系【返回】收音机每台售价元，成本为元厂家为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过台以上的，每多订购一台，每台售价就降低分（例某商行订购了台，订购量比台多台，于是每台就降价（元），商行可以按元/台的价格购进台），但最低价为元台a)把每台的实际售价表示为订购量x的函数；b)把利润表示成订购量x的函数；c）当一商行订购了台时，厂家可获利润多少？d）在对商品实行降价时，商行订购多少厂家获利最多？e）为什么厂家定最低价为75元/台，这样定合适吗？图2-28曲柄连杆机构BACOrlxf）最低价定多少最合适？解：【见论文】（5）滑块位置【返回】有一油泵的曲柄连杆机构（图2-28所示），主动轮转动时，连杆带动滑块作往复直线运动设曲柄的长为，连杆的长为，旋转的角速度是，开始时，曲柄与重合求滑块的运动规律解：如图，设t时刻，由题意得 F图2-29答：滑块的运动规律是（6）巳知一物体与地面的摩擦系数是，重量是，设有一与水平方向成角的拉力，使物体从静止开始移动(如图2-27)求物体开始移动时拉力与角之间的函数关系式【返回】 解：由题意得：答：物体开始移动时拉力与角之间的函数关系式是实践：【3 4 5 6 7 8 9】【返回】1模仿例题在计算机上进行操作将操作结果保存在xt2.nb文件中2用Mathematica画出基本初等函数的图像，并观察指出其特性（单调性、有界性、奇偶性、周期性、极值点）3用Mathematica画出练习4，5（3） （5） （6）中函数的图形【返回】解：练习4中函数的图形【返回】输入：输出：解：练习5（3）中函数的图形【返回】输入：输出：解：练习5（5）中函数的图形【返回】输入：输出：解：练习5（6）中函数的图形【返回】输入：输出：*4环境温度对人体代谢率的影响【返回】当环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，实验数据如下：环境温度.410203038.代谢率.60444040.554.在医学研究中，为了方便，常用折线图分析外界环境温度对人体代谢率的影响试用Mathematica画出折线图解：输入：输出：*5恒星的发光度【返回】在天文学中，所谓一颗星的发光度，是指这颗星的全部能量输出粗略地说，一颗星的发光度，是对这颗星的表面亮度的一种度量发光度基本上是质量的函数有两位天文学家对某恒星进行了测试和计算，得到下面的所谓质量与发光度关系：，其中和分别是该恒星的发光度和质量，分别是太阳的发光度和质量，指数r依赖于星球的质量，如下表所示质量范围1.0-1.41.4-1.71.7-2.52.5-55-1010-2020-5050-100r4.754.284.153.953.382.802.301.90用Mathematica求：(a)当恒星的质量是太阳的倍时，该恒星的发光度；(b)当质量是太阳的倍时的发光度；(c)当恒星的质量是太阳质量的倍时的发光度解：输入：输出：*6报纸售价【返回】某报纸每份元，每次发行万份，设每份提价元，发行量就减少千份，要使售价总收入不低于万元，求每份报纸的最高提价?（列出售价总收入与每份报纸的提价的函数关系，用Mathematica作出函数图形，求出最高提价）解：每份报纸的提价为x元，售价总收入y元由题意得：发行量就减少万份用Mathematica作出函数图形输入：输出：用Mathematica解方程输入：输出：答：要使售价总收入不低于万元，每份报纸的最高提价为0.05元扩展：用Mathematica求出的最大值，可知每份报纸的提价为多少时，售价总收入最高。输入：输出：答：每份报纸的提价为0.025元时，售价总收入最高为30250元。