高中数学 第一章 立体几何初步 1_1_2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征课件 新人教b版必修2

1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征,第一章 1.1 空间几何体,学习目标 1.认识组成我们生活世界的各种各样的多面体. 2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征. 3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 多面体,多面体是如何定义的？能指出它们的侧面、底面、侧棱、顶 点吗？,答案,答案 多面体是由若干个平面多边形围成的几何体围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱和棱的公共点叫做多面体的顶点,多面体的有关概念 (1)多面体：由若干个 所围成的几何体 (2)多面体的相关概念 面：围成多面体的 棱：相邻的两个面的 顶点：棱和棱的 ,梳理,平面多边形,各个多边形,公共边,公共点,对角线：连接 的两个顶点的线段 截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部) (3)凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面 ，则这样的多面体就叫做凸多面体,不在同一个面上,都在这个平面的同一侧,思考,知识点二 棱柱,观察下列两个棱柱，你认为棱柱应具有怎样的共同特征？如何表示这两个棱柱？,答案,答案 共同特征：有两个面互相平行； 夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行 表示方法：(1)棱柱ABCDEABCDE. (2)棱柱ABCDABCD.,梳理,(1)棱柱的定义及表示,互相平行,每相邻两个面的交线,ABCDEABCDE,AC,(2)棱柱的分类 按底面多边形的边数,按侧棱与底面是否垂直,特殊的四棱柱,思考,知识点三 棱锥,观察下列多面体，有什么共同特点？,答案,答案 (1)有一个面是多边形； (2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形,梳理,(1)棱锥的定义及表示,多边形,有一个公共顶点,SABCD,SAC,(2)棱锥的分类 按底面多边形的边数,特殊的棱锥,正棱锥,底面是 ,顶点在 的直线上,过底面中心，且与底面垂直,正多边形,知识点四 棱台,思考,观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？,答案 (1)区别：有两个面相互平行 (2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体,答案,梳理,(1)棱台的结构特征及分类,底面的平面,平行于,ABCDABCD,AC,截面,底面,(2)特殊的棱台 正棱台：由 截得的棱台,正棱锥,题型探究,例1 (1)下列命题中正确的是 A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任 意两个相对的面不一定可当作它的底面 D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形,类型一 棱柱、棱锥、棱台的有关概念,答案,解析 正四棱柱中两个相对侧面互相平行，故B错； 平行六面体的任意两个相对面可作底面，故C错； 棱柱的底面可以是平行四边形，故D错.,解析,(2)下列说法正确的序号是_. 棱锥的侧面不一定是三角形； 棱锥的各侧棱长一定相等； 棱台的各侧棱的延长线交于一点； 有两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台.,解析 棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故不正确； 棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥底面得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，正确； 棱台的各条侧棱必须交于一点，故不正确.,解析,答案,棱柱、棱锥、棱台的结构特征 (1)棱柱有两个主要结构特征：一是有两个面互相平行，二是各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形. (2)棱锥有两个主要结构特征：一是有一个面是多边形，二是其余各面都是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台的上、下底面平行且相似，各侧棱延长交于一点.,反思与感悟,跟踪训练1 (1)下列命题： 各侧面为矩形的棱柱是长方体； 直四棱柱是长方体； 侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱； 各侧面是矩形的直四棱柱为正四棱柱. 其中正确的是_.(填序号),答案,解析 中一定为直棱柱但不一定是长方体； 直四棱柱的底面可以是任意的四边形，不一定是矩形； 符合直棱柱的定义； 中的棱柱为一般直棱柱，它的底面不一定为正方形.,解析,(2)下列命题： 各个侧面是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； 底面是正多边形的棱锥是正棱锥； 棱锥的所有侧面可以都是直角三角形； 四棱锥的侧面中最多有四个直角三角形； 棱台的侧棱长都相等. 其中正确的命题有_.(填序号),答案,解析,解析 在四棱锥PABCD中，PAPBPCPD，底面ABCD为矩形，但不一定是正方形，这样的棱锥就不是正四棱锥，因此错误； 底面是正多边形，但侧棱长不一定都相等，这样的棱锥也不一定是正棱锥，故错误； 在三棱锥PABC中，PA垂直于平面ABC，ABC90，则此三棱锥的所有侧面都是直角三角形，故正确； 在四棱锥PABCD中，PA垂直于平面ABCD，四边形ABCD为矩形，故正确； 棱台的侧棱长不一定都相等，故错误.,例2 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2 ，求正三棱锥的高.,类型二 简单几何体中的计算问题,解答,解 作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作ODAB于点D，则点D为AB的中点. 在RtADO中,解答,解 作出正三棱锥如图，取AB的中点E，连接SE，,引申探究 1.若本例条件不变，求正三棱锥的斜高.,解答,解 如图，在正四棱锥SABCD中， ABBCCDDA3，,2.若将本例中“正三棱锥”改为“正四棱锥”，其他条件不变，求正四棱锥的高.,(1)正棱锥中直角三角形的应用 已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高为PO，底面为正方形， 作PECD于点E，则PE为斜高. 斜高、侧棱构成直角三角形，如图中RtPEC； 斜高、高构成直角三角形，如图中RtPOE； 侧棱、高构成直角三角形，如图中RtPOC.,反思与感悟,(2)正棱台中直角梯形的应用 已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上，下底面中心， 作O1E1B1C1于点E1，OEBC于点E，则E1E为斜高. 斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1； 斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO； 高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.,跟踪训练2 已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长.,解答,解 如图，设O，O分别为上、下底面的中心， 即OO为正四棱台的高，E，F分别为BC，BC的中点， EFBC，即EF为斜高. 由上底面面积为4，上底面为正方形， 可得 BC2； 同理，BC4. 四边形BCCB的面积为12,过B作BHBC交BC于H， 则BHBFBE211，BHEF4.,例3 如图，在侧棱长为2 的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，求截面AEF周长的最小值.,类型三 多面体的展开图,解答,解 沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内，如图. 则AA的长即为截面AEF周长的最小值， 且AVA340120.,故截面AEF周长的最小值为6.,求几何体表面上两点间的最小距离 (1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图. (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题. (3)结合已知条件求得结果.,反思与感悟,跟踪训练3 如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA12，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为,解析,答案,解析 沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1B(如图). 由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时， 从点B经过M到达C1的路线最短.,当堂训练,1.下列说法中正确的是 A.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 B.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,解析 A正确； 由棱台的定义知其侧棱必相交于同一点，故B错； 立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错； 由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形.但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.,2.下列说法中，正确的是 A.有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这 些面所围成的几何体是棱锥 B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形,答案,2,3,4,5,1,解析 B错，截面与底面平行时才能得棱台； C错，棱柱底面可能是平行四边形； D错，棱柱侧面的平行四边形不一定全等，如长方体.,解析,3.下列说法错误的是 A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形,答案,2,3,4,5,1,解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故D错.,解析,4.正四棱锥SABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截 面SAC，则截面面积为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,则有SA2SC2AC2，ASC90.,5.对棱柱而言，下列说法正确的是_.(填序号) 有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形； 所有的棱长都相等； 棱柱中至少有2个面的形状完全相同； 相邻两个面的交线叫做侧棱.,解析,解析 正确，根据棱柱的定义可知； 错误，因为侧棱与底