关于质点在有心力场中运动问题的讨论.ppt

关于质点在有心力场中 运动问题的讨论,作者：王华,引子,质点在有心力场中运动，其角动量守恒，机械能也守恒。有了这“两大法宝”，解决该类问题就容易多了，下面以一具体的例子来讨论该类问题。,题目,如力图471，飞船总质量为m, 内装质量为m0的探测器，绕地球沿椭圆轨道运行，近地点与地心距离为 r1,速度为v1=,r2,r1,v1,v2,力图471,（1）试证明 a1,（2）如力图472，飞船在近地点向前发射探测器，并使探测器沿抛物线轨道运动，发射后，飞船沿圆轨道运行，试求：质量比m0/m及发射探测器的相对速度u。,v1,m,u+v1,v1,m0,m-m0,力图 472,发射前,发射后,（3）如力图473，若在远地点以上述相对速度u发射探测器，试求探测器运行的轨道。,m,v2,v2,m-m0,u+v2,m0,力图 473,发射前,发射后,分析,1.飞船绕椭圆轨道运行时，角动量守恒，机械能守恒，它们确定了飞船的运动特征，限制了a的取值。 2.发射探测器前后，飞船（包括探测器）动量守恒。发射后，探测器沿抛物线运动，其机械能应为零，飞船（不包括探测器）作圆轨道运动所需向心力来自地球引力。 3.发射探测器前后，飞船（包括探测器）动量守恒，探测器轨道的特征由其机械能E确定，E0为双曲线。,解答,1.直接求a显然很困难,但由于飞船轨道受约束的特性,可解出远近地点与地心的距离r2与r1的约束关系,根据它们的关系解出 a的取值范围。 飞船绕地球作椭圆轨道运动,设在远地点r2处的速度为v2:,由角动量守恒 mr1v1=mr2v2 即 mr1 = mr2v2 (1) 由飞船地球系统的机械能守恒 m(2aGM/r1)-GMm/r1 = mv22-GMm/r2 (2),由(1) (2)解得: (r1/r2)2-(r1/r2)/a+1/a-1=0 解出两个根 其中r1/r2=1为圆轨道,不合题意,舍去. 应取 r1/r2=(1-a)/a 由于 0r1/r21 故有 a 1,r1/r2=1 r1/r2=(1-a)/a,2飞船发射探测器前速度为v1,设发射后飞船速度为v1,设探测器相对飞船得速度为u,由动量守恒， mv1 = (m-m0)v1+m0(u+v1) (1) 发射后，探测器沿抛物线运动，总机械能为0。即 E = 1/2*m0(u+v1)2-GMm0/r1 = 0 (2) 发射探测器后，飞船作圆运动，故 GM(m-m0)/r12 = (m-m0)v12/r1 式中M为地球质量，即 v1 = = v1/ (3),由（1）式 mv1 = mv1+m0u 即 u = m/m0(v1-v1) (4) 由(2)(3)式，得： (u+v1)2-2v12 = 0 即 u2+2uv1-v12 = 0 把（4）式代入上式，得出m/m0满足得方程为 (m/m0)2(v1-v1)2+2(m/m0)(v1-v1)v1-v12 = 0 舍去负根后，解出： m/m0 = ( -1)v1/(v1-v1),将（3）式代入，得 m/m0 = ( -1)/( -1) 所以质量比为 m0/m = ( -1)/ ( -1) (5) 代入（4）式，得出探测器得相对速度为,3.飞船及探测器在发射探测器前在远地点得速度为v2,在近地点得速度为前述v1,作椭圆轨道运动，由角动量守恒， mr1v1 = mr2v2 即 v2=(r1/r2)v1 设飞船在远地点以上述相对速度 u发射探测器后，飞船得速度变为v2,则探测器得速度应该为v2+u,由动量守恒得： mv2 = (m-m0)v2+m0(v2+u) 即 mv2 = (m-m0)(u+v2)-(m-m0)u+m0(u+v2),故发射后探测器的速度为 u+v2 = mv2+(m-m0)u/m = v2+(1-m0/m)u (6) 式中的相对速度 u前已求出， 利用已知的关系 v1 = (r2/r1)v2 r1/r2 = (1-a)/a 可将u用v2表示，得：,代入（6）式，并注意到m0/m已由（5）式 给出，有,因 故 式中,令 探测器轨道得类型可根据其总能量E来判断 E=1/2mv2-GMm/r 其中v探测器速度可写成,对于椭圆轨道，E0,b1.因此 探测器轨道得类型可由b的值来判断。 由前1/20,b1, 为双曲线轨道,把（7）展开并化简 因前已得出1/2 a 1, 故y0 探测