浙江2020版高考数学第六章平面向量、复数6.5复数讲义（含解析）.docx

6.5复数最新考纲考情考向分析1.了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念2.了解复数的加、减运算的几何意义3.理解复数代数形式的四则运算.本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想一般以选择题、填空题的形式出现，难度为低档.1复数的有关概念(1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b0(3)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(5)模：向量的模叫做复数zabi的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR)2复数的几何意义复数zabi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一对应关系3复数的运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.概念方法微思考1复数abi的实部为a，虚部为b吗？提示不一定只有当a，bR时，a才是实部，b才是虚部2如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2x10没有解()(2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(4)原点是实轴与虚轴的交点()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()题组二教材改编2P106B组T2设z2i，则|z|等于()A0B.C1D.答案C解析z2i2i2ii，|z|1.故选C.3P112A组T2在复平面内，向量对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量对应的复数是()A12iB12iC34iD34i答案D解析13i(2i)34i.4P116A组T2若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1B0C1D1或1答案A解析z为纯虚数，x1.题组三易错自纠5设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案C解析复数aabi为纯虚数，a0且b0，即a0且b0，“ab0”是“复数a为纯虚数”的必要不充分条件故选C.6若复数z满足iz22i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案B解析由题意，z22i，22i，则z的共轭复数对应的点在第二象限故选B.7i2014i2015i2016i2017i2018i2019i2020_.答案i解析原式i2i3i4i1i2i3i4i.题型一复数的概念1(2018丽水、衢州、湖州三地市质检)若复数z满足iz32i(i为虚数单位)，则复数z的虚部是()A3B3iC3D3i答案C解析因为z23i，所以复数z的虚部是3.故选C.2复数的共轭复数是()AiBiC.iD.i答案D解析由复数i，所以共轭复数为i，故选D.3(2018杭州质检)设aR，若(13i)(1ai)R(i是虚数单位)，则a等于()A3B3C.D答案B解析由题意得，(13i)(1ai)13a(3a)i为实数，3a0，a3，故选B.思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例1(1)(2018全国)(1i)(2i)等于()A3iB3iC3iD3i答案D解析(1i)(2i)22iii23i.(2)i等于()A32iB32iC32iD32i答案D解析i(23i)2i3i232i，故选D.命题点2复数的除法运算例2(1)(2018全国)等于()AiBiCiDi答案D解析i.故选D.(2)(2018浙江杭州地区四校联考)设z的共轭复数是，若z4，z28i，则等于()AiBiC1Di答案D解析由z4可设z2bi(bR)，由z28i，得b2，所以z8，i，故选D.命题点3复数的综合运算例3(1)(2018绍兴质检)在复平面内，复数i5的模为()A.B.C.D.答案D解析因为i5i5iii，所以该复数的模为，故选D.(2)对于两个复数1i，1i，有下列四个结论：1；i；1；220，其中正确结论的个数为()A1B2C3D4答案C解析对于两个复数1i，1i，(1i)(1i)2，故不正确；i，故正确；1，故正确；22(1i)2(1i)212i112i10，故正确故选C.思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数跟踪训练1(1)已知aR，i是虚数单位，若zai，z4，则a为()A1或1B1C1D不存在的实数答案A解析由题意得ai，故z3a24a1，故选A.(2)(2018浙江杭州七校联考)已知复数z2ai(aR)，|(1i)z|3，则a的值是()AB.CD.答案A解析方法一|(1i)z|(2a)(2a)i|3，则a，故选A.方法二|(1i)z|1i|z|3，则a，故选A.题型三复数的几何意义例4(1)(2018浙江六校协作体联考)已知是z的共轭复数，若复数z2，则在复平面内对应的点是()A(2,1) B(2，1)C(2,1) D(2，1)答案A解析方法一由z2222i，得2i，所以在复平面内对应的点为(2,1)，故选A.