高中数学 第二章 解三角形 1_2 余弦定理(二)课件 北师大版必修5

第二章 解三角形,1.2 余弦定理(二),1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形,能.在余弦定理b2a2c22accos B中，已知三个量ACb，ABc，cos B，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可.,答案,梳理,已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下： 设在ABC中，已知a，b及A的值.由正弦定理 ，可求得 sin B . (1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一； (2)当A为直角且ab时，三角形的解唯一； (3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，,三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： 当ab，则有AB，所以B为锐角，此时B的值唯一.,知识点二 判定三角形的形状,思考1,不需要.如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2b2c2来判断cos C的正负.而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说.,三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形.在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？,答案,思考2,A，B(0，)，2A,2B(0,2)， 2A2B或2A2B， 即AB或AB .,ABC中，sin 2Asin 2B.则A，B一定相等吗？,答案,梳理,判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角).在转化条件时要注意等价.,知识点三 证明三角形中的恒等式,思考,前面我们用正弦定理化简过acos Bbcos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？,答案,梳理,证明三角恒等式的关键是借助边角互化减小等式两边的差异.,题型探究,类型一 利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形,例1 已知在ABC中，a8，b7，B60，求c.,由余弦定理b2a2c22accos B， 得7282c228ccos 60， 整理得c28c150，解得c3或c5.,解答,引申探究 例1条件不变，用正弦定理求c.,解答,sin Csin(AB) sin(AB) sin Acos Bcos Asin B,反思与感悟,相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个.,跟踪训练1 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A ，a ，b1，则c等于,答案,解析,类型二 利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式,例2 在ABC中，有 (1)abcos Cccos B； (2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A， 这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.,证明,方法一 (1)由正弦定理，得 b2Rsin B，c2Rsin C， bcos Cccos B2Rsin Bcos C2Rsin Ccos B 2R(sin Bcos Ccos Bsin C) 2Rsin(BC) 2Rsin Aa. 即abcos Cccos B. 同理可证(2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A.,方法二 (1)由余弦定理，得,同理可证(2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A.,反思与感悟,证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系.,跟踪训练2 在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：,证明,类型三 利用正弦、余弦定理判断三角形形状,例3 在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试判断ABC的形状.,解答,由(abc)(bca)3bc， 得b22bcc2a23bc，即b2c2a2bc，,又sin A2sin Bcos C. 由正弦、余弦定理，,反思与感悟,(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断. (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2c2a2 2bccos A，b2c2(bc)22bc等等.,跟踪训练3 在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状.,解答,方法一 根据余弦定理，得b2a2c22accos B. B60，2bac，,整理得(ac)20，ac. 又2bac，2b2c，即bc. ABC是等边三角形.,方法二 根据正弦定理， 2bac可转化为2sin Bsin Asin C. 又B60，AC120，C120A， 2sin 60sin Asin(120A)，A(0，120)， 整理得sin(A30)1，A30(30，150)， A3090，A60，C60. ABC是等边三角形.,当堂训练,b2a2c22accos Ba2c2ac， cos B ， 0B180， B120.,1.在ABC中，若b2a2c2ac，则B等于 A.60 B.45或135 C.120 D.30,答案,解析,1,2,3,2.在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形,1,2,3,2cos Bsin Asin C，,答案,解析,ab.故ABC为等腰三角形.,3.在ABC中，若B30，AB ，AC2，则满足条件的三角形有几个？,1,2,3,解答,设BCa，ACb，ABc， 由余弦定理得b2a2c22accos B，,1,2,3,即a26a80， 解得a2或a4.,满足条件的三角形有两个.,规律与方法,1.已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单.,2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