高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率课件北师大版选修1_1

第三章 变化率与导数,1 变化的快慢与变化率,学习目标 1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念. 2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 函数的平均变化率,函数f(x)在区间x1，x2上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？,观察图形，回答下列问题：,答案,(1)yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率是曲线yf(x)在区间x1，x2上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. (2)平均变化率的绝对值越大，曲线yf(x)在区间x1，x2上越“陡峭”，反之亦然.,思考2,怎样理解自变量的增量、函数值的增量？,答案,(1)自变量的增量：用x表示，即xx2x1，表示自变量相对于x1的“增加量”. (2)函数值的增量：用y表示，即yf(x2)f(x1)，也表示为f(x1x)f(x1)，表示函数值在x1的“增加量”. (3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0.,梳理,平均变化率 (1)定义式： . (2)实质： 之比. (3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的 . (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数yf(x)图像上 的两点，则平均变化率 表示割线P1P2的 .,函数值的改变量与自变量的改变量,快慢,斜率,思考1,知识点二 瞬时变化率,物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？,不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.,答案,思考2,如何描述物体在某一时刻的运动状态？,可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.,答案,梳理,要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为ss(t)，可先求物体 在(t0，t0t)内的平均速度 ，然后t趋于0，得到物体在t0时刻的 .,瞬时速度,题型探究,命题角度1 求函数的平均变化率 例1 求函数yf(x)x2在x1，2，3附近的平均变化率，取x都为 ，哪一点附近的平均变化率最大？,解答,类型一 函数的平均变化率,由于k1k2k3，所以在x3附近的平均变化率最大.,求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)； (2)再计算自变量的改变量xx2x1；,反思与感悟,跟踪训练1 (1)已知函数f(x)x22x5的图像上的一点A(1，6)及邻近一点B(1x，6y)，则 .,答案,解析,x,(2)如图所示是函数yf(x)的图像，则函数f(x)在区间 1，1上的平均变化率为 ；函数f(x)在区间0，2 上的平均变化率为 .,答案,解析,命题角度2 平均变化率的几何意义 例2 过曲线yf(x)x2x上的两点P(1，0)和Q(1x，y)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求x的值.,割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1x的平均变化率 yf(1x)f(1) (1x)2(1x)(121)x(x)2， 割线PQ的斜率k 1x. 又割线PQ的斜率为2，1x2，x1.,解答,函数yf(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数yf(x)图像上两点 P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)连线P1P2的斜率，即 ,反思与感悟,跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在0，t0这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是 A.v甲v乙 B.v甲v乙 C.v甲v乙 D.大小关系不确定,设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在0，t0上的平均变化率v甲kAC，s2(t)在0，t0上的平均变化率v乙kBC. 因为kACkBC，所以v甲v乙.,答案,解析,(2)过曲线yf(x) 图像上一点(2，2)及邻近一点(2x，2y) 作割线，则当x0.5时割线的斜率为 .,当x0.5时，2x2.5，,答案,解析,例3 以初速度v0(v00)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为sv0t gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度.,类型二 求函数的瞬时变化率,故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0gt0.,解答,(1)求瞬时速度的步骤 求位移改变量ss(t0t)s(t0)；,反思与感悟,跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.,解答,质点M在t2时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率. 质点M在t2附近的平均变化率,当堂训练,1.已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数 A.在x0处的变化率 B.在区间x0，x1上的平均变化率 C.在x1处的变化率 D.以上结论都不对,2,3,4,5,1,由平均变化率的定义可知，故选B.,答案,解析,2.一物体的运动方程是s32t，则在2，2.1这段时间内的平均速度是 A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2,2,3,4,5,1,答案,解析,设此物体在t0时刻的瞬时速度为0， 令8t0160，解得t02.,2,3,4,5,1,3.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s4t216t，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为 A.t1 B.t2 C.t3 D.t4,答案,解析,2,3,4,5,1,4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 .,答案,解析,函数在x0，x0x上的平均变化率为6x03x. 当x01，x 时，函数在1，1.5上的平均变化率为 k16130.57.5； 当x02，x 时，函数在2，2.5上的平均变化率为 k26230.513.5； 当x03，x 时，函数在3，3.5上的平均变化率为 k36330.519.5，所以k1k2k3.,2,3,4,5,1,5.设函数f(x)3x22在x01，2