*7进货问题【返回】如果商店每年销售某种机器零件件，为了保证供应，要有计划地进货，若销售量是均匀的，每批进货量相同，已知每个零件每月储存费用是元，每批进货的手续费用是元，求全年总费用与每批进货量x之间的函数关系，并求每批进货量为多少时，全年总费用最小（列出全年总费用与每批进货量x之间的函数关系，用Mathematica作出函数图形，求出全年总费用最小值）解：设全年共进货n批，则共进货件，手续费为每月进货批，由于销售量是均匀的，每批进货量相同，即平均库存量为批量的一半，则每批库存件，平均每批库存时间为月，则每批储存费用是元，全年的储存费用是全年总费用与每批进货量x之间的函数关系是用Mathematica作出函数图形输入：输出：从图中可以看出全年总费用最小值在10000件附近取得用Mathematica求出全年总费用的最小值输入：输出：答：每批进货量为8000件时，全年总费用最小为1920元。*8宾馆投资问题【返回】某一信托投资公司，考虑投资万元建造一座涉外宾馆，经预测，该宾馆建成后，每年底可获利万元，试问三年内能否把全部投资收回?假设银行每年复利计息，年利率为，若需要在三年内收回全部投资，每年至少应收益多少万元?(结果保留一位小数)（列出每年所欠资金的关系，用Mathematica求出第三年的结果设每年至少应收益x万元，当第三年所欠资金为0时，用Mathematica解方程求出x）解：设为第年未收回的资金则 用Mathematica求出输入：输出：由于，所以获利万元，三年内不能把全部投资收回设每年至少应收益x万元则 需要在三年内收回全部投资，则用Mathematica解方程组输入：输出：答：需要在三年内收回全部投资，每年至少应收益643.4万元*9汽车刹车问题【返回】已知汽车从刹车到停车所滑行的距离与时速平方及汽车的总重量成正比某辆卡车不装货物，以时速公里行驶时，从刹车到停车滑行米如果这辆卡车装着等于车重倍重的货物行驶时，发现前面大约米处有人（假设卡车从发现人到刹车需经过秒钟），为了行驶安全，车必须在离人米出停住，试问这时最大限制时速应是多少？（保留一位小数）（列出最大限制时速的关系式，用Mathematica计算其值）解：*10窗户采光问题如图2-28窗架上部分为半圆，下部分是宽为，长为的六个矩形组成试问为何值时，制造窗框材料一定，通过光线面积有最大值；为 何值时，通过光线面积为一定，窗框材料最省，并求出相应的最大值和最小值（设窗框材料长度为27.3米，列出光线面积与x的函数关系，用Mathematica求出面积的最大值设通过光线面积为18.9平方米，列出窗框材料长度与x的函数关系，用Mathematica求出窗框材料长度的最小值）图2-30习 题 三【练习 实践】【返回】 练习：【1 2 3 4 5 6 7 8】1求下列极限：【1-7】【8-15】【16-22】（1）=； （2）=； （3）； （4）；（5）； （6）；（7）；【返回】（8）； （9）； （10）； （11）； （12）；（13）；（14）=0，（）；（15）；【返回】（16）； （17）； （18）；（19）；（20）；（21）； （22）=【返回】2设，求，解：；，=2；【返回】3观察下列各题中，那些是无穷小量？哪些是无穷大量？（1）； ，无穷大量；（2）； ，无穷小量；（3）；，无穷大量；（4）；，无穷小量；（5）； ，无穷小量；（6），无穷小量。【返回】4当时，比较与的阶的高低解：，为等价无穷小。【返回】 5求函数的连续区间解：；连续区间【返回】6讨论函数 ， 在处的连续性，若为间断点，指出其类型解：， 在为跳跃间断点。【返回】7把化成分数解：【返回】8应用题： （1）折线长是多少？【返回】把长为的线段等分，以每个小段为底，做底角为的等腰三角形，这些三角形的两腰组成一折线（如图3-37），试求当无限增大时所得折线长的极限A B图3-37解： 当无限增大时所得折线长的极限为.（2）连续复利问题【返回】老张在银行存入1000元，复利率为每年10%，分别以按年结算和连续复利结算两种方式计算10年后老张在银行的存款额解：（1）按年结算：年利率为元， 10年后老张在银行的存款额为 元； （2）按连续复利结算：（见3.3例23）10年后老张在银行的存款额为 元（3）产品利润中的极限问题【返回】已知生产对汽车挡泥板的成本是（美元），每对的售价为5美元，于是销售对的收入为 