高中数学第三章不等式3_4不等式的实际应用课件新人教b版必修5

第三章,不等式,学习目标 1.能根据实际情境建立不等式模型，并能用相关知识作出解答. 2.掌握一元二次不等式与均值不等式在实际问题中的应用.,3.4 不等式的实际应用,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 下列各命题正确的有_. (1)(x1)(2x)0的解集是x|1x2； (2)x20的解集是x|x3； (5)不等式ax2bxc0的解集是全体实数的条件是a0且b24ac0.,解析 对于(1), (x1)(2x)0(x1)(x2)0，所以解集是x|x2或x1 ，故不正确； (2)，(3)显然正确； 对于(4)， 0(x1)(x3)0，所以解集是x|x3； 对于(5)，当ab0且c0也满足题意，故不正确. 答案 (2)(3)(4),预习导引 1.解不等式的应用题 解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的 ，再由题中给出的 ，列出关于未知数的 ，然后解所列出的不等式(组)，最后再结合问题的实际意义写出答案.,不等式(组),未知数,不等量关系,2.一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2bx c0(a0)恒成立 ax2bxc0(a0)恒成立 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： kf(x)恒成立 ；kf(x)恒成立 .,a0 0,a0 0,kf(x)min,kf(x)max,要点一 利用比较法解决实际生活问题 例1 某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中pq0，,经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？,解 设商品原价为a，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为N甲、N乙、N丙，则 N甲a(1p%)(1q%)， N乙a(1q%)(1p%)， N丙a1 (pq)%1 (pq)% a(1 )2. 显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因此，只需比较a(1 )2与a(1p%)(1q%)的大小.,N丙N甲， 按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大. 规律方法 一般说来，谁优、谁劣、谁省，哪一种方案更好，涉及比较的应用题，常常作差比较得出正确结论.,跟踪演练1 有一批货物的成本为A元，如果本月初出售，可获利100元，然后可将本利都存入银行.已知银行的月利息为2%，如果下月初出售，可获利120元，但货物贮存要付5元保管费，试问是本月初还是下月初出售好？并说明理由.,解 若本月初出售到下月初获利为m元，下月初出售获利为n元. 则m100(100A)2% 1020.02A. n1205115，故nm130.02A，令nm0，得A650. 当A650元时，本月初、下月初出售获利相同. 当A650元时，nmm，下月初出售好.,要点二 均值定理在实际生活中的应用 例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；,解 由题意知，当0x20时，v(x)60；当x200，v0； 当20x200时，设v(x)axb.,解 根据题意，由(1)可得 当0x20时，f(x)为增函数， 当x20时，其最大值为60201 200；,(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时),当且仅当x200x，即x100时，等号成立.,当x100时，f(x)在区间(20,200上取得最大值 . 综上可知，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值 3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.,规律方法 (1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求.均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查. (2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视.在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性.,跟踪演练2 某单位决定投资3 200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元. (1)仓库底面积S(m2)的最大允许值是多少？ 解 设铁栅长为x m，一侧砖墙长为y m，则有Sxy. 由题意得40x245y20xy3 200. 由均值不等式，得,3 2002 20xy 120 20xy 120 20S， S6 160，即( 16)( 10)0. 160， 100，S100. S的最大允许值是100 m2.,(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解 取得此最大值的条件是40x90y，而xy100，由此求得x15，即铁栅的长应是15 m.,要点三 一元二次不等式在生活中的应用 例3 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； 解 由题意得y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0x1)， 整理得y6 000x22 000x20 000(0x1).,(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解 要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有,解得0x ， 所以投入成本增加的比例应在(0， )范围内.,规律方法 不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键.,跟踪演练3 在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲0.1x0.01x2，S乙0.05x0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任. 解 由题意列出不等式S甲0.1x0.01x212，解得x30. S乙0.05x0.005x210. 解得x40. 由于x0，从而得x甲30 km/h，x乙40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任.,要点四 不等式的恒成立问题 例4 设函数f(x)mx2mx1. (1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围. 解 要使mx2mx10恒成立， 若m0，显然10. 故实数m的取值范围是(4,0.,(2)对于x1,3，f(x)0时，g(x)在x1,3上是增函数， g(x)maxg(3)7m60，0m ；,当m0时，60恒成立； 当m0时，g(x)在1,3上是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0. 综上所述：实数m的取值范围是(， ).,方法二 当x1,3时，f(x)0，,故实数m的取值范围是(， ).,规律方法 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种： (1)首先考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式； (2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解.,跟踪演练4 当a为何值时，不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R? 解 当a210时，a1或1. 若a1，则原不等式为10，恒成立. 若a1，则原不等式为2x10，即x ，不合题意，舍去.,当a210时，即a1时，原不等式的解集为R的条件是 解得 a1. 综上a的取值范围是( ，1.,1.某工厂第一年产量为A，第二年增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( ),B,1,2,3,4,解析 由题意知A(1x)2A(1a)(1b)，,2,3,4,1,2.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2(0x240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 解析 y25x0.1x25x3 0000，x250x30 0000，解得x150或x200(舍去).,C,3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_公里.,1,2,3,4,答案 5,1,2,3,4,1,2,3,4,4.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与单价P元之间的关系为P1602x，生产x件所需成本为C50030x元，该厂日产量多大时，每天获利不少于1 300元？ 解 由题意得(1602x)x(50030x)1 300， 化简得x265x9000，解得20x45. 答 该厂每天产量在20件至45件之间时，每天获利不少于1 300元.,课堂小结 1.解不等式实际应用题的解题思路,2.建立一元二次不等式模型求解实际问题 操