方法二由z2222i，得2i，所以在复平面内对应的点为(2,1)，故选A.(2)(2018浙江重点中学考试)已知复数z满足(2i)z3ai(i是虚数单位)若复数z在复平面内对应的点在直线y2x4上，则实数a的值为_答案解析方法一因为(2i)z3ai，所以z，其在复平面内对应的点为，所以4，解得a.方法二因为复数z在复平面内对应的点在直线y2x4上，不妨设zt(2t4)i(tR)，则(2i)t(2t4)i2t2t4(3t8)i3ai，所以解得a.思维升华复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可跟踪训练2(1)已知复数z(i是虚数单位)，则z的共轭复数对应的点在()A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限答案A解析zi，i，则z的共轭复数对应的点在第四象限故选A.(2)已知复数z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若xy，则xy的值是_答案5解析由已知得A(1,2)，B(1，1)，C(3，2)，xy，(3，2)x(1,2)y(1，1)(xy,2xy)，解得故xy5.1(2018湖州模拟)已知i为虚数单位，则复数z的虚部为()A1BiC1Di答案C解析由题意知，z3i，故复数z的虚部为1.2(2018浙江高考研究联盟联考)复数的模是()A4B5C7D25答案B解析|43i|5.3(2018浙江金华名校统练)设复数z满足2i，则z等于()AiBiC.iD.i答案A解析由2i，得1z2i(2i)z，所以zi，故选A.4(2018温州测试)若复数z1，z2在复平面内关于虚轴对称，且z11i(i为虚数单位)，则等于()AiBiC2iD2i答案A解析依题意得，z21i，所以i.故选A.5已知i为虚数单位，aR，若为纯虚数，则a等于()A.BC2D2答案B解析由题意知i，又由为纯虚数，所以2a10且a20，解得a，故选B.6(2018浙江七彩阳光联盟联考)已知i是虚数单位，若复数z满足1i，则z等于()A4B5C6D8答案B解析由1i，得z112i，所以12i，则z(12i)(12i)5，故选B.7已知复数z满足z21216i，则z的模为()A20B12C2D2答案C解析设zabi，a，bR，则由z21216i，得a2b22abi1216i，则解得或即|z|2.故选C.8已知集合M1，m,3(m25m6)i，N1,3，若MN3，则实数m的值为_答案3或6解析MN3，3M且1M，m1,3(m25m6)i3或m3，m25m60且m1或m3，解得m6或m3，经检验符合题意9(2019嘉兴测试)若复数z43i，其中i是虚数单位，则|z|_，z2_.答案5724i解析|z|43i|5，z2(43i)2724i.10若复数z满足(3i)z2i(i为虚数单位)，则z_；|z|_.答案i解析由题意可知zi，所以|z|.11(2018浙江十校联盟考试)复数z(i为虚数单位)的虚部为_，其共轭复数在复平面内对应的点位于第_象限答案1四解析因为z1i，所以z的虚部为1，1i，故复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限12(2018浙江重点中学考前热身联考)若a为实数，3i，且z1i，则a_，|z|_.答案11解析由题意得17ai(45i)(3i)1711i，所以a11.故z1i，|z|.13(2018台州模拟)已知复数z的共轭复数满足(i)(1i)13i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于第_象限，|z|_.答案三解析由(i)(1i)13i，得ii13i，所以z13i，所以z在复平面内对应的点为(1，3)，位于第三象限，|z|.14(2017浙江)已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b2_，ab_.答案52解析(abi)2a2b22abi.由(abi)234i.得解得a24，b21.所以a2b25，ab2.15已知复数zbi(bR)，是实数，i是虚数单位(1)求复数z；(2)若复数(mz)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围解(1)因为zbi(bR)，所以i.又因为是实数，所以0，所以b2，即z2i.(2)因为z2i，mR，所以(mz)2(m2i)2m24mi4i2(m24)4mi，又因为复数(mz)2所表示的点在第一象限，所以解得m2，即m(，2)16若虚数z同时满足下列两个条件：z是实数；z3的实部与虚部互为相反数这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由解存在设zabi(a，bR，b0)，则zabiabi.又z3a3bi的实部与虚部互为相反数，z是实数，根据题意有因为b0，所以解得或所以z12i或z2i.17若复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是()A(，1) B(1，)C(1,1) D(，1)(1，)答案C解析由题意得z，因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以所以1ab，则aibi；若aR，则(a1)i是纯虚数；若zi，则z31在复平面内对应的