出售对比出售对所产生的利润增长额当生产稳定，产量很大时，这个增长额为，试求这个极限值生产了对挡泥板时，每对的平均成本为，同样当产品产量很大时，每对的成本大致是，试求这个极限值解：【见论文】实践：【返回】1模仿例题在计算机上进行操作将操作结果保存在xt3.nb文件中(略)2用Mathematica求练习1的极限【返回】输入：输出：输入：输出：3用Mathematica求下列极限：（1）； （2）；（3） ()； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）【返回】4用Mathematica求函数在时的极限【返回】5用Mathematica求练习8应用问题（1）-（4）的极限【返回】6求下列曲线的渐近线，并用Mathematica作出图像，指出函数的特性（极值点、单调、有界、奇偶、周期、连续区间、间断点类型）： （1）； （2）； （3）【返回】 习题四【练习 实践】【返回】练习：【1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 】1 求下列各函数的导数：【返回】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7） ； （8）； （9）解：（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）【返回】2 求下列隐函数的导数 （1）； （2）； （3）解：（1）方程两边同时对x求导： 解方程，求得：解：（2）方程两边同时对x求导： 解方程，求得：解：（3）方程两边同时对x求导： 解方程，求得： 【返回】3 求下列参数方程所确定函数的导数：（1）； （2） 解：（1）解：（2）【返回】4 求下列函数的微分：（1） ； （2） ； （3）；（4）； （5）； *（6）解：（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）方程两边同时微分： 解方程，得：【返回】5 求下列函数的二阶导数：（1）； （2）解：（1） 解：（2） 【返回】6 求下列各函数的单调区间和极值点：【返回】（1） ； （2） ； （3）； （4） （）；（5）； （6）解：（1），故当时，函数为单调增函数，而无极值点。【返回】解：（2），令，解得：，列表讨论：3+00+增极值点减极值点增故当时，函数为单调增函数，当时，函数为单调减函数；而为函数的极值点。【返回】解：（3），令，解得：，列表讨论：0+减极值点增故当时，函数为单调增函数，当时，函数为单调减函数；而为函数的极值点。【返回】解：（4），令，解得：，列表讨论：0+0 减极值点增极值点减故当时，函数为单调减函数，当时，函数为单调增函数；而为函数的极值点。【返回】解：（5），令，解得：，列表讨论：+0增极值点减故当时，函数为单调增函数，当时，函数为单调减函数；而为函数的极值点。【返回】解：（6），令，解得：，列表讨论：0+减极值点增故当时，函数为单调增函数，当时，函数为单调减函数；而为函数的极值点。【返回】7 求下列各曲线的凹凸区间和拐点：【返回】（1） ； （2）。解：（1）函数的定义域为，令，得。列表讨论：0+ 凸拐点凹故：当时函数为凸函数，当时函数为凹函数，点为拐点。【返回】解：（2）函数的定义域为，令，得。列表讨论：0+ 凸拐点凹故：当时函数为凸函数，当时函数为凹函数，点为拐点。【返回】8 求下列各曲线在给定点处的切线方程和法线方程：【返回】（1）； （2）解：（1） ，法线斜率于是曲线在点（1，-2）处的切线方程为：即：曲线在点（1，-2）处的法线方程为：即：。解：（2） ，法线斜率于是曲线在点（0，1）处的切线方程为：即：曲线在点（0，1）处的法线方程为：即：。【返回】9 求下列各曲线在给定点处的曲率和曲率半径：【返回】（1） 在其顶点处； （2） 在点（4，8）处；（3） 在原点处解：（1） 且曲线的顶点为（2，4） ，于是曲线在点（1，-2）处的曲率半径为：。解：（2） 且曲线的顶点为（4，8） ，于是曲线在点（4，8）处的曲率半径为：。解：（3） 且曲线的顶点为（0，0） ，于是曲线在点（0，0）处无曲率半径。