高中数学第四章导数应用2_2最大值最小值问题一课件北师大版选修1_1

第四章 2 导数在实际问题中的应用,2.2 最大值、最小值问题(一),学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点 函数的最大(小)值与导数,观察a，b上函数yf(x)的图像，试找出它的极大值、极小值.,极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).,答案,如图为yf(x)，xa，b的图像.,思考2,结合图像判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？,存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).,答案,函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？,不一定，也可能是区间端点的函数值.,答案,思考3,(1)函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图像是一条 的曲线，那么它必有最大值与最小值. (2)求函数yf(x)在闭区间a，b上的最值的步骤： 求函数yf(x)在(a，b)内的 ； 将函数yf(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .,梳理,连续不断,极值,端点,各极值,最大值,最小值,题型探究,命题角度1 不含参数的函数求最值 例1 求下列函数的最值： (1)f(x)2x312x，x2，3；,类型一 求函数的最值,解答,所以当x0时，f(x)有最小值0； 当x2时，f(x)有最大值.,解答,求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.,反思与感悟,跟踪训练1 求函数f(x)ex(3x2)，x2，5的最值.,解答,f(x)3exexx2， f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3) ex(x3)(x1). 在区间2，5上，f(x)ex(x3)(x1)0， 函数f(x)在区间2，5上是减少的， 当x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2； 当x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.,命题角度2 含参数的函数求最值 例2 已知a是实数，函数f(x)x2(xa). (1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；,解答,f(x)3x22ax. 因为f(1)32a3， 所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3， 所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 3xy20.,(2)求f(x)在区间0，2上的最大值.,解答,即a0时，f(x)在0，2上是增加的，从而f(x)maxf(2)84a.,即a3时，f(x)在0，2上是减少的，从而f(x)maxf(0)0.,由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.,反思与感悟,跟踪训练2 已知a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值.,解答,f(x)3x23a3(x2a). 若a0，则f(x)0，函数f(x)在0，1上是减少的， 所以当x0时，f(x)有最大值f(0)0；,当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：,函数f(x)在0，1上是增加的， 当x1时，f(x)有最大值f(1)3a1. 综上，当a0，x0时，f(x)有最大值0； 当a1，x1时，f(x)有最大值3a1.,例3 设函数f(x)ln x ，m0，求f(x)的最小值为2时m的值.,类型二 由函数的最值求参数,所以当x(0，m)时，f(x)0，f(x)在(m，)上是增加的， 所以当xm时，f(x)取得极小值，也是最小值，即极小值为2.,解答,已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.,反思与感悟,解答,f(x)x2x2a， 当x(，x1)，(x2，)时，f(x)0， 所以f(x)在(，x1)，(x2，)上是减少的， 在(x1，x2)上是增加的. 当0a2时，有x11x24， 所以f(x)在1，4上的最大值为f(x2).,例4 已知函数f(x)(x1)ln xx1. 若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围.,类型三 与最值有关的恒成立问题,而xf(x)x2ax1(x0)等价于ln xxa. 当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0，x1是g(x)的最大值点， g(x)g(1)1.,解答,“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可. 一般地，可采用分离参数法.f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.,反思与感悟,跟踪训练4 已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数.若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围.,解答,由题意，知f(1)3c. 因此bc3c，从而b3. 所以对f(x)求导，得 由题意，知f(1)0， 即a120，得a12. 所以f(x)48x3ln x(x0)， 令f(x)0，得x1. 当0x1时，f(x)0，此时f(x)为减函数； 当x1时，f(x)0，此时f(x)为增函数.,所以f(x)在x1处取得极小值f(1)3c， 并且此极小值也是最小值. 所以要使f(x)2c2(x0)恒成立， 只需3c2c2即可. 整理，得2c2c30，,当堂训练,1.函数f(x)x24x7，在x3，5上的最大值和最小值分别是 A.f(2)，f(3) B.f(3)，f(5) C.f(2)，f(5) D.f(5)，f(3),2,3,4,5,1,f(x)2x4， 当x3，5时，f(x)0， 故f(x)在3，5上是减少的， 故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5).,答案,解析,2,3,4,5,1,2.函数f(x)x33x(|x|1) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值,f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1，1)时，f(x)0， 所以f(x)在(1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值， 故选D.,答案,解析,f(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2， a0，又x(0，1)， 0a1，故选B.,2,3,4,5,1,3.函数f(x)x33axa在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是 A.0，1) B.(0，1) C.(1，1) D.,答案,解析,f(x)2x36x2，令f(x)0，得x0或x3， 验证可知x3是函数的最小值点， 由f(x)90恒成立，得f(x)9恒成立，,2,3,4,5,1,4.已知函数f(x) x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则m的取值范围是,答案,解析,f(x)6x218x126(x1)(x2)， 当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，2)时，f(x)0. 当x1时，f(x)取极大值f(1)58c. 又f(3)98cf(1)，当x0，3时，f(x)的最大值为f(3)98c. 对任意的x0，3，有f(x)9. 故c的取值范围为(，1)(9，).,2,3,4,5,1,5.设函数f(x)2x39x212x8c