【返回】10应用题：(1 2 3 4 5 6)【返回】（1）边际函数设某厂每月生产的产品固定成本为1000元，生产个单位产品的可变成本为元，如果每单位产品的售价为30元，试求：总成本函数，总收入函数，总利润函数；边际成本，边际收入及边际利润为零时的产量解：总成本函数，总收入函数，总利润函数，所以边际成本函数为， 边际收入函数为， 边际利润函数为，令，得边际为零时的产量。【返回】48厘米48厘米厘米图4-36（2）如何能使容积最大？用边长为48的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四周各截去面积相等的小正方形（如图），然后把四周折起，就能焊成铁盒问在四周截去多大的正方形，方能使所做的铁盒容积最大？ 解：铁盒的体积为：令，得故若截去边长为12cm或8cm的正方形，可使铁盒的容积最大。【返回】（3）水箱能吊到柱子上吗？1.5米15米3米2米图4-37某工厂需把一个长12，宽6，高2的铁制的水箱吊起平放在6高的柱子上，但厂里只有一个臂长15的吊车，吊车底座高1.5，能否将水箱吊到柱子上？解：设吊车臂的上端顶点到箱子上面的距离为米，则吊车臂的上顶点到吊车底座的距离为：所以吊车能吊起的高度为：求的点得所以，则所以吊车能吊起的实际高度为6.006+1.5=7.506（米），故能吊到柱子上。【返回】（4）如何能获利最多生产一种产品，每件成本200元如果每件以250元出售，则每月可卖出3600件；如果每件加价1元，则每月少卖出240件；如果每件少卖1元，则每月可多卖出240件每超过1元也依次类推问每件售多少元，可使每月获总利润最多？【返回】解：设每件售元，可使每月获总利润最多为元则每件利润：，卖出件数：求导得： 令 解得：元所以 每件售232.5元，可使每月获总利润最多。（5）变压器设在何处？甲、乙两厂合用一变压器，其位置如图所示若两厂用同型号线架输电线，问变压器设在输电干线何处时，所需输电线最短？1公里甲乙变压器输电干线1.5公里M3公里图4-38解：设变压器距离甲处输电干线公里处，则所需输电线求的值，得（公里）故变压器设在距离甲处输电干线1.2公里处，输电线最短。【返回】*（6）飞行员对座椅的压力一飞机沿抛物线路径作俯冲飞行，在原点处的速度为，飞行员体重70，求俯冲到原点时，飞行员对座椅的压力解：所以曲线的曲率半径，于是飞行员在坐标原点对座椅的压力为： 飞机俯冲到原点时，飞行员对座椅的压力是6286牛顿。【返回】实践：【4 5 6 7 8 9】【返回】1模仿例题在计算机上进行操作将操作结果保存在xt4.nb文件中2用Mathematica验算练习16的结果3仿照例25用Mathematica计算练习8，并作图4用Mathematica求下列函数的导数：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； (8) 解：5用Mathematica求下列隐函数的导数：（1） ； （2）；（3）； （4）6用Mathematica求下列参数方程所确定函数的导数：（1）； （2）7用Mathematica求下列函数的微分：（1） （2）（3） （4） 8用Mathematica画出函数的图象并求出极值点和拐点，观察函数的图像，写出函数的单调区间，极值点、极值、凹凸区间和拐点9用Mathematica求立方抛物线上各点处的曲率，并求处的曲率半径10用Mathematica求解练习10（画图观察写出结果）11如何能使成本最低？某厂生产一种自行车，不论每月生产多少辆都要花去固定生产费3万元而每生产1千辆，要增加生产费用5万元，但由于大批量生产时，可节约部分开支，当每月生产千辆时，可以节省生产费用万元问为多大时，其成本最低？（仿照例题35用Mathematica求解）12隧道的车流量问题巴巴拉接受了纽约市隧道管理局的一份工作，她的第一项任务就是决定每辆汽车以多大速度通过隧道可使车流量最大通过大量的观察，她找到了一个很好的描述平均车速 与车流量（辆/秒）关系的函数，问（1）平均车速多大时，车流量最大？（2）最大流量是多少？（仿照例题35用Mathematica求解）习 题 五【 练习 实践】【返回】练习：【1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22】1求下列各不定积分：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）； （11）解：解： 解：解：解： 解： 解：解：解：解：解：【返回】2已知某做直线运动的物体的速度是米/秒，并且当秒时，其路程为2米，求此运动方程解：设物体的运动方程为，则由题意，有 故 将时，代入上式，得 因此，所求运动方程为 【返回】3已知某函数的导数是，并且当时，函数值等于2，求此函数解：设函数为，则由题意，有 ，故 将时，代入上式，得 因此，所求函数为 【返回】4解答下列各题：【返回】 （1）自由落体以速度下落，试用定积分表示落体在前5秒内下落的距离解： （2）质点作圆周运动，其角速度与时间的函数关系为,试用定积分示该质点由时刻到所转动的角度 解：（3）放射性物体的分解速度是时间的函数，试用定积分表示放射性物体由时间到所分解的质量解：（4）物体以速度作直线运动，试用定积分表示该物体在时间间隔内所经过的路程,并利用定积分的几何意义计算该积分的值解：5计算下列各定积分：【返回】 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）解：解：解：解：解：解：6计算下列各定积分：【返回】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）设，求解：解： 解：解：解：解：解： 7应用微元法把下列各问题表示成定积分并计算： 【返回】（1）求由下列各曲线所围成的图形的面积：【（1） （2） （3） （4）】 与； ，与直线； 与直线； 求星形线 所围成的图形面积解： 解：解：解：又因 所以 【返回】（2）求由下列曲线所围成的图形绕指定轴旋转所成的旋转体的体积： ,绕轴； ，；分别绕轴和轴； 绕轴解： 解：绕x轴旋转所成的旋转体的体积 绕y轴旋转所成的旋转体的体积 解： 【返回】（3）计算曲线在和之间的弧长解： 于是【返回】（4）求摆线,的一拱之长解：【返回】8一根弹簧在2牛吨力的作用下伸长了假定它遵守虎克定律，试问使它伸长需做多少功?解：设使弹簧伸长所需的力为 其中k是比例系数，x是伸长量. 根据题意，有可得 k = 20 , 于是，力所做的功为【返回】9设把一金属杆的长度从拉长到时所需的力等于,其中为常数，试求将金属杆由长度拉长到时所做的功解：【返回】10水槽为半圆柱形，其长和半经分别为和假设水槽中盛满了水，问为把水抽干需要消耗多少功？解：建立直角坐标系，取x轴正向铅直向下，将半圆直经与y轴重合，且对称与正x轴.根据图形，把这一体积微元的水，升到x的高度所消耗的功微元于是【返回】11一高为而底为和的等腰梯形薄板悬在液体中深为处已知液体的密度为，求薄板所受的压力解：建立直角坐标系，取x轴正向铅直向下. 视梯形上底为a，下底为b（0ab0,将梯形下底与y轴重合，且对称与正x轴，故重心纵坐标现只需求横坐标根据图形其斜边（腰）所在的直线方程为所以有于是 从而薄板的重心为【返回】15一个长为，质量为的均匀细杆求细杆绕过它的一端且垂直于杆的轴的转动惯量解：建立直角坐标系，取y轴正向铅直向上.将细杆一端置与坐标原点，且与正x轴重合.根据图形，在 其上细杆质量微元为 从而细杆转动惯量微元为于是长为的细杆的转动惯量为【返回】16求直线与轴、轴所围成的均匀薄片（面密度为1）分别对两坐标轴的转动惯量解：根据题意，薄片分别对x轴和y轴的转动惯量微元是：于是转动惯量分别为：【返回】17一定质量的理想气体，在等温过程中,其体积从膨胀到，在此过程中，求气体压强的平均值解：由物理学可知，气体体积V和压强P之间的关系为 所以平均压强为【返回】18经过半波整流的交流电压由给出，求在一个周期内的平均值解：【返回】19设某产品的总产量在时刻的变化率为（单位：吨/日）求投产后从到这27天的总产量解：【返回】20设某种产品的边际收入函数为，其中为销售量，求该产品的总收入函数解：【返回】21某产品边际成本，边际收入为（万元百台）（1）求生产量等于多少时，总利润最大？（2）从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少？解：（）总利润令其导数等于零，解得即当产量达到百台时，总利润最大（）即总利润减少0.5万元【返回】 22某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平均车辆行驶速度数据统计表明，一个普通工作日中的下午1：00至6：00之间，此路口在时刻的平均车辆行驶速度为 左右，试求下午1：00至6：00间的平均车辆平均行驶速度 解：【返回】实践： 【1 2 3 4 5】【返回】1用Mathematica计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）解：(1)输入：输出：解：(2)输入：输出：解：(3)输入：输出：解：(4)输入：输出：解：(5)输入：输出：解：(6)输入：输出：解：(7)输入：输出：解：(8)输入：输出：【返回】2用Mathematica计算下列定积分和广义积分：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）；（13）； （14） ； （15）； （16）解：（1）输入：输出：解：（2）输入：输出：解：（3）输入：输出：解：（4）输入：输出：解：（5）输入：输出：解：（6）输入：输出：解：（7）输入：输出：解：（8）输入：输出：解：（9）输入：输出：解：（10）输入：输出：解：（11）输入：输出：解：（12）输入：输出：解：（13）输入：输出：解：（16）输入：输出：【返回】3用Mathematica验算练习题各题的结果【返回】 4椭球的体积问题试求椭球面 所围椭球（酷似橄榄球）的体积（图5-37）图5-37 z co y-bxxx+dxa解：然后过x轴上点处作垂直于x轴的平面，此平面与椭球的交线为 此曲线仍是椭圆，其面积为： 再过x轴上点处作垂直于x轴的平面，从而可截得厚度为dx的小薄片，此薄片可以近似看成是，以A(x)为底高为dx的薄柱体，其体积（即体积微元）为 于是椭球的体积为【返回】5生产线获得最大利润的最佳时间某公司投资2000万元建成一条生产线，投产后，边际成本和边际收入分别是百万元/年）， （百万元/年）试确定该生产线在何时停产可获得最大利润？最大利润是多少？解：可见，生产成本逐年增加，而所得收入逐年减小. 发展下去必有某一时刻，成本与收入持平，过了这一时刻，成本大于收入，再生产就亏本了，故应停产. 我们的任务就是确定最佳停产时间，并求出所能获得的最大利润.已知边际利润 令 的唯一驻点又因 所以，生产线在投产8 年时，应停产，此时可获得最大利润，其值是 即最大利润是1840万元. 【返回】 习 题 六练习：1指出下列微分方程的阶数，并说明是否为线性微分方程：（1）； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6） 2 指出下列各函数是否是已给微分方程的解：（1）； （2）；（3）； （4） 3求下列微分方程的通解：（1）； （2）； （3）；（4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）4求下列微分方程的特解： （1）； （2）； （3）； （4） 5求下列微分方程满足初始条件的特解：（1） ；（2）；（3）（4）*6应用题：（1）物体下落的运动规律设有一质量为的物体，在空气中由静止开始下落，如果空气阻力（其中为物体运动的速度），求物体下落的距离与时间的关系（2）确定曲线方程求一曲线族，使在其上任何点处的切线在轴上的截距等于原点至的距离（3）雪球融化问题假定一个雪球是半径为r的球，其融化时体积的变化率正比于雪球的表面积，比例常数为k0(k与环境的相对湿度，阳光，空气温度等因素有关) 已知两小时内融化了其体积的四分之一问其余部分在多长时间内全部融化完？（4）飞机减速伞的设计与应用当机场跑道长度不足时，常常使用减速伞作为飞机的减速装置在飞机接触跑道开始着陆时，由飞机尾